기본 링 특성 증명

${\displaystyle 0\cdot a=(0+0)\cdot a=(0\cdot a)+(0\cdot a)}$

방정식의 양쪽에서$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0\cdot a}$을(를) 빼서 원하는 결과를 얻는다.${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\cdot$ 0$=0}$이라는 증거는$$ 유사하다.

${\displaystyle(-1)\cdot a+a=(-1)\cdot a+1\cdot a=(-1)\cdot a=0\cdot a=0}$

Therefore ${\displaystyle (-1)\cdot a=(-1)\cdot a+0=(-1)\cdot a+(a+(-a))=((-1)\cdot a+a)+(-a)=0+(-a)=(-a)}$.

To prove that the first expression equals the second one, ${\displaystyle (-a)\cdot b=((-1)\cdot a)\cdot b=(a\cdot (-1))\cdot b=a\cdot ((-1)\cdot b)=a(-b).$$}$

첫 ${\displaystyle \mathrm{번째}}$ 식이 세 번째 식과 같다는 것을 증명하기 위해$,{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- )${\displaystyle b}$b${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$1 )${\displaystyle \cdot }$b${\displaystyle }$= (${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ )$(\displaystyle(-a)\cdot b=(-1)\cdot a)\cdot b=(-1)\cdot (\cdodot b)$가 $된다$.$}$

사이비 링은 반드시 승법적 정체성 요소를 가지고 있는 것은 아니다.첫 번째 식이 승법적 정체성의 존재를 가정하지 않고 세 번째 식과 같다는 것을 증명하기 위해, 우리는 (${\displaystyle }$- )${\displaystyle }$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle(-a)\cdot b}$을(를) 더하는 결과를 더하는 것을 보여줌으로써 ${\displaystyle \mathrm{실제로}}{\displaystyle }$( showing$$ b )${\displaystyle (a\cdot b)$의 역행이라는 것을 보여준다$$.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- )${\displaystyle \cdot }$ b${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( a${\displaystyle }$- ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle (a\cdot$ b$)+(-a)\cdot b=(a-a)\cdot$ b$=0\cdot$ b$=0$