대수적 컴팩트 모듈

수학에서, 순수-주사 모듈이라고도 불리는 대수학적으로 콤팩트한 모듈들은 모듈 안에서 방정식의 무한계통을 미세한 수단으로 해결할 수 있는 특정한 "nice" 속성을 가진 모듈이다.이러한 시스템에 대한 해결책은 특정 종류의 모듈 동형성의 확장을 허용한다.이러한 대수적으로 컴팩트한 모듈은 모든 모듈 동형성을 확장할 수 있는 주입 모듈과 유사하다.모든 주입 모듈은 대수적으로 콤팩트하며, 두 모듈 사이의 유사성은 범주 임베딩에 의해 상당히 정밀하게 이루어진다.

정의들

$R$ 은 링이 되고 $M$ 은 좌측 R-모듈이 되게 하라.무한히 많은 선형 방정식의 체계를 고려한다.

\sum _{j\in J}r_{i,j}x_{j}=m_{i}}}

여기서 $I$ 와 $J$ 세트는 모두 무한대일 수 있으며, $m_{i}\in M,$ $m_{i}\in M,$ , $m_{i}\in M,$ , $m_{i}\in M,$ {\ $displaystyle m_{i}\in$ M $,},$ 각 $m_{i}\in M,$ $i$ 에 대해 nonzero $r_{i,j}\in R$ $r_{i,j}\in R$ $r_{i,j}\in R$ $r_{i,j}\in R$ {\ $displaystyle r_{i,j}\in R}$ 은 $r_{i,j}\in R$ 유한하다.

목표는 그러한 시스템에 해결책이 있는지 여부, 즉 시스템의 모든 방정식이 동시에 충족될 수 $있는$ M의 $원소 j$ x가 존재하는지 여부를 결정하는 것이다.(정확하게 많은 $x$ 만_j 0이 아닐 필요는 없다.)

모듈 M은 그러한 모든 시스템에 대해 한정된 숫자의 방정식에 의해 형성된 모든 하위시스템에 해법이 있다면 전체 시스템에 해법이 있다면 대수적으로 콤팩트하다.(다양한 서브시스템에 대한 해결책은 다를 수 있다.)

한편, 모듈 $동형성$ M → $K$ 는 텐서 $제품$ C $\to M$ → $C k$ K 사이의 유도 동형성이 모든 우측 $R-모듈$ C에 대해 주입되는 경우 순수한 내장이다.모듈 $M$ 은 순수한 주입식 $동형성$ j : $M$ → $K$ 가 분할되는 경우( $f\circ j=1_{M}$ , f : $K$ → $M$ 이 존재하며 f $f\circ j=1_{M}$ $f\circ j=1_{M}$ = $f\circ j=1_{M}$ ${\$

모듈이 순수주입성인 경우에만 대수적으로 콤팩트하다는 것이 밝혀졌다.

예

미세하게 많은 요소들을 가진 모든 모듈들은 대수적으로 콤팩트하다.

모든 벡터 공간은 대수학적으로 콤팩트하다(순주사적이기 때문에).보다 일반적으로, 모든 주입 모듈은 대수적으로 콤팩트하다. 같은 이유로.

R이 일부 필드 k에 대해 1을 갖는 연관 대수라면, 유한 k-dimension을 갖는 모든 R-모듈은 대수학적으로 콤팩트하다.이는 모든 유한 모듈이 대수적으로 컴팩트하다는 사실과 함께, 대수적으로 컴팩트한 모듈이 "작은" 모듈의 좋은 특성을 공유하는 모듈이라는 직관을 갖게 한다.

프뤼퍼 그룹은 대수학적으로 콤팩트한 아벨 그룹(즉 Z-모듈)이다.각 prime p에 대한 p-adic 정수의 링은 자신에 대한 모듈로서 그리고 Z에 대한 모듈로서 대수적으로 콤팩트하다.합리적인 숫자는 Z-모듈로서 대수적으로 압축되어 있다.Z 위에 외설적인 유한모듈과 함께, 이것은 외설적인 대수적으로 컴팩트한 모듈의 전체 목록이다.

많은 대수적으로 컴팩트한 모듈들은 아벨리아 그룹의 주입식 열병합 발전기 Q/Z를 사용하여 생산될 수 있다.H가 R 링 위에 있는 오른쪽 모듈인 경우, H에서 Q/Z까지의 모든 그룹 동형성으로 구성된 (알지브라틱) 문자 모듈 H*를 형성한다.이것은 왼쪽 R-모듈이며, *-작전은 오른쪽 R-모듈에서 왼쪽 R-모듈까지 충실한 반대편 functor를 산출한다.H* 형식의 모든 모듈은 대수적으로 콤팩트하다.더욱이 H에는 자연적으로 주입된 순수한 호모형성 H → H**가 있다.대수적으로 콤팩트한 모듈이 다루기 쉽기 때문에, 사람들은 종종 *-functor를 먼저 적용함으로써 문제를 단순화할 수 있다.

사실들

다음 조건은 M이 대수적으로 콤팩트한 것과 같다.

모든 인덱스 세트 I에 대해, 추가 맵^(I) M → M은 모듈 동형성^I M → M으로 확장할 수 있다(여기 M은^(I) M의 직접 합계를 나타내며, I의 각 원소마다 각각 하나씩, M은^I M의 복제품을 나타낸다).

모든 외설적인 대수학적으로 컴팩트한 모듈에는 국소 내형성 링이 있다.

대수학적으로 컴팩트한 모듈은 다음과 같은 이유로 주입 물체와 다른 많은 속성을 공유한다: 대수학적으로 컴팩트한 R-모듈이 G의 주입 물체와 정확하게 일치하는 Grotendieck 범주 G에 R-Mod가 내장되어 있다.

모든 R-모듈은 기본적으로 대수학적으로 콤팩트한 R-모듈과 그리고 외설적으로 컴팩트한 R-모듈의 직접적인 합에 해당한다.^[1]

참조

^ Prest, Mike (1988). Model theory and modules. London Mathematical Society Lecture Note Series: Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-34833-1.

C.U. Jensen과 H. Lenzing: 모델 이론 대수학, Gordon과 Break, 1989년

[1] Prest, Mike (1988). Model theory and modules. London Mathematical Society Lecture Note Series: Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-34833-1.

[1]

Search

대수적 컴팩트 모듈

네임스페이스

더

목차

정의들

예

사실들

참조