준분석함수

수학에서 준분석적 함수의 등급은 다음과 같은 사실에 근거한 실제 분석함수의 등급의 일반화다: f가 간격[a,b] ⊂ R에 대한 분석함수인 경우, f와 그 파생상품이 모두 0이면, f는 [a,b]의 모든 부분에서 동일하게 0이다.준분석적 세분류는 이 진술이 여전히 사실인 함수의 광범위한 세분류다.

정의들

Let $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ = $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ { M $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ = $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ ${\$ M $=\{M_{k}\}_{k=0}^{\inflt }}}}}}}}$ 은(는) 양의 실수의 연속이다 $M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }$ .그러면 함수 C^M([a,b])의 Denjoy-Carleman 클래스는 만족하는 f^∞ ∈ C([a,b])로 정의된다.

\왼쪽 {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\오른쪽 \leq A^{k+1}k!M_{k}}

모든 x ∈ [a,b], 일부 상수 A 및 모든 음이 아닌 정수 k에 대해.M_k = 1인 경우 이는 [a,b]의 실제 분석 함수의 등급이다.

등급 C^M([a,b])는 f ∈ C^M([a,b])와 f ∈ C([a,b])가 있을 때마다 준분석적이라고 한다.

{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}(x)=0

어떤 점 x ∈ [a,b] 및 모든 k에 대해 f는 0과 동일하다.

f함수는 f가 어떤 준분석 등급에 있으면 준분석함수라고 한다.

여러 변수의 준분석 함수

For a function $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ and multi-indexes $j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ , denote $j =j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}$ , and

D^{j}={\frac {\partial ^{j}{1}^{j_{1}:{1}^{1}}\partial x_{2}^{2}}\ldots \partial x_{n}^{n}^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

그리고

x^{j}=x_{1}^{j_{1}:{1}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}}}.

그런 다음 $모든$ 소형 $K\subset U$ U ${\displaystyle K\subset$ $\mathb {R}$ ^n $}$ 에 다음과 $K\subset U$ 같은 $A$ 상수 $A$ $A$ 이(가) 있는 경우 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 오픈 세트 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ⊂ $⊂ {\$ U}에서 준분석이라고 한다 $f$ .

\왼쪽 D^{j}f(x)\오른쪽 \leq A^{j +1}j!M_{j}

모든 다중 인덱스 $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $j\in \mathbb {N} ^{n}$ ${\$ 및 $j\in \mathbb {N} ^{n}$ 모든 포인트 $x\in K$ $x\in K$ K ${\displaystyle x\in K$ .

설정 $U$ $U$ 의 $M$ $시퀀스$ M $M$ 과(와)관련된 n {\ $displaystyle$ n $}$ 변수의 Denjoy-Carleman 클래스는 다른 기능이 많지만 $C_{n}^{M}(U)$ n $)으로$ 표시할 수 있다 $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Denjoy-Carleman 클래스 $C_{n}^{M}(U)$ $C_{n}^{M}(U)$ $C_{n}^{M}(U)$ ( $){\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$ 은 한 지점에서 모든 부분파생물이 0과 동일한 함수일 때 준분석적이라고 한다 $C_{n}^{M}(U)$ .

여러 변수의 함수는 준분석적 덴조이칼레만 계급에 속할 때 준분석적이라고 한다.

대수학적으로 볼록한 순서에 관한 준분석적 등급

위의 정의에서 M $M_{1}=1$ = $M_{1}=1$ ${\displaystyle M_{1}=1},$ 시퀀스 $M_{1}=1$ $M_{k}$ $M_{k}$ ${\$ 이(가) 비감소적이라고 $M_{k}$ 가정할 수 있다.

순서 $M_{k}$ $M_{k}$ ${\$ 는 다음과 $M_{k}$ 같은 경우 로가리듬 볼록하다고 한다.

M_{k+1}/M_{k}

M_{k+1}/M_{k}

+

M_{k+1}/M_{k}

/ M

M_{k+1}/M_{k}

{\

이(가) 증가하고 있다

M_{k+1}/M_{k}

.

$M_{k}$ $M_{k}$ ${\$ 이(가) 로그 볼록한 경우 $M_{k}$ $(M_{k})^{1/k}$ ( $(M_{k})^{1/k}$ k ) $(M_{k})^{1/k}$ / $(M_{k})^{1/k}$ {\ $displaystyle (M_{k})^{1/k}$ 이(가) 증가하고 있다 $(M_{k})^{1/k}$ .

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

(

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

,

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

)에

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

M

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

M

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

+

M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}

s

{\

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

2

{\

^{

2

대수적으로 볼록한 $수열$ M ${\$ $displaystyle C_{n}^{M}}$ 에 $C_{n}^{M}$ 대한 준분석 등급 $C_{n}^{M}$ n $C_{n}^{M}$ ${\$ $displaystyle M}$ 은(는) 다음을 만족한다 $M$ .

$C_{n}^{M}$ $C_{n}^{M}$ ${\$ 은 $C_{n}^{M}$ (는) 링이다.특히 곱셈으로 닫는다.
$C_{n}^{M}$ $C_{n}^{M}$ ${\$ 은(는) 구성 하에서 닫힌다 $C_{n}^{M}$ .Specifically, if $f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}$ and $g\in C_{p}^{M}$ , then $g\circ f\in C_{n}^{M}$ .

덴조이-칼레만 정리

덴조이(1921년)가 일부 부분적인 결과를 준 후 칼레만(1926년)에 의해 증명된 덴조이-칼레만 정리는 C^M([a,b]가 준분석 등급인 순서 M에 대한 기준을 제시한다.다음과 같은 조건이 동등하다고 기술하고 있다.

C^M([a,b])는 준분석적이다.
$\sum 1/L_{j}=\infty$ $\sum 1/L_{j}=\infty$ / L $\sum 1/L_{j}=\infty$ = $\sum 1/L_{j}=\infty$ ${\displaystyle \sum$ 1 $/L_{j$ }=\ $inful$ } $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ 서 $\sum 1/L_{j}=\infty$ L $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ j = $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ k k $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ j $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ ( $k$ $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ / $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ k ) $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$ {\ $displaysty L_{j}=\inf _{k\cdot M_{1/k$
$\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ ( $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ $j$ $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ ) $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ - $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ / j $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ = $\sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty$ ${\displaystyle \sum$ \sum $_{j}{{j}^{*}}}}}:{-1/j}^=\inflt$ 여기서_j^* M은_j M에 의해 경계된 가장 큰 로그 볼록 시퀀스다.
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{{j+1)M_{j}^{*}}=\inflt .$

마지막 두 조건이 두 번째 조건과 같다는 증거는 칼레만의 불평등을 이용한다.

예:Denjoy(1921)는 만약 M이_n 시퀀스 중 하나에 의해 주어진다면,

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,

해당 등급은 준강제적이다.첫 번째 시퀀스는 분석 기능을 제공한다.

추가 속성

대수적으로 볼록한 순서 $M$ $M$ 의 경우 해당 $M$ 기능 클래스의 다음 특성이 유지된다.

$C^{M}$ $C^{M}$ ${\$ C $^{M}}$ 에는 분석 기능이 포함되어 $C^{M}$ 있으며, $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ 1 $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ ( $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ j $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ ) $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ / j $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$ < $\sup _{j}({j})^{1/j}<poty$ 인 경우에만 해당 기능과 같다.
If $N$ is another logarithmically convex sequence, with $M_{j}\leq C^{j}N_{j}$ for some constant $C$ , then $C^{M}\subset C^{N}$ .
$C^{M}$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ $C^{M}$ ${\$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ 1 $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ ( $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ + 1 $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ / $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ ) 1 $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ / $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ < $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$ ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+$ 1}/ $M_$ {j $})^{1$ /j $}<}\fty}$ 의 경우에만 분화가 안정적이다 $C^{M}$ $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
For any infinitely differentiable function $f$ there are quasi-analytic rings $C^{M}$ and $C^{N}$ and elements $g\in C^{M}$ , and $h\in C^{N}$ , such that $f=g+h$ .

바이에스트라스 사단

A function $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ is said to be regular of order $d$ with respect to $x_{n}$ if $g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}$ and ${\displaystyle h(0)\neq$ $0}$ . $x_{n}$ $x_{n}$ ${\$ 에 대해 $d$ $g$ ${\displaystyle g$ $}$ 순서 $d$ {\displaystyle d $}$ 의 $g$ 정규 분포를 주어진 경우 $x_{n}$ $n$ ${\$ $displaystyn}$ 변수의 $n$ 실제 또는 복합 함수의 링 $A_{n}$ ${\$ $displaystyle g}$ 에 $g$ 대해 Weirstrass 분할을 만족한다고 한다.매 $f\in A_{n}$ $q\in A$ ${\$ $displaystyle f\$ $in$ $A_$ ${n$ $q\in A$ $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ 1, $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ - $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ ∈ $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ - $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ ${\$ $displaystyle h_{1}, h_{2}, ldots, h_{d-1}, h_{n-1} 등$ 이 $q\in A$ $h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ .

f=gq+h

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

f=gq+h

=

f=gq+h

+

f=gq+h

(

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

,

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

) =

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

=

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

d

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

- 1

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

j

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

( x

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

) = ∑ j = 0

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

-

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

h (

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

′ )

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

{\

스타일

h(x',x_{n}=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j'x_{n}^{

n

}^{

j

}^{j

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

분석 기능 링과 형식 파워 시리즈 링은 모두 위어스트라스 분할 특성을 만족시키지만, 다른 준분석 등급의 경우는 그렇지 않다.

If $M$ is logarithmically convex and $C^{M}$ is not equal to the class of analytic function, then $C^{M}$ doesn't satisfy the Weierstrass division property with respect to ${\displaystyle g(x_{1},x_{$ $2},\ldots ,x_{n}=x_{1}+x_{2$ $}^{2}}$ .

참조

Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Gauthier-Villars
Cohen, Paul J. (1968), "A simple proof of the Denjoy-Carleman theorem", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi:10.2307/2315100, ISSN 0002-9890, JSTOR 2315100, MR 0225957
Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Paris, 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. (2001) [1994], "Quasi-analytic class", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Carleman theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

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