질량의 중심

기하학에서 질량 중심은 질량 중심부의 많은 특성을 공유하는 폴리곤과 연관된 중심이다. 보다 일반적으로 질량의 원심부는 단순한 폴리토페스와 구면 및 쌍곡 기하학에서 정의될 수 있다.

폴리토프가 4각형 또는 6각형인 특별한 경우, 질량의 원곡선은 "정원형"이라고 불리며 4각형의 오일러 선을 정의하는데 사용되어 왔다.^[1]^[2] 질량의 원심부는 간단한 폴리토페스를 위한 오일러 선을 정의할 수 있게 해준다.

평면의 정의

$P$ $P$ 을(를) 정점이 $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ , $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ , $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ $V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n}$ {\ $displaystyle V_{1}, V_{2},\ldots, V_{n}$ 인 평면에서 방향 다각형(또는 확장자)으로 $P$ $O$ O ${\displaysty$ O}을 $O$ (또는 그 확장자)을(또는 임의의 점으로 한다. 방향 $OV_{i}V_{i+1}$ $OV_{i}V_{i+1}$ + $OV_{i}V_{i+1}$ {\ $displaystyle OV_{i}V_{i+1$ }에 의한 $P$ $P$ $P$ 의 삼각형을 고려하십시오( $OV_{i}V_{i+1}$ $인덱스$ i {\ $displaystyle i}$ 은 $i$ $modulo$ n {\ $displaysty n}).$ 이 삼각형 $C_{i}$ 그것의 중심 C i ${\$ 를 그것의 방향 영역과 같은 무게로 $C_{i}$ 연관시킨다(정점 순서가 반사이클로적일 경우 양수, 그렇지 않을 경우 음수). $P$ $P$ 의 질량 중심은 이러한 가중된 원곡선의 질량 중심이다 $P$ . 결과는 점 $O$ $O$ 의 선택과 무관하다 $O$ ^[3]

다각형의 질량 중심.

특성.

폴리곤이 순환하는 특수한 경우 질량의 원심부는 원심체와 일치한다.

질량의 원곡선은 아르키메데스의 보조마(Lemma)의 아날로그를 만족시키는데, 이는 만약 폴리곤이 두 개의 작은 폴리곤으로 분해된다면, 그 폴리곤의 질량의 원곡선은 두 개의 작은 폴리곤의 질량의 원곡선을 가중 합한 값이다. 그 결과, 질량의 원곡선을 정의하기 위해 비감속 삼각형이 있는 삼각형을 사용할 수 있다.

등변 다각형의 경우 질량의 원곡선과 질량의 중심이 일치한다. 보다 일반적으로, 질량의 원곡선과 질량의 중심은 각 면이 가장자리의 제곱합이 상수를 갖는 단순 폴리토프에 일치한다.^[4]

질량의 원곡선은 폴리곤의 "재호화"의 작동에 따라 불변한다.^[5] 그리고 이산 자전거(Darboux) 변환. 다시 말하면, 이러한 조작에 따른 다각형의 이미지는 원래의 다각형과 동일한 질량의 원곡선을 가지고 있다. 일반화된 오일러 라인은 통합 가능한 시스템 이론에서 다른 모습을 보인다.^[6]

$V_{i}=(x_{i},y_{i})$ $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ = $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ ( $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ , $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ i $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ ) ${\displaystyle V_{i}=(x_{i},y_{i}}})$ 를 $P$ $P$ 의 정점이 되게 $V_{i}=(x_{i},y_{i})$ 하고 $P$ $A$ $A$ 이(가) 그 영역을 나타내도록 $A$ 하십시오. 폴리곤 $P$ $P$ 의 $CCM(P)$ 질량 $CCM(P)$ $CCM(P)$ $CCM(P)$ ( $CCM(P)$ $CCM(P)$ $CCM(P)$ 의 중심은 다음 공식으로 주어진다 $P$ .

CCM(P)={\frac {1}{4A}}(\sum _{i=0}^{n-1}-y_{i}y_{i+1}^{2}+y_{i}^{2}y_{i+1}+x_{i}^{2}y_{i+1}-x_{i+1}^{2}y_{i},\sum _{i=0}^{n-1}-x_{i+1}y_{i}^{2}+x_{i}y_{i+1}^{2}+x_{i}x_{i+1}^{2}-x_{i}^{2}x_{i+1}).

질량의 곡선은 제한 절차를 통해 부드러운 곡선으로 확장될 수 있다. 이 연속한 한계는 곡선에 의해 경계된 균질한 라미나의 질량 중심과 일치한다.

자연적인 가정 하에서 아르키메데스의 보조마(Lemma)를 만족시키는 폴리곤의 중심은 정확히 그 오일러 라인의 포인트다. 즉 아르키메데스의 보조마(Lema)를 만족시키는 유일한 "잘 행동된" 중심은 질량 중심과 질량 중심 사이의 아핀 조합이다.

일반화 오일러 선

질량의 원심부는 모든 폴리곤(그리고 보다 일반적으로 단순 폴리토프의 경우)에 대해 오일러 선을 정의할 수 있도록 한다. 이 일반화된 오일러 선은 폴리토프의 질량 중심과 질량 중심부의 아핀 스팬으로 정의된다.

참고 항목

참조

^ Myakishev, Alexei (2006), "On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.
^ de Villiers, Michael (2014), "Quasi-circumcenters and a generalization of the quasi-Euler line to a hexagon" (PDF), Forum Geometricorum, 14: 233–236
^ Tabachnikov, Serge; Tsukerman, Emmanuel (May 2014), "Circumcenter of Mass and Generalized Euler Line", Discrete and Computational Geometry, 51 (4): 815–836, arXiv:1301.0496, doi:10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID 12307207
^ Akopyan, Arseniy (May 2014), "Some Remarks on the Circumcenter of Mass", Discrete and Computational Geometry, 51 (4): 837–841, arXiv:1512.08655, doi:10.1007/s00454-014-9596-3, S2CID 3464833
^ Adler, V. (1993), "Cutting of polygons", Funct. Anal. Appl., 27 (2): 141–143, doi:10.1007/BF01085984, S2CID 122179363
^ Schief, W. K. (2014), "Integrable structure in discrete shell membrane theory", Proceedings of the Royal Society of London A, 470 (2165): 22, doi:10.1098/rspa.2013.0757, PMC 3973394, PMID 24808755

[1] Myakishev, Alexei (2006), "On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 289–295.

[2] Villiers, Michael (2014), "Quasi-circumcenters and a generalization of the quasi-Euler line to a hexagon" (PDF), Forum Geometricorum, 14: 233–236

[3] Tabachnikov, Serge; Tsukerman, Emmanuel (May 2014), "Circumcenter of Mass and Generalized Euler Line", Discrete and Computational Geometry, 51 (4): 815–836, arXiv:1301.0496, doi:10.1007/s00454-014-9597-2, S2CID 12307207

[4] Akopyan, Arseniy (May 2014), "Some Remarks on the Circumcenter of Mass", Discrete and Computational Geometry, 51 (4): 837–841, arXiv:1512.08655, doi:10.1007/s00454-014-9596-3, S2CID 3464833

[5] Adler, V. (1993), "Cutting of polygons", Funct. Anal. Appl., 27 (2): 141–143, doi:10.1007/BF01085984, S2CID 122179363

[6] Schief, W. K. (2014), "Integrable structure in discrete shell membrane theory", Proceedings of the Royal Society of London A, 470 (2165): 22, doi:10.1098/rspa.2013.0757, PMC 3973394, PMID 24808755

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