국부장의 유한확장

대수적 수 이론에서, 완성을 통해, 원시적 이상에 대한 래밍에 대한 연구는 종종 래밍 그룹과 같은 도구의 도움을 받아 보다 상세한 분석을 수행할 수 있는 지역 분야의 경우로 축소될 수 있다.

이 글에서 지역 분야는 비아카이브성이며 유한잔류장을 가지고 있다.

미확장확장

$L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$을(를) $유한{\displaystyle }$ 잔류장${\displaystyle }$fields / k ${\displaystyle \ell /k}$ 및$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 가진 비 아르키메데스 지역장의 유한한 갈루아 확장자로$$ 한다$.$ 그러면 다음과 같다.

• (i) $L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$은(는) 도면화되지 않았다.
• (ii) $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle L_{}{}_{}}$/ p ${\displaystyle O{\mathcal{}}_{}}$ L ${\$p}{\$mathfak{O}_$${L$$}}}$는 밭이며$$, $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfak{p}}}}$은 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle$ {$O}$의 최대 이상이다$.$
• $({\displaystyle }$iii) [${\displaystyle L}$ : ${\displaystyle K]}$ = [${\displaystyle :}$ : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 관성 부분군은 사소한 것이다$$.
• (v) $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$}이(가) K ${\displaystyle$K$\}$의 균일화 요소인 $경우{\displaystyle }$, {$${\$displaystyle \pi }$도 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 균일화 요소 입니다$.$

$L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$을(를) 프로그래밍하지 않은 경우 (iv)(또는 (iii))에 의해 G를 유한 주기인 ${\displaystyle \mathrm{Gal}}$ ${\displaystyle (\ell }$/ ${\displaystyle k}$) ${\displaysty \operatorname {Gal}(\ell /k)$로 식별할 수 있다$.$

위는 국소장 K의 유한 미결정 확장자와 K의 잔류장 유한 분리 가능 확장 사이에 범주의 등가성이 있음을 의미한다.

완전 래미티드 익스텐션

다시 $L{\displaystyle }$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$을(를) 유한잔류장 $l{\displaystyle }$/ ${\displaystyle k}${\$displaystyle$l/$k}$ 및$$ $G{\displaystyle }${\$displaystyle G}$을(를) 가진 비아치메드 지역장의 유한한 갈루아 확장. 다음은 동등하다$.$

• ${\displaystyle L}$/ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$이(가) 완전히 함축됨
• ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$은 관성 부분군과 일치한다.
• ${\displaystyle L}$= K [${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L=K[\pi ]}$ 여기서$$ $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$ }은$($는) 아이젠슈타인 다항식의 루트다.
• $표준{\displaystyle }$ $N{\displaystyle }$ (${\displaystyle L}$/ ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle N(L/K)}$에는 K ${\displaystyle K}$의 균일화기가 포함되어$$ 있다$.$

참고 항목

• 아비얀카르 보조정리
• 비정형 형태론

참조

• Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Weiss, Edwin (1976). Algebraic Number Theory (2nd unaltered ed.). Chelsea Publishing. ISBN 0-8284-0293-0. Zbl 0348.12101.