로컬 필드

수학에서 필드 K는 이산 평가 v에 의해 유도된 위상에 대해 완전하고 그 잔여 필드 k가 유한하면 (비 아르키메데스) 지역 영역이라고 한다.^[1] 마찬가지로, 로컬 필드는 비분해 위상에 대한 국소적으로 압축된 위상학 필드다.^[2] 때때로, 실수 R과 (표준 위상이 있는) 복합수 C도 지역 분야로 정의된다. 이것이 우리가 아래에서 채택할 관례다. 지역 분야를 고려할 때, 그것에 대해 정의된 평가는 두 가지 유형 중 하나일 수 있다. 각 유형은 지역 분야의 두 가지 기본 유형 중 하나에 해당된다. 즉, 평가 유형이 아르키메데스인 유형과 그렇지 않은 유형이다. 첫 번째 경우에는 지방 분야를 아르키메데스 지방 영역이라고 부르고, 두 번째 경우에는 비 아르키메데스 지방 영역이라고 부른다.^[3] 지역 분야는 수 이론에서 글로벌 분야의 보완으로서 자연스럽게 대두된다.^[4]

아르키메데스 지방 분야는 적어도 250년 동안 수학에서 꽤 잘 알려져 있는 반면, 19세기 말에 쿠르트 헨젤이 양수 정수 p-adic 숫자의 분야인 비 아르키메데스 지방 영역의 첫 번째 예를 소개하였다.

모든 지역 분야는 (위상학 분야로서) 다음 중 하나에 이형이다.^[3]

• 아르키메데스 지역 필드(성격 0): 실제 숫자 R과 복합 숫자 C.
• 특성 0의 비 아르키메데스 지역 필드: p-adic 번호 Q의_p 유한 확장(여기서 p는 임의의 소수)
• 특성 p의 비-아카이브 지역 필드(p: 주어진 소수) : 유한 필드 F에_q 대한 형식 Laurent 시리즈 F_q(T)의 필드, 여기서 q는 p의 힘이다.

특히 수 이론에서 중요한 것은, 최대 이상 중 하나에 해당하는 이산적 가치평가에 관한 대수적 수 영역의 보완으로서 지역적 분야의 세분류가 나타난다. 현대 수 이론의 연구 논문은 종종 더 일반적인 개념을 고려하는데, 잔류 분야가 반드시 유한한 것이 아니라 긍정적인 특성의 완벽만을 요구한다.^[5] 이 글은 이전의 정의를 사용한다.

유도 절대값

필드 K에 대해 그러한 절대값이 주어지면 K에 대해 다음과 같은 위상이 정의될 수 있다: 양의 실제 수 m에 대해 K의 부분 집합 B를_m 정의한다.

${\displaystyle B_{m}=\{a\in K: \leq m\}.}$

그 후 b+B는_m K에서 b의 인접성 기반을 이룬다.

반대로, 비구체적 국소적 위상이 있는 위상학 필드는 위상을 정의하는 절대값을 갖는다. 필드의 첨가물 그룹의 하르 측도를 사용하여 구성할 수 있다.

비 아르키메데스 지역 필드의 기본 특징

아르키메데스가 아닌 지역 필드 F(절대 값을 ·로 표시한 경우)의 경우 다음 개체가 중요하다.

• 정수 $O{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F}$: ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {\mathcal{O}=\{a\in F: \leq$ 1$\}$은 이산 평가 링으로 F의 폐쇄 단위 볼이며, 소형이다.
• 정수 $O{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \in }$ F${\displaystyle }$: ${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle {O}^{\time }=\a\in a:$ a$=1\}}$ 그룹의 단위 구인 단위$$;
• 0이 아닌 고유한 이상적인 ${\$정수의 링에 있는$$ 그것의 오픈 유닛 볼$}{\displaystyle$\{$a\in$ F$: ①\};$
• $F{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\matrix${\m$}$의 생성기 ${\$$displaystyle F$
• 그것의 잔여 $필드{\displaystyle }$k =${\displaystyle O\mathcal{}}$ / ${\displaystyle m\mathfrak{}}${\$displaystyle k={\mathcal{O}/{\mathfrak{m}}$ 유한한$$ (소형 및 이산형이기 때문에)

F의 모든 0이 아닌 원소 a는 u 단위로 a = ϖu로ⁿ 쓸 수 있으며, n은 고유 정수로 쓸 수 있다. F의 정규화된 평가는 a = u와ⁿ u를 같이 하는 고유한 정수 n에 0이 아닌 a를 보내고, 0을 to에 보내는 것으로 정의되는 과부하 함수 v : F → Z ∪ {∞}이다. q가 잔류장의 카디널리티인 경우, 지역장으로서의 구조물에 의해 유도된 F의 절대값은 다음과 같다.^[6]

${\displaystyle a =q^{-v(a)}}$

비 아르키메데스 지역 영역의 동등하고 매우 중요한 정의는 이산 평가와 관련하여 완전하고 잔여 분야가 유한한 분야라는 것이다.

예

1. p-adic 숫자: Q의_p 정수 링은 p-adic 정수 Z의_p 링이다. 그것의 가장 중요한 이상은 pZ이고_p 그것의 잔여장은 Z/pZ이다. Q의_p 모든 0이 아닌 요소는 u p로ⁿ 작성할 수 있으며 여기서 u는 Z의_p 단위이고 n은 정수인 경우 v(u pⁿ) = n은 정규화된 가치평가에 사용할 수 있다.
2. 한정된 영역에 걸친 형식 Laurent 시리즈: F_q(T)의 정수 링은 형식 파워 시리즈의 링이다.F_q[T]. 최대 이상은 (T)이고(즉, 일정한 항이 0인 전력 시리즈) 잔여장은 F이다_q. 표준화된 가치평가는 다음과 같은 공식 Laurent 시리즈의 (낮은) 정도와 관련이 있다.

   ${\displaystyle v\좌측(\sum _{i=-m}^{\infit }a_{i}}$$T^{i}\오른쪽)=-m}($여기서 a가_−m 0이 아닌 경우).$$

3. 복잡한 숫자에 대한 공식적인 Laurent 시리즈는 지역 분야가 아니다. 예를 들어, 잔여장은 C[T]/(T) = C로 유한하지 않다.

상위 단위 그룹

아르키메데스가 아닌 지역 필드 F의 n 상위^th 단위 그룹은

${\displaystyle U^{{n}=1+{\mathfrak{m}^{n}=\좌측\{u\in {\mathcal{O}^{\time }}^{u\iquiv 1\,(\mathrm {mod} \,{m}}}}}}\right\}}}}}}}}).$

1엔당 그룹⁽¹⁾ U를 주체 단위 그룹이라고 하며, 그 어떤 요소도 주체 단위라고 한다. 전체 단위 그룹 $O{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\$은(는) U로⁽⁰⁾ 표시된다$$.

상위 단위 그룹이 단위 그룹의 감소 여과를 형성함

${\displaystyle {\mathcal{O}^{\time }\supseteq U^{(1)\supseteq U^{(2)\supseteq \cdots }}}$

에 의해 제시된 인용구.

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

n ≥ 1. (^[7]여기서 " ${\displaystyle }$ ${\displaystyle$\$$약$\"$은$$비수평적 이형성을 의미한다.)

단위 그룹의 구조

아르키메데스가 아닌 지역 필드 F의 0이 아닌 원소의 승수 그룹은 다음과 같은 이형성이다.

${\displaystyle F^{\time }\cong (\varpi )\time \mu _{q-1}\time U^{(1)}$

여기서 q는 잔류장의 순서, μ는_q−1 (q-1) 제1의 단결(F)의 그룹이다. 아벨 그룹으로서의 그것의 구조는 그것의 특성에 달려 있다.

• 만약 F가 양성 특성 p를 가지고 있다면,

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 N은 자연수를 나타낸다.

• F가 특성 0(즉, d의 Q의_p 유한 확장)을 갖는 경우,

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{p}}}}}}.$

여기서 ≥ 0은 F에서 통일의 p-power root 그룹이 ${\displaystyle {{\mu p}^{}}_{}}$a {\$displaystyle \mu _{p^{a}}$이 되도록 정의된다$.$^[8]

지역장론

이 이론은 지역 분야의 유형 연구, 헨젤의 보조마사를 이용한 지역 분야의 확장, 지역 분야의 갈루아 집단의 오물화, 지역 분야의 표준 지도 행동, 지역 계급의 동형성과 지역 계급장 이론에서의 존재 정리, 지역 언어의 연구 등을 포함한다.Ands communications, Hodge-Tate 이론(p-adic Hodge 이론이라고도 함), 지역 계급장 이론에서 힐버트 기호에 대한 명시적 공식(예:^[9] 참조).

고차원 로컬 필드

지방장은 때때로 1차원 지방장이라고 불린다.

비아치메데스 지방장은 비성적 지점에서 1등급의 1차원 산술 체계의 국부 고리가 완성되는 분수 영역으로 볼 수 있다.

음이 아닌 정수 n의 경우, n차원 로컬 필드는 잔여 필드가 (n - 1)차원 로컬 필드인 완전한 이산 평가 필드다.^[5] 지역 영역의 정의에 따라 0차원 지역장은 유한한 필드(이 글에서 사용된 정의가 있음) 또는 양성의 완벽한 필드(fully field)가 된다.

기하학적 관점에서 보면, 마지막 유한잔류장을 가진 n차원 국소장은 자연스레 n차원 산술구도의 완전하위 국기와 연관된다.

참고 항목

• 헨젤 보조정리
• 라미화군
• 지역계급장론
• 상위 로컬 필드

인용구

참조

외부 링크

• "Local field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]