랜덤 재귀 트리

확률론에서 랜덤 재귀 트리는 주어진 수의 정점을 가진 재귀 트리에서 무작위로 고른 루트 트리입니다.

정의 및 생성

$n개의$ 정점이 $있는$ 재귀 트리에서는 정점에 1 $(\$ $displaystyle$ 1 $1$ ) ~ $n$ (\ $displaystyle$ n $n$ 의 $1$ 로 라벨이 지정되며 라벨은 트리 루트에 대한 경로를 따라 감소해야 합니다.이러한 트리는 각 정점의 자식에 대한 구별된 순서가 없다는 점에서 순서가 매겨져 있지 않습니다.랜덤 재귀 트리에서는, 그러한 모든 트리가 동등하게 됩니다.

또는1(\ $displaystyle$ 1)이라는 라벨이 붙은 단일 정점부터 시작하여 2 $(\displaystyle$ 2)에서 $2$ n $(\display$ n $)$ 까지의 $n$ 되는 $n$ $각$ 라벨에 대해 라벨이 작은 랜덤 정점을 선택하여 랜덤 재귀 트리를 생성할 수 있습니다.각 선택지가 균일하고 다른 선택지와 독립적일 경우 결과 트리는 랜덤 재귀 트리가 됩니다.

특성.

$n$ \ $display style$ n} - vertex $n$ 랜덤 재귀 트리의 루트부터 리프까지의 가장 긴 경로의 $e\log n$ 는 $e\log n$ log $e\log n$ n \ $display style$ e $\log$ n 입니다 $e\log n$ ^[1]트리의 모든 정점(즉, 정도)의 최대 자녀 수는 ( $(1\pm o(1))\log _{2}n$ ± $(1\pm o(1))\log _{2}n$ ( $(1\pm o(1))\log _{2}n$ $(1\pm o(1))\log _{2}n$ 2 $(1\pm o(1))\log _{2}n$ n $(1\pm o(1))\log _{2}n$ ( $1\pm o$ (1 $)\log$ _ ${2}n$ ^[2] 입니다.k $(\displaystyle$ k $)$ 정점의 예상 거리는 k $(\displaystyle$ $(1\pm o(1))n\log n$ k $)$ 번째 $k$ 고조파 숫자입니다.이 숫자로부터 모든 루트-버텍스 경로 길이의 $(1\pm o(1))n\log n$ 가 $(1\pm o(1))n\log n$ ± $(1\pm o(1))n\log n$ ( $(1\pm o(1))n\log n$ ) n ${\$ n { $displaystyle$ ( $1\pm o(1$ )\ $log$ n $(1\pm o(1))n\log n$ ^[3]일 가능성이 높다는 예상 선형성이 있습니다.트리의 예상 잎 수는 $n/12$ n $/$ $({$ $displaystyle$ $n$ $/2)$ 이므로 $n/2$ 잎 수는 $(1\pm o(1))n/2$ ( $(1\pm o(1))n/2$ ± $(1\pm o(1))n/2$ (1) $(1\pm o(1))n/2$ / $(1\pm o(1))n/2$ ( $1\pm o$ (1) $n$ /2 $(1\pm o(1))n/2$ ^[4]일 가능성이 높습니다.

적용들

Zhang(2015)은 질병 확산, 피라미드 체계, 언어의 진화, 컴퓨터 ^[4]네트워크의 성장을 포함한 모델링 현상에 랜덤 재귀 트리의 몇 가지 응용 프로그램을 나열합니다.

레퍼런스

^ Pittel, Boris (1994), "Note on the heights of random recursive trees and random $m$ -ary search trees", Random Structures & Algorithms, 5 (2): 337–347, doi:10.1002/rsa.3240050207, MR 1262983
^ Goh, William; Schmutz, Eric (2002), "Limit distribution for the maximum degree of a random recursive tree", Journal of Computational and Applied Mathematics, 142 (1): 61–82, doi:10.1016/S0377-0427(01)00460-5, MR 1910519
^ Dobrow, Robert P.; Fill, James Allen (1999), "Total path length for random recursive trees", Combinatorics, Probability and Computing, 8 (4): 317–333, doi:10.1017/S0963548399003855, MR 1723646
^ ^a ^b Zhang, Yazhe (2015), "On the number of leaves in a random recursive tree", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 29 (4): 897–908, doi:10.1214/14-BJPS252, MR 3397399

[p-1] Pittel, Boris (1994), "Note on the heights of random recursive trees and random $m$ -ary search trees", Random Structures & Algorithms, 5 (2): 337–347, doi:10.1002/rsa.3240050207, MR 1262983

[gs-2] Goh, William; Schmutz, Eric (2002), "Limit distribution for the maximum degree of a random recursive tree", Journal of Computational and Applied Mathematics, 142 (1): 61–82, doi:10.1016/S0377-0427(01)00460-5, MR 1910519

[df-3] Dobrow, Robert P.; Fill, James Allen (1999), "Total path length for random recursive trees", Combinatorics, Probability and Computing, 8 (4): 317–333, doi:10.1017/S0963548399003855, MR 1723646

[z-4] Zhang, Yazhe (2015), "On the number of leaves in a random recursive tree", Brazilian Journal of Probability and Statistics, 29 (4): 897–908, doi:10.1214/14-BJPS252, MR 3397399

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