랜덤 정규 그래프

랜덤 r-정규 $그래프$는 ${\displaystyle {Gn}_{}}$, ${\displaystyle r_{}}${\$displaystyle${\$mathcal{G$$}$$_{n,r}$에서 선택한 그래프로, $여기$서 < n ${\displaystyle 3\leq$ r$<n}$과 n ${\displaystynr}$의 모든 r-정규 그래프의 확률공간을 나타낸다$.$^[1]따라서 이 그래프는 특정한 종류의 랜덤 그래프지만, 규칙성 제한은 대부분의 그래프가 정규 그래프가 아니기 때문에 포함할 속성을 크게 변경한다.

랜덤 정규 그래프의 속성

더 일반적인 랜덤 그래프를 사용하는 경우처럼, $랜덤{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$– 정규 그래프의 특정 속성이 거의 확실히 점증적으로 유지됨을 증명할 수 있다.$특히{\displaystyle }$, r${\displaystyle 3}$ 3$${\$displaystyle r\geq 3}$의 경우$,$ 큰 크기의 무작위 r-정규 그래프는 거의 확실히 r-연결된다.^[2]즉, $연결성$이$$r {\$displaystyle$ r$}$보다 작은 r$${\$displaystyle r$$}$– 일반 그래프가 존재하지만$$, $이러한{\displaystyle }$ 그래프를 선택할 확률은 n ${\displaystyle$ n$}$이(가) 증가함에 따라 0으로 경향이 있다.

> ${\displaystyle \epsilon >0}$이(가) 양의 상수이고 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 만족하는 최소 정수인 경우

${\displaystyle (r-1)^{d-1}\geq (2+\epsilon )rn\lnn}$

그런 다음, 무증상적으로 거의 확실히, 무작위 r-정규 그래프는 최대 d의 직경을 가진다.r-정규 그래프의 지름에도 (더 복잡한) 하한이 있어 (같은 크기의) 거의 모든 r-정규 그래프의 지름이 거의 같다.^[3]

짧은 주기 횟수의 분포도 알려져 있다: $고정{\displaystyle }$ m ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle m\geq 3$의 경우 $Y{\displaystyle {}_{}}$ 3,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$Y ${\displaystyle m_{}}$ ${\$$Y_{m}}$은(는) m ${\displaystyle m}$까지의 길이의 주기 수입니다$.$그러면 ${\displaystyle {Yi}_{}}$ ${\$는 평균이^[4] 있는 점증적으로 독립된 포아송 랜덤 변수다$$.

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {(r-1)^{i}{2}}}}$

랜덤 정규 그래프에 대한 알고리즘

대부분의 그래프가 정규적이지 않기 때문에 r-정규형 그래프의 무작위 선택을 효율적이고 편견 없이 구현하는 것은 비경쟁적이다.페어링 모델(구성 모델도)은 nr 포인트를 가져다가 각각 r포인트가 있는 n버킷으로 분할하는 방식이다.nr 지점의 무작위 일치를 취한 다음 각 버킷의 r 지점을 하나의 꼭지점으로 수축하면 r-정규 그래프 또는 다중 그래프가 생성된다.이 물체에 다중 에지나 루프가 없는 경우(즉, 그래프) 필요한 결과가 된다.그렇지 않으면 다시 시작해야 한다.^[5]

이 방법의 정교함은 브렌던 맥케이와 니콜라스 웜알드에 의해 개발되었다.^[6]

참조