래쉬 모형 추정

Rasch 모형의 추정은 Rasch 모형의 모수를 추정하는 데 사용된다.반응 데이터의 행렬로부터 모수를 추정하기 위해 다양한 기법이 사용된다.가장 일반적인 접근방식은 관절 및 조건부 최대우도 추정과 같은 최대우도 추정 유형이다.합동 최대우도(JML) 방정식은 효율적이지만 유한한 항목 수에 대해서는 일관되고 편향되지 않은 항목 추정치를 제공하는 반면, 조건부 최대우도(CML) 방정식은 일관되고 치우치지 않은 항목 추정치를 제공한다.개인 모수의 추정에 대한 가중우도 추정 방법은 편향을 감소시키지만 개인 추정치는 일반적으로 편향과 관련된 편향을 가지고 있다고 생각된다.

래쉬 모델

이분법적 데이터에 대한 Rasch 모델은 다음과 같은 형식을 취한다.

\Pr\{X_{ni}=1\}={\frac {\exp({\beta _{n}-{\delta _{i})}{1+\exp({\beta _{n}-{n}-{\delta _{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},},},

여기서 $\beta _{n}$ $\beta _{n}$ ${\$ 는 $\beta _{n}$ 사람 $n$ $n$ 의 능력이고 $n$ $\delta _{i}$ $\delta _{i}$ ${\$ i}는 $\delta _{i}$ 항목 $i$ ${\displaysty$ i $}$ 의 난이도 입니다 $i$

관절 최대우도

$x_{ni}$ $x_{ni}$ $x_{ni}$ ${\$ 항목 i에서 person n에 대해 관찰된 응답을 나타내도록 $x_{ni}$ 한다.개별 반응의 확률의 산물인 관측 데이터 행렬의 확률은 우도 함수에 의해 주어진다.

\Lambda ={\frac {\prod _{n}\prod _{i}\exp(x_{ni})(\beta _{n}-\delta _{i})}}{\prod _{n}\prod _{i}(1+\exp(\prod _{n}-\prod _{i})}}.

그러면 로그 우도 함수가

\log \Lambda =\sum _{n}^{{n}^\beta _{n}r_{n}-\sum _{i}^{n}^{n}}}{n}^}I}\delta _{i}s_{i}-\sum _{n}^{{N}\sum _{i}^{i}^{n}}}I}\log(\beta _{n}-\delta _{i})

여기서 $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ = $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ ${\$ $I}x_{ni}$ 는 $r_{n}=\sum _{i}^{I}x_{ni}$ person n의 총원점수, $s_{i}=\sum _{n}^{N}x_{ni}$ = $s_{i}=\sum _{n}^{N}x_{ni}$ N $s_{i}=\sum _{n}^{N}x_{ni}$ $s_{i}=\sum _{n}^{N}x_{ni}$ ${\$ _ ${n}^{N}x_{$ ni $}}}}}}$ 는 $s_{i}=\sum _{n}^{N}x_{ni}$ 항목 i의 총원점수, N은 총원수, I는 항목 수입니다.

솔루션 $\delta _{i}$ 은 $\delta _{i}$ i {\ $displaystyle \delta _$ { $}$ $\delta _{i}$ 및 $\beta _{n}$ {\ $displaystyle \beta$ _{ $n}$ 에 대한 부분파생상품을 취하여 결과를 $\beta _{n}$ 0으로 설정함으로써 얻는다.JML 솔루션 방정식은 다음과 같다.

s_{i}=\sum _{n}^{N}p_{ni}}\quad i=1,\dots,I

r_{n}=\sum _{i}^{I}p_{ni},\quad n=1,\dots,N

여기서 $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ = $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ - $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ ) $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ / $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ ( $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ + $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ - $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ i $p_{ni}=\exp(\beta _{n}-\delta _{i})/(1+\exp(\beta _{n}-\delta _{i}))$ ) ${\displaystyle p_{ni}=\exp(\disp _{n}-\i}/(1+\exp _{n}-\i$

결과 추정치는 편향적이며, 0점수(정답 없음) 또는 100% 정답(완벽한 점수)인 사람에 대해서는 유한한 추정치가 존재하지 않는다.점수가 극한 항목도 마찬가지지만, 이 항목에도 추정치는 존재하지 않는다.이러한 편견은 키퍼&울포위츠(1956년)가 설명한 잘 알려진 효과 때문이다.순서가 $(I-1)/I$ ( $(I-1)/I$ - $(I-1)/I$ ) / $(I-1)/I$ $(I-1)/I$ 이고 $(I-1)/I$ 각 $\delta _{i}$ $\delta _{i}$ {\ $displaystyle \delta _{i$ }에 $(I-1)/I$ ( $(I-1)/I$ - $(I-1)/I$ ) $(I-1)/I$ / $(I-1)/I$ $(I-1)/I$ 의 곱을 더 정확하게 구한다 $\delta _{i}$ $(I-1)/I$

조건부 최대우도

조건부 우도 함수는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \Lambda =\prod _{n}\mid r_{{n}\n}\}}={\frac(\sum _{i}-s_{delta _{i}}}}}}{n}gama _{r}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

어떤 점에서

\property_{r}=\sum _{(x)\mid r}\expect\sum _{i}\ni}\properties _{i}}}

순서 r의 기본적인 대칭함수로서, r 항목의 모든 조합에 대한 합을 나타낸다.예를 들어, 세 가지 항목의 경우,

\properties _{2}=\expect\properties _{1}-\properties _{2}-\properties _{3}+\expect\properties _{2}-\properties _{3}).

자세한 내용은 이분법적 라스치 모델의 경우 폰 다비에르(2016), 다원질 라스치 모델의 경우 본 다비에르&로스트(1995)의 장에서 확인할 수 있다.

추정 알고리즘

Rasch 모델의 매개변수 추정에 어떤 종류의 기대 최대화 알고리즘이 사용된다.최대우도 추정을 구현하기 위한 알고리즘은 로그 우도 함수의 부분파생상품을 0으로 설정하여 얻은 솔루션 방정식에 대해 해결하기 위해 뉴턴-래프슨 반복을 일반적으로 채택한다.수렴 기준은 반복이 중단되는 시기를 결정하는 데 사용된다.예를 들어, 모든 항목에 대해 한 반복과 다른 반복 사이에 평균 항목 추정치가 0.001과 같은 특정 값보다 작은 값으로 변경되는 것이 기준일 수 있다.

참고 항목

참조

리나크레, J.M. (2004)Rasch 측정에 대한 추정 방법.E.V. 제2장Smith & R. M. Smith (Eds.)Rasch Measurement 소개.메이플 그로브 MN: JAMP 프레스.
리나크레, J.M. (2004)Rasch 모델 추정: 추가 주제E.V. 24장Smith & R. M. Smith (Eds.)Rasch Measurement 소개.메이플 그로브 MN: JAMP 프레스.
폰 다비에 M, 로스트 J. (1995) 폴리토머스 혼합 래쉬 모델.인: 피셔 G.H. 몰레나 I.W. (eds) 라스치 모델스프링거, 뉴욕, 뉴욕. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4230-7_20
폰 다비에, M. (2016)라쉬 모델.제3장: 반 데어 린덴, W. (편집) 항목 대응 이론 핸드북, 제1권 제2판CRC 프레스, 페이지 31-48.https://www.taylorfrancis.com/chapters/edit/10.1201/9781315374512-12/rasch-model-matthias-von-davier

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