레일리-로렌츠 진자

레일리-로렌츠 진자(또는 로렌츠 진자)는 단순한 진자이지만, 레일리 경과 헨드릭 로렌츠의 이름을 딴 외부 작용(진자 길이 변화에 따라 주파수가 달라짐)으로 인해 서서히 변화하는 주파수를 받게 된다.^[1]이 문제는 역학에서 부차적 불변제 개념의 기초를 형성했다.주파수의 느린 변동을 감안하여 평균 에너지 대 주파수 비율이 일정하다는 것을 알 수 있다.

역사

진자 문제는 레옹 르코르누가 1895년 이전에 논의한 수학적인 측면도 있지만 1902년 레이즐리 경에 의해 처음 공식화되었다.^[2][3]레일리의 일을 모르고, 1911년 제1회 솔베이 회의에서 헨드릭 로렌츠는 그 당시 양자 이론을 명확히 하기 위해 "단순 진자는 매달리는 실의 길이가 점차 짧아질 때 어떻게 행동하는가?"라는 질문을 제안했다.이에 대해 알버트 아인슈타인은 다음날 "양자 진자의 에너지와 주파수 모두 비율이 일정하게 변화하여 진자가 초기 상태와 동일한 양자 상태에 있게 된다"고 응답했다.이 두 개의 별개의 작품은 다양한 분야와 오래된 양자 이론에서 응용 분야를 찾아낸 부차적 불변성 개념의 기초를 형성하였다.1958년, 수브라만찬 찬드라세카르는 이 문제에 관심을 갖고 연구하여 문제에 대한 새로운 관심이 설정되었고, 그 후 존 에드엔소 리틀우드 등과 같은 많은 다른 연구자들에 의해 연구되었다.^[4][5][6]

수학적 설명

변위 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ $\omega$ }에 대한$$ 주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ \omega $}$을(를$) 포함$한 단순 고조파 운동의 방정식은 다음과 같다$$.

${\dplaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x=0.}$

If the frequency is constant, the solution is simply given by ${\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi )}$. But if the frequency is allowed to vary slowly with time ${\displaystyle \omega =\omega (t)}$, or precisely, if the characteristic time scale for the frequency variation is much smaller than the ti내가 진동하는 기간, 즉

${\displaystyle \frac {1}{\omega}}{\frac {d\omega}}{dt}\오른쪽 \ll \omega,}$

라고 보여질 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\overline {E}{\omega}}={\text{constant},}$

여기서 $'{\$은 진동에서 평균 에너지 입니다.외부 작용으로 인해 주파수가 시간에 따라 변화하고 있기 때문에 에너지의 보존은 더 이상 유지되지 않고 단일 진동에서의 에너지는 일정하지 않다.진동이 일어나는 동안 주파수는 (얼마나 느리게), 에너지도 변한다.따라서 시스템을 설명하기 위해 다음과 같이$$ 특정 잠재적 $V{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle V(x;\omega )}$에 대한 단위 질량당 평균 에너지를 정의한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\overline {E}=\point dt\왼쪽[{\frac {1}{1}{1}{{dx}{dt}\오른쪽)^{2}+V(x(t);\wright]/\point dt\ended{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 닫힌 적분은 그것이 완전한 진동으로 흡수된다는 것을 의미한다.이렇게 정의하면 평균화가 이루어지며, 진자가 그 원소에서 보내는 시간의 분율로 궤도의 각 원소에 가중치를 부여한다는 것을 알 수 있다.단순 고조파 오실레이터의 경우

${\displaystyle {\overline{E}={\frac {1}{2}}A^{2}\오메가^{2}}$

여기서 진폭과 주파수는 모두 시간의 함수다.

참조