필드 노멀

수학에서 (필드) 규범은 필드 이론에 정의된 특정한 매핑으로, 더 큰 필드의 요소를 하위 필드로 매핑한다.

형식 정의

K를 필드로 하고 L을 K의 유한한 확장(따라서 대수적 확장)으로 한다.

그러면 필드 L은 K 위에 있는 유한 치수 벡터 공간이다.

L의 원소인 α에 의한 곱셈,

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle {m\alpha }_{}}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m_{\property }(x)=\properties$ x$\},$

이 벡터 공간의 K-선형 변환이다.

표준_L/K N(α)은 이 선형 변환의 결정 인자로 정의된다.^[1]

L/K가 갈루아 확장인 경우, α의 모든 갈루아 결합체의 산물로 α α L의 규범을 계산할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal}(L/K)}\sigma(\alpha ),}$

여기서 Gal(L/K)은 L/K의 Galois 그룹을 의미한다.^[2] (제품 용어에 반복이 있을 수 있다는 점에 유의)

일반 필드 확장자 L/K 및 0이 아닌 α의 경우,

σ₁(α), ..., σ_n(α)을 K에 대한 α의 최소 다항식의 뿌리(다중성으로 나열되어 있고 L의 어떤 확장 영역에 놓여 있는 뿌리)로 하고 나서,

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}}$.

L/K가 분리가 가능한 경우 각 루트는 제품에 한 번만 나타난다(지수, 도 [L:K(α)]), 여전히 1보다 클 수 있다.

예

2차 필드 확장

규범의 기본적인 예 중 하나는 2차 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ 확장 Q${\displaystyle }$(${\displaystyle a\sqrt{}}$) / ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$에서 나온다. 여기서$$ ${\displaystyle a}$은 제곱이 없는 정수다.

그런 다음 $요소{\displaystyle }$ x + ${\displaystyle y\cdot }$에 있는 ${\$$${$a}$에 의한 곱셈 맵은 다음과$$ 같다$.$

${\displaystyle {\sqrt {a}\cdot(x+y\cdot {\sqrt {a})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}.}$

원소 $x{\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a\sqrt{}}$ ${\$는 벡터로 나타낼$$ 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\end{bmatrix},}$

$직접$ 합계 분해 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle Q\sqrt{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ \ $\mathb {Q}({\sqrt{a})=\mathb {Q} \oplus \mathb {Q} \cdot{\sqrta}}$ \cdatab ${\$ - 벡터$$ 공간.

$m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {a\sqrt{}}_{}}$ ${\$의 행렬은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle m_{\sqrt{a}={\\\bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ ${\displaystyle {표준}_{}}$은 N Q ( a${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {Q\sqrt{}}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle N_{\mathb {Q}({\sqrt {a})/\mathb {$Q$}$ }} $}=-a$}이다$.$

이 예에서 규범은 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 일반적인 유클리드 거리 규범의 제곱이었습니다$.$

일반적으로 필드 규범은 일반적인 거리 규범과 매우 다르다.

현장 규범이 음수일 수 있는 예를 들어 설명하겠다.

Q의 표준((2)

숫자 필드 $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle Q\mathbb{}(2\sqrt{\mathrm{}}}$ )${\displaystyle K=\mathb$ {$Q}({\sqrt${2$})}$을 고려하십시오$.$

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 $대한{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle K}$의 Galois 그룹은 $d{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle d$$=2$$}$을(를$)$${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 $보내는{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 요소에 의해 생성된다$.$

따라서 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 1$+{\sqrt{2$}의 표준은 다음과 같다$$.

${\displaystyle(1+{\sqrt{2}})(1-{\sqrt{2}})=-1.}$

밭 규범도 갈루아군 없이도 얻을 수 있다.

$Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$- $Q$ (${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ )${\displaystyle \mathb {Q}({\sqrt{2})$를 수정하십시오$.$

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,{\sqrt{2$

그런 다음 숫자 $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}${\$displaystyle 1+{\sqrt{2}}:$ 전송$$

1$$~$1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 1$+{\sqrt{2$}}$$및

${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\$$2$ + ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 2$+{\sqrt{2$

$따라서$ "1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$에 의한 $다중화$"의 결정요인은 벡터를 보내는 행렬의 결정요인이다$.$

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ 0 ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$첫 번째 기본 요소, 즉 1) ~${\displaystyle }$[${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}0\mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ ${\$두 번째 기본 $요소$에 추가됨, ${\displaystyle \begin{array}{c}즉\mathrm{}\end{array}}$$$2 {\$displaystyle${\$sqrt{2$ ~${\displaystyle }$[$2$ {\$displaysty}{bmatrix}2\1\end${bmatrix$\}\},$

viz.:

${\displaystyle {\bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}.}$

이 행렬의 결정요인은 -1이다.

K번째 루트 필드 확장

또 다른 쉬운 유형의 예는 $Q{\displaystyle \mathbb{}(\text{exception 25:}}$)${\displaystyle }$/ Q ${\$ 형식의 필드 확장(field extension)에서 비롯되며, 여기서${\displaystyle where\mathbb{}}$ Q ${\displaystyle$ $a\in \mathb$ {$Q}$$$-th$$ $power$는 포함되지$$ 않는다.

$요소$의 ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\$에 의한 곱셈 맵은

${\displaystyle {\regated}m_{\sqrt[{p}]{a}(x)&={\sqrt[{p}]{a}\cdot(a_{1}+a_{2)}}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{3}}{\sqrt[{p}}}{a^{2}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}}}}{a^{p-1}}}}\&=a_{1}{\sqrt[{p}}}}}}}}+a_{2}}}{\sqrt[{p}]{a^{2}}+a_{3}}}{\sqrt[{p}]{a^{3}}+\cdots +a_{p-1}a\ended}}}}$

매트릭스 주기

${\displaystyle {\bmatrix}0&#0&\cdots &0&a\1&a\1&#1&\cdots &0&\vdots &\vdots &\vdots &\0&#0&#cdots &1&{bmats}}}}}}}}}}}}}$

결정 인자가 규범을 제시한다.

${\displaystyle N_{\mathb {Q}({p}]{a})/\mathb {Q}}}({\sqrt[{p}{a}})=(-1)^{p-1a=a.}$

실제보다 복잡한 수

복잡한 번호에서 실제 번호로 전송되는 필드 표준

x + iy

로

x² + y²,

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {C}$ 위에 있는$$ C ${\$$displaystyle \mathb {R}$의 Galois 그룹에는 두 가지 요소가 있으므로$$,

• 신원 요소 및
• 복합적 결합,

제품² 산출률(x + iy)(x - iy) = x + y².

유한장

L = GF(qⁿ)를 유한장 K = GF(q)의 유한한 확장으로 한다.

L/K는 갈루아 연장이기 때문에 α가 L에 있다면 α의 규범은 α의 모든 갈루아 결합체의 산물이다.^[3]

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q^}\cdot \alpha \cdots \{q^{n-1}=\alpha ^{(q^{n:1}}-1)/q-1}.$

이 설정에서는 추가 속성이 있으며,^[4]

• ${\displaystyle \all \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q}=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \all a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

표준의 속성

한정된 확장에 대해 표준 함수의 몇 가지 특성이 유지된다.^[5][6]

집단동형성

규범_L/K N : L* → K*는 L의 승수군에서 K의 승수군까지의 집단 동형상, 즉 K의 승수군이다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{{}}}} }}}}}}}모든 \\\alpha,\beta,\beta \beta \in L^*}}$

또한, a가 K인 경우:

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{{{}모든 }\alpha \in L.}$

만일 $a{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {K이면}_{}}$ ${\displaystyle {}^L{}_{}}$/ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle L{}^{}}$: K ${\displaystyle {]}^{}}$. ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}}}}}$

필드 확장이 있는 구성

또한 표준은 필드 타워에서 잘 작동한다.

M이 L의 유한한 확장인 경우, M에서 K까지의 표준은 L에서 K까지의 표준과 M에서 L까지의 표준의 구성일 뿐이다.

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circule \operatorname {N} _{M/L}.}$

표준의 감소

임의의 필드 확장에서 요소의 표준은 필드 확장의 정도가 이미 알려진 경우 더 쉬운 계산으로 축소될 수 있다. 이것은

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}}}$^[6]

For example, for ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ in the field extension ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$, the norm of ${\displaystyle \alpha }$ is

${\displaystyle {\reasoned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

필드 확장자 $L{\displaystyle }$/ K${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle L/K(\alpha )}$의 정도가 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2$이므로.

단위 검출

원소 $\alpha {\displaystyle }$α ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$K {\$displaystyle \alpha \in${\$mathcal{O}_{K$}}는 N${\displaystyle K_{}}$/${\displaystyle {Q(}_{}\alpha }$)${\displaystyle }$= ± ${\displaystyle 1}${\$displaystyle N_{K/\mathb {Q}(\alpha )=\pm 1}$인 경우에만 단위다$.$

예를 들어.

${\displaystyle N_{\mathb {Q}(\zeta _{3}/\mathb {Q}}}(\zeta _{3}=1})$

어디에

${\displaystyle {\zeta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1$

그런 $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ 3$${\$displaystyle$$${\$mathcal{O}_{K}}$을(를) 포함하는$$ 숫자 필드 O ${\displaystyle K_{}}$ ${\$displaystyle $\zeta_{3}$는 하나의$$ 단위로 한다.

추가 특성

대수 정수의 규범은 다시 정수인데, 그 이유는 (서명까지) 특성 다항식의 상수 항과 같기 때문이다.

대수적 숫자 이론에서 1은 또한 이상에 대한 규범도 정의한다. 이것은 만약 내가 O의_K 0이 아닌 이상이라면, 숫자 필드 K의 정수 링, N(I$)$은 $O{\displaystyle {}_{}}$ $/I$의 잔류물 등급 수,$$$즉$ 이 유한 링의 카디널리티를 의미한다. 따라서 이 이상적인 규범은 항상 양의 정수다.

내가 주 이상 αO일_K 때 N(I)은 α의 Q에 대한 표준의 절대값과 같다.

참고 항목

• 필드 트레이스
• 이상규범
• 규범형식

메모들

참조

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 20 (Second ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-39231-4, Zbl 0866.11069
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Field theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 158 (Second ed.), Springer, Chapter 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl 1172.12001
• Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7