대수확장

Algebraic extension

추상 대수학에서, L의 모든 원소가 K에 대해 대수학인 경우, 즉 L의 모든 원소가 K에 계수가 있는 어떤 0이 아닌 다항식의 루트인 경우, 필드 확장 L/K를 대수학이라고 한다.[1][2] 대수학적이지 않은 필드 확장, 즉 초월적 요소를 포함하는 것을 초월적이라 한다.[3][4]

예를 들어, 합리수 분야의 확장으로서 실수의 분야인 필드 익스텐션 R/Q는 초월적인 반면,[5] 필드 익스텐션 C/R과[6] Q(√2)/Q는[7] 대수적인 것으로 여기서 C는 복합수의 분야다.

모든 초월적 확장은 무한하다. 이는 다시 모든 유한한 확장이 대수학임을 암시한다.[8] 그러나 그 반대는 사실이 아니다: 대수학인 무한한 확장이 있다.[9] 예를 들어, 모든 대수적 숫자의 장은 이성적 숫자의 무한한 대수적 확장이다.[10]

E는 K의 확장장이 되고, e E가 된다. a가 K에 대한 대수라면, K에 계수가 있는 의 모든 다항식 집합인 K(a)는 링일 뿐만 아니라 필드다: K(a)는 K에 대해 유한한 정도를 갖는 K의 대수적 확장자는 K(a)[11]는 K의 대수적 확장이다. 그 반대는 사실이 아니다. Q[π]와 Q[e]는 분야지만 but과 e는 Q보다 초월적이다.[12]

대수적으로 폐쇄된 필드 F는 적절한 대수적 확장자, 즉 F < E를 가진 대수적 확장자 E를 가지고 있지 않다.[13] 예는 복잡한 숫자의 필드다. 모든 분야에는 대수적으로 닫히는 대수적 확장(그 대수적 폐쇄라고 함)[14]이 있지만, 이것을 일반적으로 증명하려면 어떤 형태의 선택 공리가 필요하다.

확장 L/K는 L의 모든 하위 K-algebra가 필드인 경우에만 대수학이다.

특성.

대수적 확장자의 클래스는 필드 확장의 구별된 클래스를 형성한다. 즉, 다음 세 가지 속성이 다음을 유지한다.[15]

  1. 만약 E가 F의 대수적 확장이고 F가 K의 대수적 확장이라면 E는 K의 대수적 확장이다.
  2. E와 F가 공통의 오버필드 C에서 K의 대수적 확장이라면, 합성 EF는 K의 대수적 확장이다.
  3. E가 F와 E>K>F의 대수적 확장이라면 E는 K의 대수적 확장이다.

이러한 최종 결과는 트랜스핀라이트 유도를 사용하여 일반화할 수 있다.

  1. 염기장에 대한 모든 대수적 확장 체인의 결합은 그 자체로 같은 염기장에 대한 대수적 확장이다.

이 사실은 조른의 보조정리(적절하게 선택된 포지셋에 적용)와 함께 대수적 폐쇄의 존재를 확립한다.

일반화

주요 기사: 하부 구조(수학)

모델 이론은 임의 이론에 대한 대수적 확장의 개념을 일반화한다: N에 M을 내장하는 것을 대수적 확장이라고 한다. 만일 N에 있는 모든 x에 대해 p(x)가 참이고 집합이 있는 M에 매개변수가 있는 공식 p가 있다면.

유한하다. 이 정의를 분야 이론에 적용하는 것은 대수적 확장의 통상적인 정의를 주는 것으로 밝혀졌다. M에 대한 N의 갈루아 집단은 다시 자동화 집단으로 정의될 수 있으며, 갈루아 집단의 이론의 대부분은 일반적인 경우를 위해 개발될 수 있는 것으로 밝혀졌다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 프레일리(2014), 정의 31.1, 페이지 283.
  2. ^ Malik, Mordeson, Sen(1997), Definition 21.1.23, 페이지 453.
  3. ^ 프레일리(2014), 정의 29.6, 페이지 267.
  4. ^ 말릭, 모르데손, 센(1997), 정리 21.1.8, 페이지 447.
  5. ^ Malik, Mordeson, Sen(1997), 사례 21.1.17, 페이지 451.
  6. ^ 말릭, 모르데손, 센(1997), 정리 21.1.8, 페이지 447.
  7. ^ 프레일리(2014), 사례 31.8, 페이지 285.
  8. ^ Hazewinkel 등도 참조하십시오. (2004), 페이지 3.
  9. ^ 프랄리 (2014), 정리 31.18, 페이지 288.
  10. ^ 프랄리 (2014), 코롤라리 31.13, 페이지 287.
  11. ^ 프레일리(2014), 정리 30.23, 페이지 280.
  12. ^ 프레일리(2014), 사례 29.8, 페이지 268.
  13. ^ 프랄리 (2014), 코롤라리 31.16, 페이지 287.
  14. ^ 프랄리 (2014), 정리 31.22, 페이지 290.
  15. ^ Lang(2002) 페이지 228

참조

  • Fraleigh, John B. (2014), A First Course in Abstract Algebra, Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebras, rings and modules, 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  • Lang, Serge (1993), "V.1:Algebraic Extensions", Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
  • Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997), Fundamentals of Abstract Algebra, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
  • Roman, Steven (1995), Field Theory, GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687