비교적 쌍곡선군

수학에서 비교적 쌍곡선 집단의 개념은 쌍곡선 집단의 기하학적 집단 이론 개념의 중요한 일반화다.상대적으로 쌍곡선 집단의 동기를 부여하는 예는 유한 부피의 완전한 비복합형 쌍곡선 다지기의 기본 집단이다.

직관적 정의

H-코세트를 따라 G의 Cayley 그래프를 수축한 후, 일반적인 그래프 메트릭을 갖춘 결과 그래프가 Δ-hyperbolic 공간이 되고, 더욱이 그것은 공통의 엔드포인트를 가진 준지오디지오디컬이 대략 다음 사항을 통해 이동한다는 것을 암시하는 기술적 조건을 만족하는 경우, 그룹 G는 부분군 H에 대해 상대적으로 쌍곡선이다.동일한 코세트를 수집하고 거의 동일한 위치에 이 코세트를 출입한다.

형식 정의

Cayley graph Ⅱ(G)가 경로 메트릭과 G의 부분군 H가 장착된 미세 생성 그룹 G를 사용하면 다음과 같이$$ Cayley graph ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle (G}$, H$){\daystyle {\hat {\\Gamma}}}(G,$H)에서 conned를 구성할 수 있다.각 왼쪽 코셋 gH에 대해 정점 v(gH)를 Cayley 그래프 graph(G)에 추가하고, gH의 각 원소 x에 대해 x에서 1/2 길이의 에지 e(x)를 정점 v(gH)에 추가한다.따라서 미터법 공간이 적절하지 않을 수 있다(즉, 닫힌 볼은 압축할 필요가 없다).

보우디치가 공식화한 비교적 쌍곡선 집단의 정의는 다음과 같다.$Cayley{\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ 그래프 ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ (${\displaystyle G}$, $){\displaystyle {\hat$ {\\hat ${\\Gamma }}(G,H)}}$의 속성이 있는$$ 경우 G 그룹은 부분군 H에 상대적인 쌍곡선이라고 한다.

• Δ-hyperbolic이고
• 미세하다: 각 정수 L에 대해, 모든 가장자리는 길이 L의 많은 단순한 사이클에 속한다.

첫 번째 조건만 유지된다면 G 그룹은 H에 관해서 약하게 비교적 쌍곡선이라고 한다.

conned of Cayley 그래프의 정의는 하위그룹 집합의 경우에 일반화될 수 있으며 상대적 쌍곡성의 해당 개념을 산출한다.상대적으로 쌍곡성이 있는 부분군의 집합이 없는 G그룹은 비상대적 쌍곡군이라고 한다.

특성.

• 만약 그룹 G가 쌍곡선 그룹 H에 대해 상대적으로 쌍곡선이라면, G 자체는 쌍곡선이다.

예

• 유한 계급의 자유 그룹이나 쌍곡 표면의 기본 그룹과 같은 모든 쌍곡성 그룹은 사소한 부분군에 상대적인 쌍곡성이다.
• 유한 부피의 완전한 쌍곡 다지관의 기본 그룹은 그것의 정점 부분군에 상대적인 쌍곡선이다.유사한 결과가 음의 단면 곡률로 고정된 완전한 유한 볼륨 리만 다지관에 대해 유지된다.
• 순위 2의 자유 아벨리아 그룹² Z는 약하게 쌍곡성이지만 주기적인 부분군 Z에 상대적인 쌍곡선은 아니다:$graph{\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}^}$ (${\displaystyle {}^{}}$2,${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ){\$displaystyle {\hat {Z}}}}}}(\mathb${Z$} ^{$2},\$mathb${Z$})})$가 쌍곡이지만 괜찮지 않다.
• 방향성이 있는 유한형 표면의 매핑 클래스 그룹은 쌍곡선(3g+n<5, 여기서 g는 속이고 n은 구멍의 수)이거나 상대적으로 쌍곡선이 아니다.
• 최소 3등급의 자유집단의 오토모르피즘 집단과 외부 오토모르피즘 집단은 비교적 쌍곡선이 아니다.

참조

• 미하일 그로모프, 쌍곡선 그룹, 그룹 이론 에세이, 수학.Sci. Res.1987년 스프링거, 뉴욕 주 스프링거, 8, 75-263
• Denis Osin, 상대적으로 쌍곡선 그룹: 내적 기하학, 대수적 속성 및 알고리즘 문제, arXiv:math/0404040v1(math)GR), 2004년 4월.
• 벤슨 파브, 비교적 쌍곡선 그룹, 검펑트. 항문 8(1998), 810–840.
• Jason Behrstock, Cornelia Druuu, Lee Mosher, 두꺼운 메트릭스페이스, 상대적 쌍곡성, 준 등축성, arXiv:math/0512592v5 (수학)GT), 2005년 12월.
• 대니얼 그로브스와 제이슨 폭스 매닝, 비교적 쌍곡선 그룹을 채우는 딘, arXiv:math/0601311v4[math]GR, 2007년 1월.