이완(반복적 방법)

수치 수학에서 이완 방법은 비선형 시스템을 포함한 방정식의 시스템을 푸는 반복적인 방법이다.^[1]

이완법은 미분방정식의 유한차이탈 분화로 발생한 대규모 희박한 선형 시스템을 해결하기 위해 개발되었다.^[2][3]또한 선형 최소 제곱 문제에^[4] 대한 선형 방정식의 해법 및 선형 프로그래밍에서 발생하는 선형 불평등 시스템에도 사용된다.^[5][6][7]그것들은 또한 방정식의 비선형 시스템을 해결하기 위해 개발되었다.^[1]

이완 방법은 특히 라플레이스의 방정식과 그것의 일반화 포아송 방정식과 같은 타원 부분 미분 방정식을 모형화하는 데 사용되는 선형 시스템의 해법에서 중요하다.이 방정식은 영역 경계에서 솔루션 함수의 값이 지정되는 경계 값 문제를 기술한다. 문제는 내부에서도 솔루션을 계산하는 것이다.이완법은 예를 들어 유한차이에 의한 미분방정식의 탈각으로 인한 선형 방정식을 해결하기 위해 사용된다.^[4][3][2]

용액의 반복적 이완은 라플레이스의 방정식과 같은 특정 방정식에서는 용액 벡터에 국소 평활 필터를 반복적으로 적용하는 것과 유사하기 때문에 일반적으로 평활이라고 불린다.이러한 방법들은 수학 최적화에서 완화 방법과 혼동해서는 안 되며, 이는"완화"해결책이 원래 문제의 해결책에 대한 정보를 제공하는 더 단순한 문제 때문에 어려운 문제를 대략적으로 다룬다.[7]

전위 이론의 모델 문제

φ이 실수에 대한 매끄러운 실제값 함수인 경우, φ의 두 번째 파생상품은 다음과 같이 근사할 수 있다.

${\d^{2}\varphi (x)}{{dx}^{2}}={\frac {\varphi (x{-}h)-2\varphi (x)+\varphi (x{+}h)}{h^{2}}\,+}}{h^{O(h^{2},}}}}}}})\\}}$

점(x, y)에 있는 두 개의 인수의 함수 for에 대해 이것을 양쪽 차원에 사용하고, ((x, y)에 대한 해결은 다음을 초래한다.

${\displaystyle \varphi (x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}{\nabla }^{2}\varphi (x,y)\right)\,+\,{\mathcal {O}}(h^{4})\,.}$

포아송 방정식의 용액을 근사하게 하려면:

${\displaystyle {\bla }^{2}\varphi =f\,}$

격자 간격 h가 있는 2차원 그리드에서 이완 방법은 주어진 함수 φ 값을 경계 부근의 격자점에 할당하고, 임의 값을 내부 격자점에 할당하여 내부 격자점에 할당 repeatedly := φ*을 반복적으로 수행하며, 여기서 φ*은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varphi ^{*}(x,y)={\tfrac {1}{4}}\left(\varphi (x{+}h,y)+\varphi (x,y{+}h)+\varphi (x{-}h,y)+\varphi (x,y{-}h)\,-\,h^{2}f(x,y)\right)\,,}$

수렴할 ^[3][2]때까지

여기에 2차원으로 스케치된 이 방법은 다른 차원으로 쉽게 일반화된다.^[3][2]

수렴과 가속

일반적인 조건에서는 방법이 수렴되지만, 일반적으로 경쟁 방법보다 진척이 느리다.그럼에도 불구하고 이완법의 연구는 선형대수의 핵심으로 남아 있는데, 이완이론의 변형이 새로운 방법의 탁월한 전제조건을 제공하기 때문이다.실제로 반복적인 방법의 선택보다 전제조건의 선택이 더 중요한 경우가 많다.^[8]

방법의 가속화를 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있다.먼저 Carser 그리드에서 근사치(보통 이중 간격 2시간)를 계산할 수 있으며, 다른 그리드 포인트에 대해 보간된 값을 초기 할당으로 사용할 수 있다.그 다음 이 작업은 코어저 계산에 대해서도 반복적으로 수행될 수 있다.^[8][9]

참고 항목

• 선형 시스템에서 이완 방법의 두 가지 주요 클래스는 고정 반복 방법이며, 크릴로프 하위 공간 방법이 더 일반적이다.
• 자코비 방법은 간단한 휴식 방법이다.
• 가우스-사이델 방법은 자코비법을 개선한 것이다.
• 연속적인 과완화는 자코비 및 가우스-사이델 방법 중 하나에 적용하여 수렴 속도를 높일 수 있다.
• 멀티그리드 방법

메모들

참조

• 아브라함 버만, 로버트 J. 플레몬스, 수학 과학의 비음성 매트릭스, 1994, SIAM.ISBN 0-89871-321-8.
• Ortega, J. M.; Rheinboldt, W. C. (2000). Iterative solution of nonlinear equations in several variables. Classics in Applied Mathematics. Vol. 30 (Reprint of the 1970 Academic Press ed.). Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). pp. xxvi+572. ISBN 0-89871-461-3. MR 1744713.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 18.3. Relaxation Methods". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Yousef Saad, Sparse Linear Systems에 대한 반복적 방법, 1판, PWS, 1996. 1996.
• 리처드 S. Varga 2002 매트릭스 반복 분석, 제2편 (1962년 프렌티스 홀 에디션 중), Springer-Verlag.
• 데이비드 M. 영 주니어대형 선형 시스템의 반복적 솔루션, 1971년 학술지 (Dover, 2003년)

추가 읽기

• Southwell, R.V. (1940) 공학에서의 이완 방법.옥스퍼드 대학 출판부, 옥스퍼드 대학 출판부.
• Southwell, R.V. (1946) 이론 물리학의 이완 방법.옥스퍼드 대학 출판부, 옥스퍼드 대학 출판부.
• John. D. Jackson (1999). Classical Electrodynamics. New Jersey: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• M.N.O. Sadiku (1992). Numerical Techniques in Electromagnetics. Boca Raton: CRC Pres.
• P.-B. Zhou (1993). Numerical Analysis of Electromagnetic Fields. New York: Springer.