표현 링

수학에서, 특히 표현 이론으로 알려진 대수학 영역에서, 그룹의 표현 고리(또는 J. A. Green 이후의 녹색 고리)는 집단의 모든 (의 이형성 등급) 유한차원 선형 표현에서 형성된 고리다.표현 링의 요소를 가상 표현이라고 부르기도 한다.^[1]특정 그룹의 경우, 링은 표시의 기본 영역에 따라 달라진다.복합계수의 경우는 가장 발달되어 있지만, 시로우 p-부분군이 순환하는 특성 p의 대수적으로 폐쇄된 필드의 경우도 이론적으로 접근 가능하다.

형식 정의

그룹 G와 필드 F가 주어진 경우, 그 표현 링 R_F(G)의 요소는 G의 유한 치수 선형 F-표시의 이형성 등급의 공식 차이점이다.링 구조의 경우, 표현상의 직접적인 합에 의해 덧셈이 주어지고, F에 대한 텐서 제품의 곱셈이 주어진다.R(G)에서와 같이 F가 표기법에서 생략되면 F는 암묵적으로 복잡한 숫자의 필드로 간주된다.

간결하게 G의 표현 링은 G의 유한차원 표현 범주의 그로텐디크 링이다.

예

• n 순서의 주기적 그룹의 복잡한 표현에 대해, 표현 링_C R(C_n)은 Z[X]/(Xⁿ - 1)에 이형이며, 여기서 X는 그룹의 생성자를 원시적 n번째 근원으로 보내는 복잡한 표현에 해당한다.
• 보다 일반적으로 유한 아벨리안 집단의 복잡한 표현 링은 캐릭터 집단의 집단 링과 동일시될 수 있다.
• 순서 3의 주기적 그룹의 합리적 표현을 위해, 표현_Q 링 R(C₃)은 Z[X]/(X² - X - 2)에 이형이며, 여기서 X는 차원 2의 불가역적 합리적 표현에 해당한다.
• 특성 3의 필드 F에 대한 순서 3의 주기적 그룹의 모듈식 표현에 대해, 표현 링 R_F(C₃)은 Z[X,Y]/(X² - Y - 1, XY - 2Y,Y² - 3Y)와 이형이다.
• 원 그룹에 대한 연속 표현 링 R(S¹)은 Z[X ⁻¹, X]와 이형이다.실제 표현 링은 X → X가 ⁻¹ 준 R(G)에 대한 비자발성에 의해 고정된 원소의 R(G)의 서브링이다.
• 3개 점에서 대칭 그룹의 링_C R(S₃)은 Z[X,Y]/(XY - Y,X² - 1, Y² - X - X - X - Y - 1)에 대해 이형이며, 여기서 X는 1차원 교대표현이고 Y는 S의₃ 2차원 불가역표현이다.

성격.

어떤 표현이든 문자 χ:G → C를 정의한다. 이러한 함수는 소위 클래스 함수인 G의 결합성 클래스에서 일정하다. C(G)에 의한 클래스 함수의 링을 나타낸다.G가 유한하면 동형성 R(G) → C(G)가 주입되기 때문에 R(G)을 C(G)의 서브링으로 식별할 수 있다.그룹 G의 순서를 나누는 특성이 있는 F 필드의 경우, 브루어 캐릭터가 정의한 R_F(G) → C(G)로부터의 동형성은 더 이상 주입이 되지 않는다.

콤팩트하게 연결된 그룹 R(G)의 경우, R(T)의 서브링(여기서 T는 최대 토러스)에 이형성이며, Weyl 그룹의 작용에 따라 불변하는 클래스 기능으로 구성된다(Atiyah 및 Hirzebruch, 1961).일반 컴팩트 Lie 그룹은 Segal(1968년)을 참조한다.

λ링 및 애덤스 작전

G와 자연수 n을 나타내는 것으로 보아 우리는 다시 G를 나타내는 n번째 외부 힘을 형성할 수 있다.이는ⁿ : : R(G) → R(G) 운용을 유도한다.이러한 조작으로 R(G)은 λ링이 된다.

대표 링 R(G)에 대한 아담스 연산은 문자 χ에 미치는 영향에 의해 특징지어지는 지도 ψ이다^k.

${\displaystyle \PSI ^{k}\chi(g)=\chi(g^{k})\.}$

연산 ψ은^k R(G) 자체와 차원 d의 표현에 대한 링 동형상이다.

${\displaystyle \PSI ^{k}(\rho )=N_{k}(\Lambda ^{1}\rho,\Lambda ^{2}\rho,\ldots,\Lambda ^{d}\rho )\}}}}}$

여기서 λ은 ρ의 외력이고 N은_k d 변수의 d초기 대칭함수의 함수로 표현되는 k번째 전력합이다.

참조

• Atiyah, Michael F.; Hirzebruch, Friedrich (1961), "Vector bundles and homogeneous spaces", Proc. Sympos. Pure Math., American Mathematical Society, III: 7–38, MR 0139181, Zbl 0108.17705.
• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representations of Compact Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 98, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo: Springer-Verlag, ISBN 0-387-13678-9, MR 1410059, OCLC 11210736, Zbl 0581.22009
• Segal, Graeme (1968), "The representation ring of a compact Lie group", Publ. Math. IHES, 34: 113–128, MR 0248277, Zbl 0209.06203.
• Snaith, V. P. (1994), Explicit Brauer Induction: With Applications to Algebra and Number Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 40, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46015-8, Zbl 0991.20005