앙상블(수학물리학)

물리학, 특히 통계역학에서 앙상블(또한 통계적 앙상블)은 시스템의 많은 수의 가상 복사본(때로는 무한히 많은 복사본)으로 구성된 이상화이며, 각 복사본은 실제 시스템이 존재할 수 있는 가능한 상태를 나타냅니다.즉, 통계적 앙상블은 통계역학에서 단일 ^[1]시스템을 기술하기 위해 사용되는 입자의 집합이다.앙상블의 개념은 1902년 ^[2]J. 윌러드 깁스에 의해 도입되었다.

열역학적 앙상블은 통계적 평형 상태에 있는 통계적 앙상블의 특정한 종류이며(아래에서 정의), 고전 또는 양자 ^[3]^[4]역학의 법칙에서 열역학적 시스템의 속성을 도출하는 데 사용됩니다.

물리적 고려 사항

앙상블은 동일한 거시적 조건에서 실험을 반복하지만 미시적 세부사항을 제어할 수 없는 실험자가 다양한 결과를 관찰할 것으로 예상할 수 있다는 개념을 공식화한다.

열역학, 통계역학 및 양자통계역학에서 앙상블의 개념적 크기는 시스템이 관찰된 거시적 특성과 일치하는 가능한 모든 미시적 상태를 포함하여 매우 클 수 있습니다.많은 중요한 물리적 경우, 열역학적 앙상블 전체에 대한 평균을 직접 계산하여, 종종 적절한 분할 함수의 관점에서 관심 있는 열역학적 양에 대한 명시적 공식을 얻을 수 있다.

균형 또는 고정 앙상블의 개념은 통계 앙상블의 많은 적용에 중요하다.기계 시스템은 확실히 시간이 지남에 따라 진화하지만, 앙상블이 반드시 진화해야 하는 것은 아닙니다.사실, 앙상블이 시스템의 모든 과거와 미래의 단계를 포함한다면, 앙상블은 진화하지 않을 것입니다.이러한 통계 앙상블은 시간에 따라 변화하지 않으며, 이를 정상이라고 하며 통계적 균형 ^[2]상태라고 할 수 있다.

용어.

"앙상블"이라는 단어는 전체 가능한 상태 집합에서 추출된 작은 가능성 집합에도 사용됩니다.예를 들어, 마르코프 연쇄 몬테카를로 반복의 워커 컬렉션은 일부 문헌에서 앙상블이라고 불린다.
앙상블이라는 용어는 물리학과 물리학의 영향을 받은 문학에서 자주 사용된다.확률론에서는 확률 공간이라는 용어가 더 널리 사용된다.

주요 유형

5개의 통계 앙상블(왼쪽에서 오른쪽으로): 마이크로캐논컬 앙상블, 표준 앙상블, 그랜드 표준 앙상블, 등온성 앙상블, 등온성 앙상블

열역학 연구는 인간의 지각에 "정적"으로 보이는 시스템(내부 부분의 움직임에도 불구하고)과 관련이 있으며, 이것은 거시적으로 관찰할 수 있는 변수 집합으로 간단히 설명될 수 있다.이러한 시스템은 몇 가지 관측 가능한 매개변수에 의존하며 통계적 균형 상태에 있는 통계 앙상블에 의해 설명될 수 있다.깁스는 거시적 제약이 다르면 특정한 통계적 특성을 가진 다른 유형의 앙상블을 초래한다고 지적했다.깁스는 ^[2]세 가지 중요한 열역학 앙상블을 정의했다.

마이크로캐논컬 앙상블(또는 NVE 앙상블): 시스템의 총 에너지와 시스템의 입자 수가 각각 특정 값에 고정되는 통계 앙상블. 앙상블의 각 구성원은 동일한 총 에너지와 입자 수를 가져야 합니다.시스템은 통계적 ^[2]평형을 유지하기 위해 완전히 격리된 상태(환경과 에너지 또는 입자를 교환할 수 없음)를 유지해야 한다.
표준 앙상블(또는 NVT 앙상블): 에너지는 정확히 알 수 없지만 입자의 수는 고정된 통계 앙상블.에너지 대신 온도가 지정됩니다.표준 앙상블은 열조와의 열 접촉이 약한 폐쇄 시스템을 설명하는 데 적합합니다.통계적 평형을 유지하려면 시스템이 완전히 닫힌 상태로 유지되어야 하며(환경과 입자를 교환할 수 없음), 동일한 ^[2]온도의 앙상블에 의해 설명되는 다른 시스템과 약한 열 접촉이 발생할 수 있습니다.
그랜드 표준 앙상블(또는 μVT 앙상블): 에너지와 입자 수가 고정되지 않은 통계 앙상블.대신 온도와 화학적 잠재력이 지정됩니다.그랜드 표준 앙상블은 개방 시스템을 설명하는 데 적합합니다. 즉, 저장소와 약한 접촉(열 접촉, 화학 접촉, 방사 접촉, 전기 접촉 등).시스템이 동일한 온도와 화학적 잠재성을 가진 ^[2]앙상블에 의해 기술된 다른 시스템과 약한 접촉을 하는 경우 앙상블은 통계적 평형을 유지한다.

이러한 앙상블을 사용하여 산출할 수 있는 계산은 각 기사에서 자세히 설명합니다.다른 열역학적 앙상블도 정의할 수 있으며, 이에 대한 유사한 공식은 종종 유사하게 도출될 수 있다.예를 들어 반응 앙상블에서 입자수 변동은 ^[5]시스템에 존재하는 화학반응의 화학계량에 따라서만 발생할 수 있다.

표현

통계 앙상블에 대한 정확한 수학 표현식은 고려 중인 역학의 유형(양자 또는 고전)에 따라 다른 형태를 갖는다.고전적인 경우 앙상블은 미세 상태에 대한 확률 분포입니다.양자역학에서, 폰 노이만(von Neumann)에 기인하는 이 개념은 통근 관측 가능성의 완전한 집합의 결과에 확률 분포를 할당하는 방법이다.고전역학에서 앙상블은 위상공간의 확률분포로서 대신 쓰이고, 마이크로스테이트는 위상공간의 크기를 어느 정도 임의로 선택할 수 있지만 위상공간을 동일한 크기의 단위로 나눈 결과이다.

표현 요건

통계 앙상블이 어떻게 운영상 생성되는지에 대한 질문은 차치하고라도, 동일한 시스템의 앙상블 A, B에 대해 다음 두 가지 연산을 수행할 수 있어야 한다.

A, B가 통계적으로 동일한지 여부를 검사합니다.
p가 0 < p < 1과 같은 실수인 경우, 확률 p의 A와 확률 1 – p의 B에서 확률론적 표본을 추출하여 새로운 앙상블을 생성한다.

따라서 특정 조건에서 통계 앙상블의 동등성 클래스는 볼록 집합의 구조를 갖는다.

양자역학

양자역학에서 통계적 앙상블(혼합상태라고도 함)은 $^\$ 로 ${\hat {\rho }}$ 되는 밀도 매트릭스로 표현되는 경우가 많습니다.밀도 매트릭스는 양자 불확실성(시스템 상태가 완전히 알려진 경우에도 존재함)과 고전적 불확실성(지식 부족으로 인한)을 모두 통일된 방식으로 통합할 수 있는 완전히 일반적인 도구를 제공한다.양자역학에서 $관측$ 할 수 있는 물리적인 X는 연산자 $Xθ로$ 쓸 수 있다.통계 앙상블 $"\displaystyle\rho"$ 에 $\rho$ 대한 이 연산자의 기대값은 다음 트레이스에 의해 제공됩니다.

X\rangle =\operatorname {Tr}({\hat {X}}\rho}).

이것은 평균( $연산자$ X̂), 분산( $연산자$ X), $2$ 사용), 공분산( $연산자 Xŷ$ 사용) 등을 평가하는 데 사용할 수 있습니다.밀도 매트릭스는 항상 1: $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$ $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$ $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$ $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$ { $displaystyle \operatorname {Tr$ } $=$ 이어야 합니다( $기본적$ 으로 확률이 1이 되어야 하는 조건입니다).

일반적으로 앙상블은 폰 노이만 방정식에 따라 시간이 지남에 따라 진화한다.

평형 앙상블( $d{\hat {\rho }}/dt=0$ 경과에 따라 진화하지 않는 $d{\hat {\rho }}/dt=0$ d ^ / d $d{\hat {\rho }}/dt=0$ 0 { $displaystyle dhathat {rho }}/dt=0$ 은 보존 변수의 함수로만 작성할 수 있다.예를 들어, 마이크로캐논컬 앙상블과 표준 앙상블은 총 에너지 연산자 $δ$ (해밀턴)에 의해 측정되는 총 에너지 함수입니다.그랜드 표준 앙상블은 총 입자 수 $연산자$ N $'$ 에 의해 측정된 입자 수의 함수입니다.이러한 평형 앙상블은 각 보존 변수를 동시에 대각화하는 상태의 직교 기저에서의 대각 행렬이다.브라-케트 표기법에서 밀도 행렬은 다음과 같다.

\displaystyle \hat \rho } = \sum _{i} P_{i} \rangle \swi \psi _{i}

여기서 i에 $의해$ 색인화된 $θ$ 는_i 완전 직교 기저의 요소이다.(다른 베이스에서는 밀도 매트릭스가 반드시 대각선인 것은 아닙니다).

고전 기계

위상 공간(위)에서 고전적인 시스템 집합의 진화.각 시스템은 1차원 퍼텐셜 웰(빨간색 곡선, 낮은 그림)에 있는 하나의 거대한 입자로 구성됩니다.처음에 콤팩트했던 앙상블은 시간이 지남에 따라 소용돌이처럼 올라갑니다.

고전 역학에서, 앙상블은 시스템의 위상 ^[2]공간에 걸쳐 정의된 확률 밀도 함수로 표현됩니다.개별 시스템은 해밀턴 방정식에 따라 진화하지만 밀도 함수(앙상블)는 시간이 지남에 따라 리우빌 방정식에 따라 진화한다.

정의된 수의 부품을 가진 기계시스템에서 위상공간은 p, … $p$ 라고_n_n $불리는 1 1$ n개의 일반화 좌표 q, … q $및$ n개의 관련 표준 모멘타 p, … p를 $가진다$ .그 후 합상체는 공동확률밀도함수 $θ$ ( $p 1,$ ... $p n n, q 1,$ ...q)로 나타난다.

는 입자 숫자 N1(입자의 종류), N2(입자의 제2종), 등과 같은 추가 변수를 포함한 확장된 위상 공간 만약 부품은 체계 안에서 수가 앙상블(입자들이 수는 임의의 양이 웅장한 앙상블에)의 시스템별로 다를 수 있다면, 그것은 확률 분포. 한d(마지막 종류의 입자, s는 $여러$ 종류의 입자가 존재하는 수)까지입니다_s.그런 다음 앙상블은 공동 확률 밀도 함수 $δ$ ( $N 1,$ ...)로 표현된다. $N s,$ $p 1,$ ... $p n, q 1,$ ... $q n$ ) $좌표$ 수 n은 입자의 수에 따라 달라집니다.

모든 $기계적$ 수량 X는 시스템 위상의 함수로 기록될 수 있습니다.이러한 수량의 기대치는 이 수량의 전체 위상 공간에 대한 적분에 의해 가중치 $θ$ :

\displaystyle X\rangle =\sum _{N_{1}=0^{\infty}\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty}\int \ldots \rho X,dp_{1}\ldots dq_{n}.}

확률 정규화 조건이 적용되므로

\displaystyle \sum _{N_{1}=0}^{infty}\ldots \sum _{N_{s}=0}^{\infty}\int \ldots \rho \,dp_{1}\ldots dq_{n}=1.}

위상 공간은 작은 영역 내에서 무한히 많은 개별 물리적 상태를 포함하는 연속된 공간입니다.위상공간의 확률밀도를 마이크로스테이트상의 확률분포에 연결하기 위해서는 위상공간을 균등하게 시스템의 다른 상태를 나타내는 블록으로 분할할 필요가 있다.올바른 방법은 단순히 동일한 크기의 표준 위상 공간 블록을 생성하는 것입니다. 따라서 고전 역학에서 미세 상태는 특정한 ^{[note 1]}부피를 가진 표준 좌표의 위상 공간 내에서 확장된 영역입니다.특히 위상공간에서의 확률밀도함수 $θ$ 는 마이크로스테이트에서의 $확률분포$ P와 인수에 의해 관련된다.

\rho = scfrac {1} {h^{n}C}}P,

어디에

$h$ 는 에너지 $\times시간의 단위$ 를 갖는 임의의 상수로, 마이크로스테이트의 범위를 설정하고 정확한 치수를 ^{[note 2]} $θ$ 로 제공한다.
$C$ 는 과계수 보정 계수(아래 참조)로 일반적으로 입자 수 및 유사한 우려 사항에 따라 달라집니다.

h는 임의로 선택할 수 있기 $때문$ 에 마이크로스테이트의 개념 사이즈도 임의입니다.그러나 $h$ 의 값은 엔트로피와 화학 퍼텐셜과 같은 양의 오프셋에 영향을 미치므로 다른 시스템을 비교할 때 h의 $값$ 과 일관성을 유지하는 것이 중요합니다.

위상 공간의 초과 카운트 수정

일반적으로 위상 공간에는 여러 개별 위치에 동일한 물리적 상태의 중복이 포함됩니다.이것은 물리적 상태를 수학적 좌표로 인코딩하는 방법의 결과입니다. 가장 단순한 좌표계 선택은 종종 상태를 여러 방법으로 인코딩할 수 있습니다.예를 들어 입자의 개별 위치 및 모멘타 측면에서 상태가 기록되는 동일한 입자의 가스가 있습니다. 즉, 두 입자가 교환될 때 위상 공간의 결과점은 다르지만 시스템의 동일한 물리적 상태에 해당합니다.통계역학(물리적 상태에 관한 이론)에서는 위상공간이 단지 수학적 구성임을 인식하고 위상공간에서 통합할 때 순진하게 실제 물리적 상태를 과대계상하지 않는 것이 중요하다.카운트를 초과하면 심각한 문제가 발생할 수 있습니다.

한 좌표계가 다른 ^{[note 3]}좌표계보다 많거나 적게 과잉 계수를 보일 수 있기 때문에 좌표계 선택에 대한 파생 수량(엔트로피 및 화학적 잠재력 등)의 의존성.
혼합 ^[2]역설에서와 같이 물리적 경험과 일치하지 않는 잘못된 결론.
화학적 잠재력과 대표준 ^[2]앙상블을 정의하는 근본적인 문제.

일반적으로 각 물리적 상태를 고유하게 인코딩하는 좌표계를 찾는 것은 어렵습니다.따라서 일반적으로 각 상태의 여러 복사본이 있는 좌표계를 사용한 다음 초과 카운트를 인식하고 제거해야 합니다.

오버카운트를 제거하는 대략적인 방법은 각 물리 상태를 포함하는 위상공간의 하위영역을 수동으로 정의한 후 위상공간의 다른 모든 부분을 제외하는 것입니다.예를 들어 기체에서는 입자의 $x$ 좌표가 오름차순으로 정렬된 위상만 포함할 수 있습니다.이렇게 하면 문제가 해결되지만, 결과적으로 발생하는 위상 공간 이상 적분은 그것의 비정상적인 경계 모양 때문에 수행하기가 지루할 것이다. (이 경우, 위에서 소개한 $계수$ C는 $C$ = $1$ 로 설정되며, 적분은 위상 공간의 선택된 하위 영역으로 제한됩니다.

오버카운트를 수정하는 간단한 방법은 모든 위상공간에 통합하지만 각 단계의 무게를 줄여 오버카운트를 정확하게 보정하는 것입니다.이는 상기의 $계수$ C에 의해 실현됩니다.C는 위상공간에서 물리상태를 나타낼 수 있는 방법의 수를 나타내는 정수입니다.이 값은 연속된 표준 ^{[note 4]}좌표에 따라 달라지지 않으므로, 표준 좌표의 전체 범위에 걸쳐 통합한 다음 결과를 초과 계수로 나누는 것만으로 초과 계수를 수정할 수 있습니다.그러나 $C$ 는 입자의 수와 같은 이산 변수에 따라 크게 달라지므로 입자의 수를 합산하기 전에 적용해야 합니다.

위에서 설명한 바와 같이, 이러한 과잉 계수의 전형적인 예는 다양한 종류의 입자를 포함하는 유체계이며, 같은 종류의 입자는 구분이 불가능하고 교환이 가능하다.입자의 개별 위치 및 모멘타 단위로 표기할 경우 동일한 입자의 교환과 관련된 과계수를 보정한다^[2].

C=N_{1}!N_{2}!\ldots N_{s}!

이를 "올바른 볼츠만 계수"라고 합니다.

통계의 앙상블

물리학에서 사용되는 통계 앙상블의 공식은 현재 다른 분야에서 널리 채택되고 있습니다. 부분적으로는 표준 앙상블 또는 깁스 측정이 일련의 제약조건에 따라 시스템의 엔트로피를 최대화하는 역할을 한다는 것이 인식되었기 때문입니다: 이것이 최대 엔트로피의 원리입니다.이 원리는 현재 언어학, 로봇학 등의 문제에 광범위하게 적용되고 있다.

게다가, 물리학의 통계 앙상블은 종종 국소성의 원리에 기초한다: 모든 상호작용은 인접 원자 또는 인근 분자 사이에서만 이루어진다.따라서, 예를 들어, Ising 모델과 같은 격자 모델은 스핀 사이의 가장 가까운 이웃 상호작용을 통해 강자성 물질을 모델링합니다.국소 원리의 통계적 공식은 이제 넓은 의미에서 마르코프 속성의 한 형태로 보인다; 가장 가까운 이웃은 이제 마르코프 담요이다.따라서, 가장 가까운 인접 상호작용을 가진 통계적 앙상블의 일반적인 개념은 마르코프 랜덤 필드로 이어지며, 이는 다시 홉필드 네트워크에서 광범위한 적용가능성을 발견한다.

조작 해석

지금까지의 논의에서는, 엄밀하지만, 앙상블의 개념은, 물리적인 맥락에서 일반적으로 행해지고 있는 것처럼, 선험적으로 유효하다고 우리는 당연하게 생각해 왔다.앙상블 자체가 수학적으로 정확하게 정의된 객체라는 것은 아직 밝혀지지 않았다.예를 들어.

이 매우 큰 일련의 시스템이 어디에 존재하는지 명확하지 않습니다(예를 들어, 용기 안에 있는 입자의 가스입니까?).
물리적으로 앙상블을 생성하는 방법은 명확하지 않습니다.

이 섹션에서는 이 질문에 부분적으로 답변하려고 합니다.

물리학 실험실에 시스템 준비 절차가 있다고 가정합니다.예를 들어, 이 절차는 물리적 장치와 장치를 조작하기 위한 일부 프로토콜을 포함할 수 있습니다.이 준비 절차의 결과, 일부 시스템은 소기간 동안 격리된 상태로 생산 및 유지된다.이 실험실 준비 절차를 반복함으로써 시스템 X₁, X₂, .., X의_k 시퀀스를 얻을 수 있으며, 수학적 이상화에서는 시스템의 무한 시퀀스로 가정합니다.그 시스템은 모두 같은 방식으로 제작되었다는 점에서 유사하다.이 무한 수열은 앙상블이다.

실험실 환경에서는 이러한 준비 시스템 각각을 하나의 후속 테스트 절차의 입력으로 사용할 수 있습니다.다시 말해, 테스트 절차에는 물리적 장치와 일부 프로토콜이 포함됩니다. 테스트 절차 결과 예 또는 아니오의 답변을 얻을 수 있습니다.준비된 각 시스템에 적용되는 테스트 절차 E에 따라 Meas(E, X₁), Meas(E, X₂), .., Meas(E, X_k) 값 시퀀스를 얻을 수 있습니다.이러한 값은 각각 0(또는 없음) 또는 1(예)입니다.

다음과 같은 시간 평균이 존재한다고 가정합니다.

{\displaystyle \displaystyle (E)=\lim _{N\rightarrow \infty}{\frac {1}{N}\sum _{k=1}^{N}\operatorname {Meas}(E,X_{k})

양자역학 시스템의 경우 양자역학에 대한 양자논리 접근법에서 이루어진 중요한 가정은 힐버트 공간의 닫힌 부분공간의 격자에 대한 예-아니오 질문을 확인하는 것이다.몇 가지 추가적인 기술적 가정을 통해 다음과 같이 밀도 연산자 S가 상태를 제공한다고 추론할 수 있다.

(\displaystyle \displaystyle (E)=\operatorname {Tr}(ES))}

우리는 이것이 일반적으로 양자 상태의 정의를 반영한다는 것을 알 수 있다: 양자 상태는 관측 가능에서 기대치로 매핑되는 것이다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 이 등용량 분할은 류빌의 정리, 즉 해밀턴 역학의 표준 위상 공간에서의 확장 보존 원리의 결과이다.이는 또한 앙상블을 다수의 시스템으로 간주하는 개념에서 출발하여 입증될 수 있다.깁스의 기본 원칙, 1장을 참조하십시오.
^ (역사 주석) 깁스의 원래 앙상블은 효과적으로 h $= 1$ [ $에너지$ 단위 $]$ 를 $설정$ 한다. $\times[시간$ 단위 $],$ 엔트로피 및 화학 퍼텐셜과 같은 일부 열역학적 양의 값에 대한 단위 의존으로 이어집니다.양자역학의 출현 이후, $h$ 는 종종 양자역학과의 반고전적 대응관계를 얻기 위해 플랑크의 상수와 같다고 여겨진다.
^ 경우에 따라서는 오버카운트오류가 양성입니다.예를 들어, 3차원 물체의 방향을 나타내기 위해 사용되는 좌표계의 선택이 있습니다.간단한 인코딩은 이중 커버인 3-sphere(예: 4등분 단위)입니다. 각 물리적 방향은 두 가지 방법으로 인코딩할 수 있습니다.오버카운트를 보정하지 않고 이 부호화를 사용하면 회전 가능한 객체당 엔트로피는 k $로그$ 2 $증가$ 하고 화학적 전위는 $kT 로그$ 2만큼 낮아집니다.관측 불가능한 오프셋만 발생하므로 실제로 관측 가능한 오류가 발생하지 않습니다.
^ 기술적으로 입자의 순열이 뚜렷한 특정 단계를 생성하지 못하는 단계가 있습니다. 예를 들어, 두 개의 유사한 입자가 정확히 동일한 궤적, 내부 상태 등을 공유할 수 있습니다.그러나 고전역학에서는 이러한 위상이 위상공간의 극히 일부만을 구성하므로 위상공간의 부피적분에는 기여하지 않습니다.

레퍼런스

^ Rennie, Richard; Jonathan Law (2019). Oxford Dictionary of Physcis. pp. 458 ff. ISBN 978-0198821472.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons.
^ Kittel, Charles; Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics, Second Edition. San Francisco: W.H. Freeman and Company. pp. 31 ff. ISBN 0-7167-1088-9.
^ Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1980). Statistical Physics. Pergamon Press. pp. 9 ff. ISBN 0-08-023038-5.
^ 반응 앙상블 몬테카를로 방법에 의한 화학 반응 평형 시뮬레이션: 리뷰 https://doi.org/10.1080/08927020801986564

외부 링크

통계물리학 문제에 적용된 몬테카를로 애플릿.

[6] 이 등용량 분할은 류빌의 정리, 즉 해밀턴 역학의 표준 위상 공간에서의 확장 보존 원리의 결과이다.이는 또한 앙상블을 다수의 시스템으로 간주하는 개념에서 출발하여 입증될 수 있다.깁스의 기본 원칙, 1장을 참조하십시오.

[7] (역사 주석) 깁스의 원래 앙상블은 효과적으로 h $= 1$ [ $에너지$ 단위 $]$ 를 $설정$ 한다. $\times[시간$ 단위 $],$ 엔트로피 및 화학 퍼텐셜과 같은 일부 열역학적 양의 값에 대한 단위 의존으로 이어집니다.양자역학의 출현 이후, $h$ 는 종종 양자역학과의 반고전적 대응관계를 얻기 위해 플랑크의 상수와 같다고 여겨진다.

[8] 경우에 따라서는 오버카운트오류가 양성입니다.예를 들어, 3차원 물체의 방향을 나타내기 위해 사용되는 좌표계의 선택이 있습니다.간단한 인코딩은 이중 커버인 3-sphere(예: 4등분 단위)입니다. 각 물리적 방향은 두 가지 방법으로 인코딩할 수 있습니다.오버카운트를 보정하지 않고 이 부호화를 사용하면 회전 가능한 객체당 엔트로피는 k $로그$ 2 $증가$ 하고 화학적 전위는 $kT 로그$ 2만큼 낮아집니다.관측 불가능한 오프셋만 발생하므로 실제로 관측 가능한 오류가 발생하지 않습니다.

[9] 기술적으로 입자의 순열이 뚜렷한 특정 단계를 생성하지 못하는 단계가 있습니다. 예를 들어, 두 개의 유사한 입자가 정확히 동일한 궤적, 내부 상태 등을 공유할 수 있습니다.그러나 고전역학에서는 이러한 위상이 위상공간의 극히 일부만을 구성하므로 위상공간의 부피적분에는 기여하지 않습니다.

[ensamble_dictionary-1] Rennie, Richard; Jonathan Law (2019). Oxford Dictionary of Physcis. pp. 458 ff. ISBN 978-0198821472.

[gibbs-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons.

[Kittel-3] Kittel, Charles; Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics, Second Edition. San Francisco: W.H. Freeman and Company. pp. 31 ff. ISBN 0-7167-1088-9.

[Landau-4] Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1980). Statistical Physics. Pergamon Press. pp. 9 ff. ISBN 0-08-023038-5.

[5] 반응 앙상블 몬테카를로 방법에 의한 화학 반응 평형 시뮬레이션: 리뷰 https://doi.org/10.1080/08927020801986564

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[note 1]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

v t 통계역학
이론.	최대 엔트로피의 원리 에르고드 이론
통계 열역학	앙상블 파티션 함수 상태 방정식 열역학 퍼텐셜: U H F G 맥스웰 관계
모델	강자성 모형 이징 포트 하이젠베르크 침투 힘장이 있는 입자 고갈력 레너드존스 퍼텐셜
수학적 접근법	볼츠만 방정식 H-이론 블라소프 방정식 BBGKY 계층 확률 과정 평균장 이론과 등각장 이론
임계 현상	상전이 임계 지수 상관 길이 사이즈 스케일링
엔트로피	볼츠만 샤논 챠리스 레니 폰 노이만
적용들	통계장론 소립자 초유동성 응집 물질 물리학 복잡한 시스템 혼돈 정보 이론 볼츠만 기계

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