동일선 회로

동시선 회로는 길이가 모두 같은 전송선으로 구성된 전기회로, 일반적으로 파장의 8분의 1이다.덩어리진 소자 회로는 리차드의 변환을 이용하여 이 형태의 분산형 소자 회로로 직접 변환할 수 있다.이 변환은 특히 간단한 결과를 가지고 있다. 인덕터는 단락 회로로 종료된 전송 라인으로 교체되고 캐패시터는 개방 회로로 종료된 라인으로 교체된다.균등선 이론은 마이크로파 주파수에서 사용할 분산 요소 필터를 설계하는 데 특히 유용하다.

통상적으로 쿠로다의 정체성을 이용해 서킷의 추가 변형을 실시할 필요가 있다.쿠로다 변환 중 하나를 적용하는 데는 몇 가지 이유가 있다. 주된 이유는 대개 직렬로 연결된 구성 요소를 제거하기 위함이다.널리 사용되는 마이크로스트립을 포함한 일부 기술에서 직렬 연결은 구현이 어렵거나 불가능하다.

모든 분산형 소자 회로와 마찬가지로 균등선 회로의 주파수 응답은 주기적으로 반복되어 이들 회로가 유효한 주파수 범위를 제한한다.리차드와 쿠로다의 방법으로 설계된 회로는 가장 작은 것이 아니다.요소들을 함께 결합하는 방법들로 세분화하면 더 컴팩트한 설계를 생성할 수 있다.그럼에도 불구하고, 비례 선 이론은 이러한 더 진보된 필터 설계의 많은 기초가 된다.

동일선

동일선(commensurate line)은 모두 전기 길이는 같지만 반드시 동일한 특성 임피던스(Z₀)는 아닌 전송선이다.동시선 회로는 저항기 또는 단락 및 개방 회로로 종단된 동시선으로만 구성된 전기 회로다.1948년, 폴 1세. 리차드는 패시브 덩어리 소자 회로를 특정 주파수 범위에 걸쳐 정밀하게 동일한 특성을 가진 분산 소자 회로로 변환할 수 있는 동급 라인 회로 이론을 발표했다.^[1]

일반성을 위해 분산 소자 회로의 라인 길이는 대개 회로의 공칭 작동 파장 terms 단위로 표현된다. 등사선 회로에 규정된 길이의 라인을 단위 요소(UE)라고 한다.UE가 ue/8일 경우 특히 단순한 관계가 적용된다.^[2]덩어리 회로의 각 원소는 해당 UE로 변환된다.단, 라인의₀ Z는 아날로그 일괄처리 회로의 성분 값에 따라 설정되어야 하며, 이로 인해 실용적이지 않은 Z 값이₀ 발생할 수 있다.이것은 특히 고특성 임피던스를 구현할 때 마이크로스트립과 같은 인쇄 기술에 문제가 있다.높은 임피던스는 좁은 선을 필요로 하며 인쇄할 수 있는 최소 사이즈가 있다.반면에 매우 넓은 선은 바람직하지 않은 가로 공진 모드가 형성될 가능성을 허용한다.이러한 문제를 극복하기 위해 다른 길이의₀ UE를 다른 Z로 선택할 수 있다.^[3]

전기적 길이는 선의 시작과 끝 사이의 위상 변화로도 표현될 수 있다.위상은 각도 단위로 측정한다.${\displaystyle }$각도 변수의 수학적 기호인$$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta}$은 각도로 표현될 때 전기적 길이의 기호로 사용된다.이 협약에서 λ은 360°, 즉 2π 라디안을 나타낸다.^[4]

등사선 이용의 이점은 등사선 이론이 규정된 주파수함수로부터 회로를 합성할 수 있도록 한다는 것이다.임의의 송신선 길이를 사용하는 어떤 회로도 주파수 기능을 결정하기 위해 분석할 수 있지만, 그 회로가 반드시 주파수 기능에서 출발하여 쉽게 합성될 수는 없다.근본적인 문제는 둘 이상의 길이를 사용하는 것은 일반적으로 둘 이상의 주파수 변수가 필요하다는 것이다.동점선을 사용하려면 주파수 변수가 하나만 필요하다.주어진 주파수 함수에서 덩어리로 된 소자 회로를 합성하기 위해 잘 개발된 이론이 존재한다.그렇게 합성된 모든 회로는 리차드의 변환과 새로운 주파수 변수를 사용하여 동등한 라인 회로로 변환될 수 있다.^[5]

리차드의 변신

Richards의 변환은 다음과 같이 각도 주파수 변수 Ω을 변환한다.

$\displaystyle \omega \to \tan(k\omega )}$

또는 복잡한 주파수 변수와 관련하여 추가 분석에 더 유용하게 사용됨, s

$\displaystyle s\to \tanh(ks)}$

여기서 k는 UE 길이, θ 및 일부 설계자가 선택한 기준 주파수 Ω과_c 관련된 임의 상수로서, 다음과 같다.

${\displaystyle k\omega _{c}=\theta .}$

k는 시간의 단위를 가지며 UE에 의해 삽입된 상 지연이다.

이 변환을 단락 및 단선으로 각각 종료된 스터브의 주행 지점 임피던스에 대한 표현과 비교한다.

${\displaystyle {\begin}Z_{\mathrm {SC}}&=jZ_{0}\tan(k\omega )\\Z_{0}=-jZ_{0}\cot(k\omega )\end\ligned}}}$

(θ < π/2)의 경우, 단락 스텁은 덩어리 인덕턴스의 임피던스를, 개방 회로 스텁은 덩어리 캐패시턴스의 임피던스를 가지고 있음을 알 수 있다.Richards의 변환은 인덕터를 단락 UE로 대체하고 캐패시터를 개방 회로 UE로 대체한다.^[6]

길이가 λ/8(또는 θ=π/4)일 때, 이는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\begin}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\\Z_{\mathrm {OC}}}&=-jZ_\ended}}}}}}$

이것은 종종 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle {\begin}Z_{\mathrm {SC} }&=jL\\Z_{\mathrm {OC} }&={1\over jC}\\ended}}}}}}}$

L과 C는 전통적으로 인덕턴스와 캐패시턴스의 기호지만, 여기서는 각각 유도 스텁의 특성 임피던스와 용량성 스텁의 특성 입력을 나타낸다.이 협약은 수많은 저자들에 의해 사용되며, 이 글의 뒷부분에서 사용된다.^[7]

오메가 도메인

Richards의 변환은 s-도메인 표현에서 Ω-도메인이라고 불리는 새로운 도메인으로 변환하는 것으로 볼 수 있다.

$\displaystyle \Oomega =\tan(k\omega )}$

Ω = Ω_c = Ω일 때 Ω=1로 Ω이 정규화되면 다음과 같은 것이 필요하다.

${\displaystyle k\omega _{c}=\theta={\pi \c}4}}}}}}* 이상$

그리고 거리 단위의 길이는,

${\displaystyle \ell ={\data \}8}이상$

이산형, 선형, 덩어리형 구성요소로 구성된 모든 회로는 s에서 합리적인 함수인 전달 함수 H를 가질 것이다.리차드의 변환에 의해 뭉친 회로에서 파생된 전송선 UE로 구성된 회로는 H(s)와 정밀하게 동일한 형태의 합리적인 함수인 전송 함수 H(JΩ)를 가질 것이다.즉, 주파수 변수에 대한 덩어리진 회로의 주파수 응답 형상은 JΩ 주파수 변수에 대한 송신선 회로의 주파수 응답 형상과 정밀하게 동일하며 회로는 기능적으로 동일하다.^[8]

그러나 Ω 도메인의 무한대는 s 도메인에서 Ω==/4k로 변환된다.전체 주파수 응답은 이 유한한 구간까지 압착된다.이 빈도수 이상에서는 같은 간격으로 같은 반응이, 반대로 번갈아 반복된다.이것은 탄젠트 함수의 주기적인 성질의 결과물이다.이 다중 패스밴드 결과는 리차드의 변형을 통해 도달한 회로만이 아니라 모든 분산형 소자 회로의 일반적인 특징이다.^[9]

캐스케이드 원소

계단식으로 연결된 UE는 2포트 네트워크로서, 덩어리가 있는 요소들에 정확히 상응하는 회로가 없다.그것은 기능적으로 고정된 지연이다.베셀 필터와 같이 고정된 지연에 근사할 수 있는 덩어리형 소자 회로가 있지만, 이상적인 구성품이라도 규정된 패스밴드 내에서만 작동한다.또는 모든 주파수(이상적 구성 요소 포함)를 통과하는 일괄 소자 올패스 필터를 구성할 수 있지만, 좁은 주파수 대역 내에서만 일정한 지연을 가진다.격자상 이퀄라이저 및 브리지 T 지연 이퀄라이저 등이 예다.^[10]

결과적으로 리차드의 변형이 계단식 연결선으로 변형될 수 있는 덩어리가 있는 회로는 없으며, 이 원소에는 역변형이 없다.이에 상응한 선 이론은 지연 또는 길이의 새로운 요소를 도입한다.^[1]동일한 Z와₀ 함께 계단식으로 연결된 두 개 이상의 UE는 길이가 긴 단일 전송 라인과 동일하다.따라서 정수 n에 대한 길이 n³은 상응하는 회로에서 허용된다.일부 회로는 완전히 UE의 계단식으로 구현될 수 있다. 예를 들어, 임피던스 매칭 네트워크는 대부분의 필터처럼 이러한 방식으로 구현될 수 있다.^[1]

쿠로다의 정체성

쿠로다의 정체성은 리차드의 변형을 직접 적용하여 일정한 어려움을 극복한 4개의 등가 회로 세트다.그림에는 네 가지 기본 변형이 나와 있다.여기서 콘덴서와 인덕터의 기호는 개방 회로 및 단락 스텁을 나타내기 위해 사용된다.마찬가지로, 여기서 기호 C와 L은 각각 개방 회로 스텁의 인수와 단락 스텁의 리액턴스를 나타내며, ==//8의 경우 각각 스텁 라인의 특성 수용성 및 특성 임피던스와 동일하다.굵은 선으로 된 상자는 표시된 특성 임피던스와 일치하는 선 길이의 계단식 연결을 나타낸다.^[11]

해결된 첫 번째 어려움은 모든 UE가 동일한 지점에서 함께 연결되어야 한다는 것이다.이는 덩어리 요소 모델이 모든 원소가 0의 공간을 차지(또는 유의한 공간이 없음)하고 원소 간 신호에 지연이 없다고 가정하기 때문에 발생한다.리차드의 변환을 적용하여 덩어리 회로를 분산 회로로 변환하면 이제 소자가 유한한 공간(길이)을 점유할 수 있지만 상호연결 사이의 영거리에 대한 요구사항은 제거되지 않는다.처음 두 개의 쿠로다 아이덴티티를 반복적으로 적용함으로써 회로의 포트로 공급되는 라인의 UE 길이를 회로 구성요소 사이에서 물리적으로 분리할 수 있다.^[12]

쿠로다의 정체성이 극복할 수 있는 두 번째 난관은 직렬 연결 라인이 항상 실용적인 것은 아니라는 점이다.예를 들어 동축 기술 등에서는 라인의 직렬 연결을 쉽게 할 수 있지만, 널리 사용되는 마이크로스트립 기술 및 기타 평면 기술에서는 불가능하다.필터 회로는 직렬 요소와 션트 요소가 교대로 배치된 래더 위상(ladder topology)을 자주 사용한다.그러한 회로는 처음 두 개의 ID로 구성 요소를 공간화하는 데 사용되는 동일한 단계에서 모든 션트 구성 요소로 변환될 수 있다.^[13]

세 번째와 네 번째 아이덴티티는 각각 특성 장애를 축소하거나 증가시킬 수 있다.이는 실행하기 어려운 장애물을 변형하는 데 유용할 수 있다.단, 스케일링 계수와 동일한 회전율을 가진 이상적인 변압기를 추가하도록 요구하는 단점이 있다.^[14]

역사

리차드 출판 이후 10년 동안, 분산 회로 이론의 진전은 대부분 일본에서 일어났다.K. 쿠로다는 1955년 자신의 박사학위를 통해 이러한 정체성을 발표했다.D 논문.^[15]그러나 스트립플라인 필터에 실린 오자키와 이시이의 논문에는 1958년까지 영어로 등장하지 않았다.^[16]

한층 더 정교화

동급 라인 이론의 주요 적용 중 하나는 분산 요소 필터 설계다.리차드의 방법과 쿠로다의 방법에 의해 직접 만들어진 그러한 필터는 매우 작지 않다.이것은 특히 모바일 기기에서 중요한 설계 고려사항이 될 수 있다.주계열사 옆쪽으로 돌출되어 있고 그 사이의 공간은 아무 쓸모가 없다.스텁이 서로 결합되지 않도록 스텁을 대체 측면에^[17] 투영해야 하며, 공간이 항상 고려되는 것은 아니지만 더 많은 공간을 차지해야 한다.그보다도 스텁을 결합하는 계단식 연결 원소들은 주파수 기능에는 아무런 기여도 하지 않고 스텁을 필요한 임피던스로 변환시키기 위해서만 존재한다.다른 방법으로 말하면, 주파수 기능의 순서는 UE의 총 개수가 아니라 스텁의 개수에 의해서만 결정된다(일반적으로 말하면 순서가 높을수록 필터도 좋다).보다 복잡한 합성 기법은 모든 요소가 기여하는 필터를 생성할 수 있다.^[16]

쿠로다 회로의 λ/8 섹션에 연결된 계단식 변압기는 임피던스 변압기의 예로서, 그러한 회로의 전형적인 예는 λ/4 임피던스 변압기다.this/8 라인의 2배 길이지만, 개방 회로 스텁을 단락 스텁으로 교체하여 로우패스 필터에서 하이패스 필터로 변환할 수 있는 유용한 특성을 가지고 있다.두 필터는 동일한 차단 주파수와 미러 대칭 반응으로 정확히 일치한다.그러므로 그것은 다중 사용자들에게 이상적이다.^[18]λ/4 변압기는 단순한 임피던스 변압기가 아니라 임피던스 인버터인 변압기의 특수한 경우이기 때문에 저역-고역 변환 시 불변성이라는 이 특성이 있다.즉, 한 포트의 임피던스 네트워크를 다른 포트의 역 임피던스 또는 이중 임피던스로 변환한다.단, 전송 회선의 단일 길이는 공명 주파수에서 λ/4의 정밀하게만 길 수 있으며, 결과적으로 그것이 작동할 대역폭에는 한계가 있다.인버터 회로에는 임피던스를 보다 정확하게 반전시키는 복잡한 종류가 더 많다.인버터에는 션트 입력을 직렬 임피던스로 변환하는 J인버터와 역변환을 하는 K인버터가 2종류다.계수 J와 K는 각각 변환기의 스케일링 어드미턴스와 임피던스다.^[19]

스텁은 개방 회로에서 단락 스텁으로 변경하기 위해 연장할 수 있으며 그 반대의 경우도 가능하다.^[20]저역-통과 필터는 일반적으로 직렬 인덕터와 션트 캐패시터로 구성된다.쿠로다의 신분을 적용하면 모든 션트 캐패시터가 변환되는데, 이는 개방 회로 스텁이다.개방회로 스텁은 구현이 용이하기 때문에 인쇄기술에서 선호되고 있으며, 이것이 소비자제품에서 발견될 가능성이 높은 기술이다.단, 동축 라인이나 트윈 리드 등의 다른 기술에서는 단락이 실제로 구조물의 기계적 지지에 도움이 될 수 있는 경우는 제외된다.단락 회로도 일반적으로 개방 회로보다 정밀한 위치를 갖고 있다는 점에서 작은 장점이 있다.회로가 도파관 매체로 추가 변환될 경우 개방 회로는 구멍 밖으로 방사선이 방출되기 때문에 문제되지 않는다.고역 통과 필터의 경우 역이 적용되며, 쿠로다를 적용하면 자연스럽게 단락 스텁이 발생하며, 인쇄된 디자인이 개방 회로로 변환하는 것이 바람직할 수 있다.예를 들어 circuit/8 단선 스텁은 회로를 기능적으로 변경하지 않고도 동일한 특성 임피던스의 3 of/8 단락 스텁으로 교체할 수 있다.^[21]

임피던스 변압기 라인과 함께 결합하는 요소는 가장 컴팩트한 설계가 아니다.특히 훨씬 콤팩트한 대역 통과 필터에 대해서는 다른 커플링 방법이 개발되었다.여기에는 평행선 필터, 디지털 간 필터, 헤어핀 필터 및 반덤프 디자인 콤라인 필터가 포함된다.^[22]

참조

참고 문헌 목록

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