전송 함수

공학에서 시스템, 하위 시스템 또는 컴포넌트의 전송 함수(시스템^[1] 함수 또는 네트워크 함수라고도 함)는 이론적으로 가능한 각 ^[2]^[3]^[4]입력에 대한 시스템의 출력을 모델링하는 수학 함수입니다.전자제품과 제어시스템에 널리 사용되고 있습니다.단순한 경우에 이 함수는 전달 곡선 또는 특성 곡선이라고 하는 독립 스칼라 입력 대 종속 스칼라 출력의 2차원 그래프입니다.컴포넌트의 전송 함수는 컴포넌트에서 조립된 시스템을 설계 및 분석하기 위해 사용되며, 특히 전자 및 제어 이론에서 블록 다이어그램 기법을 사용합니다.

전송 함수의 치수와 단위는 가능한 입력 범위에 대한 장치의 출력 응답을 모델링합니다.예를 들어 앰프와 같은 2포트 전자회로의 전달함수는 입력에 인가되는 스칼라전압의 함수로서 출력에서의 스칼라전압의 2차원 그래프일 수 있다.전기기계식 액추에이터의 전달함수는 전기의 함수로서 가동암의 기계적 변위일 수 있다.장치에 인가되는 al 전류. 광검출기의 전달 함수는 주어진 파장의 입사광의 발광 강도의 함수로서의 출력 전압일 수 있다.

"전송 함수"라는 용어는 라플라스 변환과 같은 변환 방법을 사용하는 시스템의 주파수 영역 분석에도 사용됩니다. 여기서 입력 신호의 주파수의 함수로서 출력의 진폭을 의미합니다.예를 들어 전자필터의 전달함수는 입력에 인가되는 일정한 진폭 사인파의 주파수의 함수로서 출력시의 전압진폭이다.광학 이미징 디바이스의 경우 광전송 함수는 포인트 확산 함수의 푸리에 변환(따라서 공간 주파수의 함수)입니다.

선형 시간 불변 시스템

전송 함수는 신호 처리, 통신 이론 및 제어 이론 분야에서 단일 입력 단일 출력 필터 등의 시스템 분석에 일반적으로 사용됩니다.이 용어는 종종 LTI(Linear Time-Invariant) 시스템을 지칭할 때만 사용됩니다.대부분의 실제 시스템은 비선형 입출력 특성을 가지고 있지만, 많은 시스템은 ('과잉 구동'이 아닌) 공칭 파라미터 내에서 동작할 때 LTI 시스템 이론이 입출력 동작을 수용할 수 있는 표현일 정도로 선형에 가까운 동작을 가지고 있습니다.

아래 설명은 복소 변수 $s=\sigma +j\cdot \omega$ $=$ $s=\sigma +j\cdot \omega$ + $s=\sigma +j\cdot \omega$ $⋅$ $display$ { $displaystyle$ s $=\display$ + $j\cdot$ \omega $s=\sigma +j\cdot \omega$ 로 요약되어 있습니다. $s=j\cdot \omega$ 응용 프로그램에서는 $\sigma =0$ 인수의 라플라스 변환을 실제 인수의 푸리에 변환으로 줄이는 $=$ 0 $({displaystyle\cdot\obega})$ 을 정의하는 것으로 충분합니다.이것이 일반적인 애플리케이션은 일시적인 온/오프 동작이나 안정성 문제가 아닌 LTI 시스템의 정상 상태 응답에만 관심이 있는 애플리케이션입니다.이것은 보통 신호 처리와 통신 이론의 경우입니다.

따라서 연속 시간 입력 $x(t)$ x ( $x(t)$ ) { $displaystyle$ x $(t)}$ 및 $x(t)$ $y(t)$ y ( $)$ { $displaystyle$ y $(t$ 의 경우 전송 $H(s)$ H ( $)$ { $displaystyle$ H $(s)}$ 는 $H(s)$ 입력의 Laplace $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ 의 선형 매핑 $,$ $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ ( $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ ) $=$ $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ { t $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$ { $displaystyle$ X ( $cals$ ) $}$ $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ Y ( $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ ) $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ { $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ ( $Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}$ ) $}$ { $displaystyle Y$ ( s ) $= left$ \ { $y$ ( $t$ ) \ $right \$ } :

Y(s)=H(s)\;X(s)

또는

H(s)=mathfrac {Y(s)}{X(s)}=mathcal {L}\left\{y(t)\right\}}{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}}.

이산 시간 시스템에서 입력 $(\$ $displaystyle$ x $(t)}$ 와 $x(t)$ $y(t)$ y $(\displaystyle$ y $(t))$ 사이의 $y(t)$ 관계는 z-templ을 사용하여 처리되며, 전송 함수는 $H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}$ 로 H $($ $H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}$ ) $z)$ = $frac(x$ ) { $z}$ {z} {z} {z} {displac} {z} {z}펄스 전달 ^{[citation needed]}함수로 사용됩니다.

미분 방정식으로부터의 직접 유도

계수가 상수인 선형 미분 방정식 고려

L[u]=param frac {d^{n}u}{dt^{n}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}+\frac +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)

여기서 u와 r은 t의 적절한 매끄러운 함수이고, L은 u를 r로 변환하는 관련 함수 공간에서 정의된 연산자입니다.이러한 방정식은 강제함수 r의 관점에서 출력함수 u를 구속하기 위해 사용할 수 있다.전송 함수를 사용하여 $L[F[r]]=r$ L의 오른쪽 역방향으로 작동하는 $F[r]=u$ F [ $F[r]=u$ ] $F[r]=u$ {\ $displaystyle$ F $[$ $L[F[r]]=r$ $L[F[r]]=r$ $L[F[r]]=r$ \ $displaystyle$ L $[F[r$ ] $= r$ 을 정의할 $F[r]=u$ 수 있습니다.

균질한 상수계수 $L[u]=0$ [ $L[u]=0$ u ] $=$ 0 {\ $displaystyle$ L [u] $=$ 0 }의 $L[u]=0$ 해는 $u=e^{\lambda t}$ $u=e^{\lambda t}$ $u=e^{\lambda t}$ ${\$ t {\ $displaystyle u=$ e^{\ $displayda$ t $u=e^{\lambda t}$ 를 $u=e^{\lambda t}$ 하면 구할 수 있습니다.그 치환은 특징적인 다항식을 산출한다.

\displaystyle p_{L}(\lambda)=\displayda ^{n}+a_{1}\capda ^{n-1}+\capb +a_{n-1}\capda +a_{n},}

불균일한 경우는 입력함수 r이 $r(t)=e^{st}$ ( $r(t)=e^{st}$ t ) $=$ $r(t)=e^{st}$ {\ $displaystyle$ r $(t$ )= $e^{st$ 이라면 쉽게 해결할 수 있다. 이 경우 $= H(s) e^{st}$ 로 $u = H(s)e^{s t}$ 치환하면 L $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ [ $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ ) $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ $display$ $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ tstyle $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ ]를 $L[H(s)e^{st}]=e^{st}$ 알 수 있다.

H(s)=p_{L}}}\qquad {text}}\cisco p_{L}\neq 0.

전달 함수의 정의로 받아들이려면 복소값과 실값 사이의 신중한 명확화가^{[clarification needed]} 필요하며, 이는 전통적으로 이득으로서의 복소값과 위상 지연으로서의 -atan(H)의 해석에 의해 영향을^{[clarification needed]} 받는다.전송 함수의 다른 정의( $1/p_{L}(ik).$ : 1 $1/p_{L}(ik).$ / $1/p_{L}(ik).$ L ( $1/p_{L}(ik).$ ) $.\displaystyle$ 1/ $p_{L}(ik))$ 가 사용됩니다. $}$ ^[5]

이득, 일시적인 동작 및 안정성

주파수 $\omega _{0}/(2\pi )$ 0 / $\omega _{0}/(2\pi )$ ( $\omega _{0}/(2\pi )$ $\omega _{0}/(2\pi )$ ) $\omega _{0}/(2\pi )$ { $displaystyle \obega$ _ { $0}$ / ( $2$ \ $pi$ ) }의 $\omega _{0}/(2\pi )$ 시스템에 대한 일반적인 사인파 입력은 exp $\exp(j\omega _{0}t)$ ( $\exp(j\omega _{0}t)$ $\exp(j\omega _{0}t)$ $\exp(j\omega _{0}t)$ t $\exp(j\omega _{0}t)$ ) { $displaystyle \exp$ ( $j$ \ $obega$ _ { $0}$ t $\exp(j\omega _{0}t)$ } $\exp(j\omega _{0}t)$ 로 쓸 수 있습니다. $t=0$ t $=$ 부터 $시작$ 하는 사인파 입력에 대한 시스템의 $응답$ 은 $t=0$ 정상 상태 응답과 과도 응답의 합으로 구성됩니다.정상 상태 응답은 무한 시간 제한에 있는 시스템의 출력이며 과도 응답은 응답과 정상 상태 응답 사이의 차이입니다(위 미분 방정식의 균질한 솔루션에 해당합니다).LTI 시스템의 전송 기능은 다음과 같이 제품으로 표시될 수 있습니다.

H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}

여기서_{P_i} s는 특성 다항식의 N근이므로 전달 함수의 극이 됩니다. $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ H ( $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ s ) $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ - $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ P ( \ $displaystyle H$ ( s ) = $specfrac {1}{s-s_{$ 의 전달 함수의 경우를 고려합니다. $P}}}:$ $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ 서 $H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}$ s P $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ $s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}$ P + $j$ P { { $displaystyle$ s $_$ { P } = \ $sigma$ _ { $P }$ 。단위 진폭의 일반 사인파의 라플라스 ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ 은 1 ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ - ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ i ( \ $display$ style \ $frac$ { 1 ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ } { s \ $j$ \ $obe _$ } } } } ${\frac {1}{s-j\omega _{i}}}$ 。출력의 Laplace 변환은 H ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ ( ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ ) ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ - j ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ 0 { { $displaystyle$ { $frac { H$ ( s ) } { $s$ - j \ $obega$ _ ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ { 0 }} 이며 ${\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}$ , 시간 출력은 해당 함수의 역 Laplace 변환이 됩니다.

g(t)=sigma frac {e^{j,\obe _{0},t}-e^{(\sigma _{P}+j(\obe _{P})}){-\sigma _{P}-{P}}}}}

분자의 두 번째 항은 과도 응답이며, 무한 시간 한계에서 θ가_P 양수이면 무한대로 분산됩니다.시스템이 안정되려면 전달 기능에 실제 부품이 양의 극이 없어야 합니다.전달 함수가 엄격히 안정되면 모든 극의 실제 부분은 음이 되며, 무한 시간의 한계에서 과도 거동은 0이 되는 경향이 있습니다.정상 상태 출력은 다음과 같습니다.

g(\infty)=syslogfrac {e^{j,\opera_{0},t}}{-\opera_{P}+j(\opera_{0}-\opera_{P}}}}

시스템의 주파수 응답(또는 "게인") G는 정상 상태 입력 진폭에 대한 출력 진폭 비율의 절대값으로 정의됩니다.

(\displaystyle G(\displaystyle _{i})=\left {{P}+j(\mega _{0}-\operate _{P}})}\right ={1}{\displaystyle {P}-\mega _{0}}}^{2}+(\right {\displaystymega _P}-\{{{{P})}}}}}}}}}}}}}}}}}}})

이는 j ${\$ $j\omega _{i}$ \ $displaystyle$ j \ $omega$ _ { $i$ } 로 평가된 $H(s)$ H $(s)$ 의 $H(s)$ 절대값입니다.이 결과는 임의의 수의 전달 기능 극에 유효하다는 것을 보여줄 수 있다.

신호 처리

x $x(t)$ $x(t)$ ( $x(t)$ ) $x(t)$ { displaystyle $x(t)$ x ( $t$ ) 、 $y(t)$ ( $y(t)$ ) $y(t)$ { $displaystyle$ y ( $t$ ) the $y(t)$ , lap lap lap 、 x $x(t)$ ( $x(t)$ ) $x(t)$ { $displaystyle$ $x(t)$ x ( $t$ ) $y(t)$ ( $y$ ( t $y(t)$ )의 쌍방향 라플라스 변환을 출력으로 $x(t)$ .

{{displaystyle {begin{aligned}X&=mathcal {L}\left\{x(t)\right\}\stackrel {mathrm {def}{=}\infty}{\infty}x(t)e^{st},dt,\Y(s)\mathcal {L}\cal =}\end { aligned}}

다음으로 출력은 $H(s)$ H ( $H(s)$ $){$ $displaystyle$ H $(s)}$ 에 $H(s)$ 의한 입력과 관련지어집니다.

Y(s)=H(s)X(s)

따라서 전송 함수 자체는

H(s)=svsfrac {Y(s)}{X(s)}}.

특히 진폭 $|X|$ ({ $displaystyle$ X $|X|$ 각도 $θ$ ({displaystyle $\arg(X)$ $\obega})$ 및 $\omega$ $\arg(X)$ $arg$ 를 갖는 정현파 성분의 복합 고조파 신호가 있는 경우, 여기서 arg는 인수입니다.

x(t)=Xe^{j\omega t}=X e^{j(\omega t+\arg(X))}}

X=|X|e^{j\arg(X)}

서 X

X=|X|e^{j\arg(X)}

X=|X|e^{j\arg(X)}

X=|X|e^{j\arg(X)}

X=|X|e^{j\arg(X)}

arg

X=|X|e^{j\arg(X)}

(

X=|X|e^{j\arg(X)}

) {

displaystyle

X =

X=|X|e^{j\arg(X)}

X

e^{j\arg(X)}}

는 선형 시차 시스템에 입력되며 출력에서 대응하는 구성요소는 다음과 같습니다.

\ displaystyle\signed\y(t)&=Ye^{j\omega t}=Y e^{j(\omega t+\arg(Y)},\Y&=Y e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}}

선형 시간 불변 시스템에서는 입력 주파수 $\omega$ (\ $displaystyle \omega)$ 가 $\omega$ 변경되지 않고 시스템에 의해 사인파의 진폭과 위상각만 변경됩니다.주파수 $H(j\omega )$ H $H(j\omega )$ $H(j\omega )$ $)({displaystyle$ $\omega$ H $(j\$ $obega)}$ 는 $H(j\omega )$ $\omega$ 모든 주파수 $δ$ 에 대해 다음과 같은 변경을 이득의 관점에서 설명합니다.

G(\obmega) = frac { Y }{ X }} = H(j\obmega)

및 위상 이동:

\displaystyle \phi(\obega)=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\obega)).}

위상 지연(즉, 전달 함수에 의해 사인파에 도입된 주파수 의존 지연량)은 다음과 같습니다.

_{\phi }(오메가)=-{\frac {\phi (\오메가)}{\ofmega }.

그룹 지연(즉, 전달 함수에 의해 정현파 엔벨로프에 도입된 주파수 의존 지연량)은 각 주파수 $\omega$ (\ $displaystyle \omega$ 에 대한 위상 편이의 도함수를 계산하여 구합니다.

_{g}(\obmega)=-{\frac {d\phi(\obmega)}{d\obe}}.

전송 함수는 또한 $s=j\omega$ $s=j\omega$ $s=j\omega$ ${\$ \ $displaystyle s=j$ \obega $s=j\omega$ }인 경우 쌍방향 라플라스 변환의 특수한 경우에만 푸리에 변환을 사용하여 표시할 수 있습니다.

공통 전송 함수 패밀리

LTI 시스템은 일부 전송 함수에 의해 설명될 수 있지만, 일반적으로 사용되는 특수 전송 함수의 "패밀리"가 있습니다.

일반적인 전송 함수 패밀리와 그 특징은 다음과 같습니다.

Butterworth 필터 – 지정된 순서로 통과 대역과 정지 대역이 최대 평탄함
체비셰프 필터(타입 I) – 스톱밴드가 최대 평평하고 같은 순서의 버터워스 필터보다 더 선명한 컷오프
체비셰프 필터(Type II) – 통과 대역이 최대 평평하고 같은 순서의 버터워스 필터보다 더 날카로운 컷오프
베셀 필터 – 그룹 지연 리플이 없으므로 주어진 순서에 대해 최적의 펄스 응답
타원 필터 – 주어진 순서에 대해 가장 날카로운 컷오프(통과 대역과 정지 대역 간의 가장 좁은 전환)
최적 "L" 필터
가우스 필터 – 최소 그룹 지연. 스텝 기능에 오버슈트를 제공하지 않음
모래시계 필터
상승 코사인 필터

제어 엔지니어링

제어 엔지니어링 및 제어 이론에서 전달 함수는 라플라스 변환을 사용하여 도출됩니다.

전송 기능은 기존 제어 엔지니어링에서 사용되는 주요 도구입니다.그러나 MIMO(Multiple Input Multiple Output) 시스템의 분석에는 어려움이 있음이 입증되었으며, 이러한 시스템의 ^{[citation needed]}상태 공간 표현으로 대체되었습니다.그럼에도 불구하고 전송행렬은 그 역학 및 기타 특성을 분석하기 위해 항상 선형 시스템에 대해 얻을 수 있다. 전송행렬의 각 요소는 특정 입력변수와 출력변수를 관련짓는 전송함수이다.

상태 공간과 전달 함수 방법을 연결하는 유용한 표현은 Howard H. Rosenbrock에 의해 제안되었으며 로젠브록 시스템 매트릭스라고 한다.

광학

광학에서 변조 전달 기능은 광학 콘트라스트 전송 능력을 나타냅니다.

예를 들어 특정 공간 주파수로 그려진 일련의 흑백 빛 테두리를 관찰할 경우 화질이 저하될 수 있습니다.흰 테두리는 희미해지고 검은 테두리는 밝아진다.

특정 공간 주파수에서 변조 전달 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

{\displaystyle \mathrm {MTF} (f)=param frac {M(\mathrm {image})}{M(\mathrm {source}}}},

여기서 변조(M)는 다음 영상 또는 밝기로 계산됩니다.

M=max frac {L_{\max}-L_{\min}}}{L_{\max}+L_{\min}}}}.

이미징

촬상에서는, 씬 라이트, 화상 신호, 및 표시된 빛의 관계를 기술하기 위해서 전송 함수를 사용합니다.

비선형 시스템

많은 비선형 시스템에 전송 함수가 제대로 존재하지 않습니다.예를 들어, 완화 ^[6]발진기에는 존재하지 않지만, 때때로 이러한 비선형 시간 불변 시스템을 근사하는 데 함수를 사용할 수 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Signals and Systems, 제2판, Wiley, 2001, ISBN0-471-98800-6 페이지 50
^ M. A. Laughton; D.F. Warne (27 September 2002). Electrical Engineer's Reference Book (16 ed.). Newnes. pp. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5.
^ E. A. Parr (1993). Logic Designer's Handbook: Circuits and Systems (2nd ed.). Newness. pp. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.
^ Ian Sinclair; John Dunton (2007). Electronic and Electrical Servicing: Consumer and Commercial Electronics. Routledge. p. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7.
^ Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.^{[페이지 필요]}
^ Valentijn De Smedt, Georges Gielen and Wim Dehaene (2015). Temperature- and Supply Voltage-Independent Time References for Wireless Sensor Networks. Springer. p. 47. ISBN 978-3-319-09003-0.

외부 링크

ECE 209: LTI 시스템으로서의 회로 검토 - (전기) LTI 시스템의 수학적 분석에 대한 짧은 입문.

[1] Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Signals and Systems, 제2판, Wiley, 2001, ISBN0-471-98800-6 페이지 50

[LaughtonWarne2002-2] M. A. Laughton; D.F. Warne (27 September 2002). Electrical Engineer's Reference Book (16 ed.). Newnes. pp. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5.

[Parr1993-3] E. A. Parr (1993). Logic Designer's Handbook: Circuits and Systems (2nd ed.). Newness. pp. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9.

[SinclairDunton2007-4] Ian Sinclair; John Dunton (2007). Electronic and Electrical Servicing: Consumer and Commercial Electronics. Routledge. p. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7.

[5] Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.^{[페이지 필요]}

[Dehaene-6] Valentijn De Smedt, Georges Gielen and Wim Dehaene (2015). Temperature- and Supply Voltage-Independent Time References for Wireless Sensor Networks. Springer. p. 47. ISBN 978-3-319-09003-0.

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