수학적 함수
수학 에서 하강 요인 (내림차 요인 ,[1] 하강 순차 제품 또는 하강 요인이라고 도 함)을 다항식으로 정의한다.
( x ) n = x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = ∏ k = 1 n ( x − k + 1 ) = ∏ k = 0 n − 1 ( x − k ) . {\displaystyle (x)_{n}=x^{\underline{n}=x-1(x-2)\cdots(x-n+1)=\prod _{k=1}^{n+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k). } 상승 요인 (Pochhammer 함수 , Pochhammer 다항식 , 상승 요인 ,[1] 상승 순차 제품 또는 상한 요인이라고 도 함)은 다음과 같이 정의된다.
x ( n ) = x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ∏ k = 1 n ( x + k − 1 ) = ∏ k = 0 n − 1 ( x + k ) . {\displaystyle x^{(n)}=x^{\overline {n}=x(x+1)\cdots(x+n-1) =\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k)} n = 0일 때 각 값은 1(빈 제품 )으로 간주된다.이러한 기호들을 총칭하여 요인력 이라고 한다.[2]
레오 어거스트 포하머 가 도입한 포하머 기호 는 표기법(x )n 으로 여기서 n 음 이 아닌 정수 다.그것은 상승 요인 또는 하강 요인 중 하나 를 나타낼 수 있으며, 다른 기사와 다른 규약을 사용하는 저자가 있을 수 있다. Pochhammer 자신은 실제로 (x )n 이항계수 ( n ){\ displaystyle {\tbinom {x}{n}}}} . [3]
이 글에서 기호(x )n 는 하강 요인을 나타내기 위해 사용되며, 기호 x (n ) 상승 요인에 사용된다. Knuth 의 언더라인/오버라인 표기 _ x ¯`{\ displaystyle x^{n},x^{ overline{n}}} [4] 콤비네이터 에 사용된다.[2] [5] 특수함수 이론(특히 초지하함수 )과 표준 참조 작업인 아브라모위츠와 스테건 (x )n 를 사용하여 상승요인을 나타낸다.[6] [7]
x x )n n-퍼뮤션 수를 주거나, 동등하게 n 크기 x 주입 함수의 수를 준다. 또한, (x )n x 플래그폴에 n 기를 배열하는 방법의 수"[8] 이런 맥락에서 P n P (x , n )와 같은 다른 표기들도 가끔 사용된다.
예제 및 조합 해석 처음 몇 가지 상승 요인은 다음과 같다.
x ( 0 ) = x 0 ¯ = 1 {\displaystyle x^{(0)=x^{\overline {0}=1} x ( 1 ) = x 1 ¯ = x {\displaystyle x^{(1)=x^{\overline{1}=x} x ( 2 ) = x 2 ¯ = x ( x + 1 ) = x 2 + x {\displaystyle x^{(2)=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x} x ( 3 ) = x 3 ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x 3 + 3 x 2 + 2 x {\displaystyle x^{(3)=x^{\overline {3}=x(x+1)=x^{3}+3x^{2}+2x} x ( 4 ) = x 4 ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 4 + 6 x 3 + 11 x 2 + 6 x {\displaystyle x^{(4)=x^{\overline {4}x(x+1)(x+2)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x} 처음 몇 가지 하강 요인에는 다음과 같다.
( x ) 0 = x 0 _ = 1 {\displaystyle (x)_{0}=x^{\underline {0}=1} ( x ) 1 = x 1 _ = x {\displaystyle (x)_{1}=x^{\underline {1}=x} ( x ) 2 = x 2 _ = x ( x − 1 ) = x 2 − x {\displaystyle (x)_{2}=x^{\underline{2}=x(x-1)=x^{2}-x} ( x ) 3 = x 3 _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x {\displaystyle (x)_{3}=x^{\underline{3}=x(x-1)=x^{3}-3x^{2}+2x} ( x ) 4 = x 4 _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) = x 4 − 6 x 3 + 11 x 2 − 6 x {\displaystyle (x)_{4}=x^{\underline{4}=x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x} 팽창에 나타나는 계수는 첫 번째 종류의 스털링 수입니다 .
변수 x 가 양의 정수인 경우, 숫자 x {\ displaystyle (x)_{n}} 집합에서 n-permutions 의 수, 즉, 크기 x 집합에서 도출된 구별되는 요소로 구성된 n 의 순서 목록을 선택하는 방법의 수와 같다. 예 들어 3 ⋅ 6 336 {\displayst yle (8)_{3}=8\cdot 7\cdot 6=336} 또한 (x )n x 플래그폴에 n개 의 깃발을 배열하는 방법의 수"[8] 이런 맥락에서 P n P (x , n )와 같은 다른 표기들도 가끔 사용된다.
특성. 상승 요인 및 하강 요인에는 단순히 서로 관련이 있다.
m ( n ) = ( m + n − 1 ) n = ( − 1 ) n ( − m ) n {\displaystyle m^{(n)}={(m+n-1) }_{n}=(-1)^{n}(-m)_{n}}} ( m ) n = ( m − n + 1 ) ( n ) = ( − 1 ) n ( − m ) ( n ) {\displaystyle {(m)}_{n}={(m-n+1)}^{{n}=(-1)^{n(-m)^{n}}}}} 상승 및 하강 요인 설계는 일반 요인 설계와 직접적인 관련이 있다.
n ! = 1 ( n ) = ( n ) n {\displaystyle n!=1^{(n)}=(n)_{n}}} ( m ) n = m ! ( m − n ) ! {\displaystyle (m)_{n}={\frac {m!}{(m-n)! }}} m ( n ) = ( m + n − 1 ) ! ( m − 1 ) ! {\displaystyle m^{(n)}={\frac {(m+n-1)! }{{(m-1)! }}} 상승 및 하강 요인은 이항 계수 를 표현하는 데 사용할 수 있다.
x ( n ) n ! = ( x + n − 1 n ) 그리고 ( x ) n n ! = ( x n ) . {\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{n! }}}={x+n-1 \cHB {\text{and}}\cHB {\frac{(x)_{n}}{n! }}}={x \선택 n}. } 따라서 이항계수에 대한 많은 정체성은 하강 및 상승 요인들로 이어진다.
상승 요인 및 하강 요인들은 어떤 유니탈 링에서도 잘 정의되어 있으므로 , 예를 들어 x는 음의 정수나 복잡한 계수를 가진 다항식 , 또는 어떤 복합값 함수 를 포함한 복잡한 숫자 로 간주할 수 있다.
상승 요인 x x n 감마 함수 를 사용하여 n 실제 값으로 확장될 수 있다.
x ( n ) = Γ ( x + n ) Γ ( x ) , {\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma(x+n)}{\\ 감마(x)}},} 추락하는 요인 또한 다음과 같다.
( x ) n = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) . {\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma(x+1)}{\\ 감마(x-n+1)}. } D x 분화 를 나타내는 경우
D n ( x a ) = ( a ) n ⋅ x a − n . {\displaystyle D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\cdot x^{a-n}. } Pochhammer 기호는 또한 초기하 함수 의 정의에 필수적이다. 초기하학 함수는 전력 시리즈 에 의해 z < 1에 대해 정의된다.
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) z n n ! {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{n^{n}{a^{(n)^{n} \over c^{z^{n}}}{z^{n} \overn! }} 단 , c가 0, -1, -2, ...와 같지 않다면, 초기하 함수 문헌은 일반적으로 상승 요인들에 대해표기법 n {\ displaystyle{a}_{n}}
탯줄 미적분학과의 관계 하강 인자는 전방차 연산자 Δ 를 사용하는 다항식 을 나타내는 공식에서 발생하며, 이는 공식적으로 테일러의 정리 와 유사하다.
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ [ Δ n f ( 0 ) n ! ] ( x ) n . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\npty }\왼쪽[{\frac {\,\Delta ^{n}\!f(0)\,}{n! }}\\\,(x)_{n}} 이 공식과 그 밖의 여러 곳에서 유한차이 의 미적분에서 하강 요인(x )n 은 미분적분에서 x n Note for instance the similarity of Δ [ ( x ) n ] = n ( x ) n − 1 {\displaystyle \Delta \!\left[\,(x)_{n}\,\right]=n\,(x)_{n-1}} d d x [ x n ] = n x n − 1 {\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\left[\,x^{n}\,\right]=n\,x^{n-1}}
유사한 결과가 상승 요인에도 적용된다.
이러한 유형의 유사성에 대한 연구는 탯줄 미적분학 이라고 알려져 있다. 낙하 및 상승 요인 함수를 포함하여 그러한 관계를 다루는 일반 이론은 이항식 및 셰퍼 서열 의 다항식 시퀀스 이론에 의해 제시된다. 상승 요인 및 하강 요인으로는 이항 유형의 셰퍼 시퀀스가 있으며, 이는 관계에서 알 수 있다.
( a + b ) ( n ) = ∑ j = 0 n ( n j ) ( a ) ( n − j ) ( b ) ( j ) {\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \선택 j}^{a)^{(n-j)}(b)^{(j)}}}}}}}}}}}} ( a + b ) n = ∑ j = 0 n ( n j ) ( a ) n − j ( b ) j {\displaystyle (a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n}{n \선택 j}(a)_{n-j}(b)_{j}}}}}}}} 여기서 계수는 이항력 팽창(Chu-Vandermonde ID)에 있는 계수와 동일하다.
마찬가지로, Pochhammer 다항식의 생성함수는 탯줄 지수,
∑ n = 0 ∞ ( x ) n t n n ! = ( 1 + t ) x , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\inflt }(x)_{n}~{\frac{t^{n}}{n! }}}=(1+t)^{x}~,} 그 이후
Δ x ( 1 + t ) x = t ( 1 + t ) x . {\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\왼쪽(1+t\오른쪽) ^{x}=t\,\왼쪽(1+t\오른쪽) ^{x}~.} 연결 계수 및 ID 하강 및 상승 요인은 Lah 숫자 를 통해 서로 관련된다.[9]
( x ) n = ∑ k = 1 n ( n − 1 k − 1 ) n ! k ! × x ( k ) = ( − 1 ) n ( − x ) ( n ) = ( x − n + 1 ) ( n ) x ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ( n − 1 ) n − k × ( x ) k = ( − 1 ) n ( − x ) n = ( x + n − 1 ) n . {\displaystyle {\displaystyle}(x)_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}{\frac! }{k!}}\times x^{(k)}\\&=(-1)^{n}(-x)^{(n)}=(x-n+1)^{(n)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)_{n-k}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x+n-1)_{n}. \end{정렬}}} 다음 공식은 두 번째 종류의 스털링 숫자 (곡선 괄호 {}n k [9]
x n = ∑ k = 0 n { n k } ( x ) k = ∑ k = 0 n { n k } ( − 1 ) n − k x ( k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}. \end{정렬}}} 하강요인은 다항식 링 의 기초가 되기 때문에 두 개의 산물을 하강요인의 선형 결합 으로 표현할 수 있다.
( x ) m ( x ) n = ∑ k = 0 m ( m k ) ( n k ) k ! ⋅ ( x ) m + n − k . {\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m \선택 k}{n \n \선택 k}k! \cdot (x)_{m+n-k}~.} 계수( k ( k ! k {\textstyle { \선택 k}{n \선택 k}k!}} 연결 계수 라고 하며m 과 크기 n 의 집합에서 각각 식별하는 방법(또는 "함께 글루") k 원소 를 식별하는 방법의 수로 조합 해석을 갖는다.
또한 다음과 같은 방법으로 주어지는 두 상승 요인 비율에 대한 연결 공식도 있다.
x ( n ) x ( i ) = ( x + i ) ( n − i ) , n ≥ i . {\displaystyle {\x^{(n)}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)}n\geq i~} 또한 우리는 다음과 같은 정체성을 통해 일반화된 지수의 법칙과 부정적인 상승과 하락의 힘을 확장할 수 있다.[citation needed
( x ) m + n = ( x ) m ( x − m ) n x ( m + n ) = x ( m ) ( x + m ) ( n ) x ( − n ) = Γ ( x − n ) Γ ( x ) = ( x − n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! = 1 ( x − n ) ( n ) = 1 ( x − 1 ) n = 1 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) = 1 n ! ( x − 1 n ) = ( − n ) ! ( x − n − 1 − n ) ( x ) − n = Γ ( x + 1 ) Γ ( x + n − 1 ) = x ! ( x + n ) ! = 1 ( x + n ) n = 1 ( x + 1 ) ( n ) = 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n ) = 1 ( − n ) ! ( x + n − n ) = ( − n ) ! ( x − n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}\\x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)! }{(x-1)! }}}={\frac{1}^{(x-n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}={\frac {1}{(x-1)(x-n)}}}}={\frac {1}{n! {\binom{x-1}{n}}=(-n)! {\binom {x-n-1}{-n}\(x)_{-n}&={\frac {\감마(x+1)}{\\ 감마(x+n-1) }}}}={\frac {x!}{(x+n)! }}={\frac {1}{(x+n)_{n}}={\frac {1}{{{{{(x+1)}}}={\frac {1}{(x+1)}}}={\frac {1}(-n)! {\binom {x+n}{-n}}}=(-n)! {\binom {x}{-n}}. \end{정렬}}} 마지막으로, 추락 및 상승 요인들에 대한 중복 및 곱셈 공식 은 다음 관계를 제공한다.
x k + m n = x ( k ) m m n ∏ j = 0 m − 1 ( x − k − j m ) n , m ∈ N {\displaystyle x_{k+mn}=x^{m^{mn}\prod_{j=0}^{m-1}\좌측({\frac {x-k-j}{m}\오른쪽)_{n}m\in \mathb {N}}}}} x ( k + m n ) = x ( k ) m m n ∏ j = 0 m − 1 ( x + k + j m ) ( n ) , m ∈ N {\displaystyle x^{(k+mn)}=x^{}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\좌측({\frac {x+k+j}{m}}\우측)^{n)},m\in \mathb {N}}}}} ( a x + b ) ( n ) = x n ∏ j = 0 n − 1 ( a + b + j x ) , x ∈ Z + {\displaystyle (ax+b)^{n}=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{b+j}}{x}\right),x\in \mathb {Z}^{+}}}} ( 2 x ) ( 2 n ) = 2 2 n x ( n ) ( x + 1 2 ) ( n ) . {\displaystyle (2x)^{(2n)=2^{2n}x^{(n)}\좌측(x+{\frac{1}{1}{2}}\우측)^{n}}} 대체 표기 상승요인에 대한 대체 표기법
x m ¯ ≡ ( x ) + m ≡ ( x ) m = x ( x + 1 ) … ( x + m − 1 ) ⏞ m 요인들 정수로 m ≥ 0 , {\displaystyle x^{\m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1) ^{m{\text factors}}\qquad{}}}}정수의 경우 {},} 그리고 감소하는 요인
x m _ ≡ ( x ) − m = x ( x − 1 ) … ( x − m + 1 ) ⏞ m 요인들 정수로 m ≥ 0 ; {\displaystyle x^{\m}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x-1)\ldots (x-m+1) ^{m{\text{factor}\text{{}}}}{}}정수 }\m\geq 0~;} A로 거슬러 올라가다 카펠리(1893년)와 L. 토스카노(1939년).[2] Graham, Knuth, Patashnik은[10] m 상승에 x", "m 하강에 x"로 발음할 것을 제안한다.
하강요인에 대한 다른 표기 로는 P ( xn , nx ,n ), P, P 또는 P 가n 순열 및 조합 참조).
상승 요인 x (n ) 대한 대체 표기법은 덜 보편적인 (x )+ n 이다. (x )+ n (− n x )에 사용한다.[3]
일반화 Pochhammer 기호는 다변량 분석 에 사용되는 일반화된 Pochhammer 기호 라고 하는 일반화된 버전을 가지고 있다. q-아날로그 도 있는데, q-포크해머 기호 가 있다.
함수를 정수의 내림차순으로 평가하고 값을 곱하는 하강 요인의 일반화는 다음과 같다.[citation needed
[ f ( x ) ] k / − h = f ( x ) ⋅ f ( x − h ) ⋅ f ( x − 2 h ) ⋯ f ( x − ( k − 1 ) h ) , {\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),} 여기서 -h 는 감소, k 상승요인의 해당 일반화는
[ f ( x ) ] k / h = f ( x ) ⋅ f ( x + h ) ⋅ f ( x + 2 h ) ⋯ f ( x + ( k − 1 ) h ) . {\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h). } 이 표기법은 상승 및 하강 k /1요인 인 [x ]k /−1
고정 산술 함수 f N {\ displaystyle f:\mathb {N} \rightarrow \mathb {C} 매개 t {\displaystyle x,t}
( x ) n , f , t := ∏ k = 0 n − 1 ( x + f ( k ) t k ) {\displaystyle (x)_{n,f,t:=\prod _{k=0}^{n-1}\좌측(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\오른쪽)} (x n f t {\ displaystyle x)_{n,f,t} x {\displaystyle x} 번째 종류 의 일반화된 스털링 수 분류의 관점에서 연구할 수 있다.
[ n k ] f , t = [ x k − 1 ] ( x ) n , f , t = f ( n − 1 ) t 1 − n [ n − 1 k ] f , t + [ n − 1 k − 1 ] f , t + δ n , 0 δ k , 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}. \end{정렬}}} 이 계수들은 첫번째 종류의 스털링 숫자뿐만 아니라 재발 관계와 기능적 방정식은f-harmonic 숫자, Fn(r)(t)것과 관련된:=}}≤ ntkf(k)r{\displaystyle F_{n}(t):=\sum _{nk\leq}{\frac{t^{k}}{f(k)^{r}}k ∑ 유사의 여러 속성 만족시켜 준다.[11]
대칭 일반화는 다음과 같이 정의할 수 있다.
x m ¯ _ ≡ x m ¯ x m _ x = x m ¯ + m _ − 1 {\displaystyle x^{\underline{\overline{m}}\frac {x^{\m}}{x^{\m}}}{x}=x^{\m}+{\overline{m}-1}{\overline {m}-1} 참고 항목 참조 ^ a b Steffensen, J. F. (17 March 2006), Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 ^ a b c Knuth. The Art of Computer Programming ^ a b 포하머 기호에 대한 언급은 414페이지에 있다Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly , 99 (5): 403–422, arXiv :math/9205211 doi :10.2307/2325085 , JSTOR 2325085 , S2CID 119584305 ^ Olver, Peter J. (1999). Classical Invariant Theory . Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2 MR 1694364 .^ Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory . Springer. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6 ^ Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . p. 256.^ 이 마지막 표기법에서 상승 요인을 조작하기 위한 유용한 공식 목록은 다음과 같다. ^ a b Feller, William. An Introduction to Probability Theory and Its Applications . Vol. 1. Ch. 2. ^ a b "Introduction to the factorials and binomials" . Wolfram Functions Site .^ Graham, Ronald L. ; Knuth, Donald E. & Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics ISBN 0-201-14236-8 ^ Schmidt, Maxie D. (29 March 2017). "Combinatorial identities for generalized Stirling numbers expanding f-factorial functions and the f-harmonic numbers". arXiv :1611.04708v2 math.CO ].
외부 링크 
x 
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\,\Delta ^{n}\!f(0)\,}{n!}}\right]\,(x)_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22252b571a26080c059845ad69aa86a4c333ea2f)
![{\displaystyle \Delta \!\left[\,(x)_{n}\,\right]=n\,(x)_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f115af5f3c998fed728b12e10d0a2bf3433925)
![{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\left[\,x^{n}\,\right]=n\,x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb861102747e054bc445298c519a540321ebbd0)
![[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e902c50a1a316d5cd8c27ec4cadf0e1a7db00a0)
![[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed7efe0b5ace1ea43396bb0d8be9d87a5a86790)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada6ce80b7273d77af8ff6c78064d9683827c4db)
