움브랄 미적분학

1970년대 이전의 수학에서, 탯줄 미적분학이라는 용어는 연관성이 없어 보이는 다항식 방정식과 그것들을 "증거"하기 위해 사용된 특정한 "그림자" 기법 사이의 놀라운 유사성을 언급하였다. 이러한 기법은 존 블리사드(1861년)에 의해 도입되었으며, 때로는 블리사드의 상징적 방법이라고 불리기도 한다. 그들은 종종 이 기술을 광범위하게 사용한 에두아르 루카스(또는 제임스 조셉 실베스터)에게 기인한다.^[1]

짧은 역사

1930년대와 1940년대에 에릭 템플 벨은 탯줄 미적분을 엄격한 기준으로 설정하려고 시도했다.

1970년대에 스티븐 로만, 지안 카를로 로타 등이 다항식 공간에 선형 함수식으로 탯줄 미적분을 개발하였다. 현재 탯랄 미적분은 이항식 및 호칭 시퀀스의 다항식 시퀀스를 포함하여 셰퍼 시퀀스의 연구를 참조하지만, 유한 차이의 미적분학의 체계적인 대응 기법을 포함할 수 있다.

19세기 탯줄 미적분학

이 방법은 지수들이 지수인 척 함으로써 지수들의 색인화된 순서와 관련된 정체성을 도출하는 데 사용되는 공칭적 절차다. 말 그대로 해석하면 어처구니없지만 성공적이다: 탯줄 미적분학을 통해 도출된 정체성 또한 말 그대로 논리적 어려움 없이 취할 수 있는 더 복잡한 방법에 의해 적절하게 도출될 수 있다.

그 예로는 베르누이 다항식들이 있다. 예를 들어, 일반 이항 분포(이항 계수를 포함)를 고려하십시오.

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \n 선택 k}y^{n-k}x^{k}}}}}$

그리고 베르누이 다항식에서의 현저하게 닮은 관계:

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}B_{n-k}(y)x^{k}.}$

일반 파생 모델 비교

${\displaystyle {\frac {d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$

베르누이 다항식(Bernouli polynomials)에서 매우 비슷하게 생긴 관계에 대해 다음과 같이 말했다.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

이러한 유사점들은 탯줄을 만들 수 있게 하는데 표면적으로는 정확할 수 없지만 어쨌든 효과가 있는 것 같다. 따라서 예를 들어, 첨자 n - k가 지수인 것처럼 가장하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n}}}}}$

그런 다음 원하는 결과를 얻는다.

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

위의 경우 변수 b는 "umbra"(그림자용 라틴어)이다.

Faulhaber의 공식을 참조하십시오.

움브랄 테일러 시리즈

미분학에서 함수의 테일러 시리즈는 함수의 파생상품의 관점에서 한 점에서 표현되는 항들의 무한한 합이다. 즉, ${\displaystyle a}$에서 무한히 다를 수 있는 실제 또는 복합값 함수 f(x)는 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\inflt }{f^{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}}}}}$

유한차이론에서도 비슷한 관계가 관찰됐다. Taylor 시리즈의 탯줄 버전은 다항 함수 f의$$ k번째 포워드 차이 ${\displaystyle {\Delta }^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$를 포함하는 유사한 표현으로 주어진다.

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {\delta ^{k}[f](a)}{k!}}}(x-a)_{k}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle (x-a)_{k}=(x-a-1)(x-a-1)(x-a-2)\cdots(x-a-k+1)}$

여기서 사용되는 포하머 기호는 떨어지는 순차 제품이다. 유사한 관계는 후진적 차이와 증가하는 요인이다.

이 시리즈는 뉴턴 시리즈 또는 뉴턴의 전진차 확장으로도 알려져 있다. 테일러의 팽창에 대한 비유는 유한차이의 미적분학에서 활용된다.

벨과 리오르단

1930년대와 1940년대에 에릭 템플 벨은 이런 종류의 주장을 논리적으로 엄격하게 하기 위해 노력했으나 실패했다. 1960년대에 출판된 그의 저서 "Combinatorial Identity"에서 결합론자 존 리오르단은 이런 종류의 기술을 광범위하게 사용했다.

현대 탯줄 미적분학

또 다른 콤비네이터인 지안칼로 로타(Gian-Carlo Rota)는 정의한 z의 다항식에 대한 선형 기능 L을 고려할 경우 미스터리가 사라진다고 지적했다.

${\displaystyle L(z^{n}=B_{n}(0)=B_{n}.}$

그러면 베르누이 다항식의 정의와 L의 정의와 선형성을 이용하여 글씨를 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\왼쪽(z+x)^{n}\오른쪽)\end{aigned}}}$

이렇게 하면 B ${\displaystyle n_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle B_{n}(x)}$의 $발생$을 L${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$+ ${\displaystyle x{}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle L(z+x)^{n$로 대체할 수 있다. 즉, n을 첨자에서 상위 첨자(${\displaystyle \mathrm{탯줄}}$ 미적분학의 키 작동)로 이동시킬 수 있다. 예를 들어, 이제 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\왼쪽(z+x+y)^{n}\오른쪽)\\&=B_{n}(x+y).\end{정렬}}}$

로타는 후에 이 주제에서 자주 일어나는 세 가지 동등성 관계를 구분하지 못해 많은 혼란이 발생했으며, 이 세 관계 모두 "="로 표시되었다고 말했다.

1964년에 발표된 논문에서 로타는 유한 집합의 파티션을 열거하는 벨 번호로 만족하는 재귀 공식을 확립하기 위해 탯줄 방법을 사용했다.

아래에 인용한 로마인과 로타 논문에서 탯줄 미적분은 변광성 x의 다항식 벡터 공간에 대한 선형함수의 대수로서 정의되는 탯줄 대수학의 연구로서 다음과 같이 정의된 선형함수의 제품 LL로₁₂ 특징지어진다.

${\displaystyle \left\langle L_{1}L_{2} x^{n}\right\langle =\sum _{k=0}^{n}{n \langle L_{1} x^{k}\right\langle L_{2} x^{n-k}\langle.$

다항식 시퀀스가 선형 매핑 L 아래에서 y의ⁿ 이미지로 숫자의 시퀀스를 대체할 때, 탯줄 방법은 로타의 특수 다항식 일반 이론의 필수적인 구성 요소로 보여지며, 그 이론은 용어의 좀 더 현대적인 정의에 의해 탯줄 미적분학이다.^[2] 그 이론의 작은 샘플은 이항식의 다항식 시퀀스에 관한 글에서 찾을 수 있다. 또 하나는 셰퍼 시퀀스라는 제목의 글이다.

로타는 후에 탯줄 미적분을 심 교수와의 논문에서 광범위하게 적용하여 적혈구의 다양한 결합 성질을 연구했다.^[3]

참고 항목

• 다항식 배열의 탯줄 구성
• 유한차이의 미적분학
• 피덕 다항식
• 불변 이론의 기호법

메모들

참조

• Bell, E. T. (1938), "The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 45 (7): 414–421, doi:10.1080/00029890.1938.11990829, ISSN 0002-9890, JSTOR 2304144
• Blissard, John (1861), "Theory of generic equations", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 4: 279–305
• Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978), "The umbral calculus", Advances in Mathematics, 27 (2): 95–188, doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7, ISSN 0001-8708, MR 0485417
• G.C. 로타, D. 카하너, A. Odlyzko, "Finite Operator Miculus," Journal of Mathematical Analysis and 그 적용, 제42권, 제3권 1973년 6월. 1975년 뉴욕 아카데믹 프레스라는 같은 제목의 책으로 다시 인쇄되었다.
• 2005년 도버에 의해 재인쇄되었다Roman, Steven (1984), The umbral calculus, Pure and Applied Mathematics, vol. 111, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR 0741185.
• Roman, S. (2001) [1994], "Umbral calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Umbral Calculus". MathWorld.
• A. Di Bucchianico, D. Loeb (2000). "A Selected Survey of Umbral Calculus" (PDF). Electronic Journal of Combinatorics. Dynamic Surveys. DS3. Archived from the original (PDF) on 2012-02-24.
• 로만, S. (1982년), 탯줄 미적분학 이론, I