회전계통

결합 수학에서 회전 시스템(결합 임베딩이라고도 함)은 각 꼭지점 주위의 그래프 가장자리의 원형 순서를 설명하여 그래프를 방향성 표면에 내장하는 것을 인코딩한다.회전 시스템의 보다 공식적인 정의는 한 쌍의 순열을 포함한다. 그러한 한 쌍은 표면에 다문, 표면, 그리고 2 셀을 내장하는 것을 결정하기에 충분하다.

모든 회전 체계는 밀폐된 지향 표면에 연결된 다중 글램을 내장하는 고유한 2-셀을 정의한다(방향-보존적 위상적 동등성까지).반대로, 밀폐된 방향의 표면에 연결된 다중그래프 G를 내장하는 것은 G를 기본 다중그래프로 갖는 고유한 회전 시스템을 정의한다.회전 시스템과 2-셀 임베딩 사이의 이러한 기본적인 동등성은 1890년대에^[1] 로타 헤프터에 의해 이중 형태로 처음 정착되었고 1950년대에 링겔에 의해 광범위하게 사용되었다.^[2]독립적으로, 에드몬드는 그 정리의^[3] 원시적인 형태를 주었고 그의 연구의 세부사항들은 영스에 의해 대중화되었다.^[4]다중 글자에 대한 일반화는 그로스와 앨퍼트에 의해 제시되었다.^[5]

회전 시스템은 레이놀드 외 연구진이 사용하는 회전 지도와 관련되지만 동일하지는 않다.(2002) 그래프의 지그재그 곱을 정의한다.회전 시스템은 각 정점 주위의 가장자리의 원형 순서를 지정하는 반면 회전 맵은 각 정점에서 가장자리의 (원형이 아닌) 순열을 지정한다.또한, 회전 시스템은 모든 그래프에 대해 정의될 수 있는 반면, Ringold 등이 정의하듯이 회전 맵은 일반 그래프로 제한된다.

형식 정의

형식적으로 회전계통은 쌍(σ, θ)으로 정의하는데, 여기서 σ과 θ은 동일한 지면 세트 B에 작용하는 순열이고, σ과 θ에 의해 생성된 그룹 <σ, θ>은 B에 대해 전이적으로 작용한다.

방향 표면에 연결된 다중글자 G를 내장한 2 셀로부터 회전 시스템을 도출하기 위해, B가 G의 다트(또는 깃발 또는 반에지)로 구성되도록 한다. 즉, G의 각 가장자리에 대해 우리는 가장자리의 각 끝점에 하나씩 B의 두 가지 요소를 형성한다.가장자리가 양쪽 끝점과 같은 정점을 가지고 있더라도, 우리는 그 가장자리에 대해 두 개의 다트를 만든다.우리는 θ(b)를 b와 같은 가장자리에서 형성된 다른 다트로 한다; 이것은 분명히 고정된 지점이 없는 비자발이다.우리는 ((b)를 b에서 입사된 가장자리의 주기적 순서에서 동일한 꼭지점까지 시계방향 위치에 있는 다트가 되게 한다. 여기서 "시계방향"은 표면의 방향에 의해 정의된다.

다중 글씨가 방향성이 있지만 방향성이 없는 표면에 삽입된 경우, 일반적으로 표면의 두 방향 각각에 하나씩 두 개의 회전 계통에 해당한다.이 두 회전계통은 동일한 비자발 θ을 가지지만, 한 회전계통에 대한 순열 σ은 다른 회전계통에 대한 해당 순열의 역순이다.

회전 시스템에서 임베딩 복구

회전계로부터 멀티그래프를 복구하기 위해 σ의 각 궤도에 대해 정점을 형성하고, orbit의 각 궤도에 대해 가장자리를 형성한다. 이 두 궤도가 비어 있지 않은 교차점을 가질 경우 정점은 가장자리와 충돌한다.따라서 꼭지점당 발병 횟수는 궤도의 크기, 가장자리당 발병 횟수는 정확히 2회다.회전계통이 연결된 다중그래프 G의 2셀 임베딩에서 파생된 경우, 회전계통에서 파생된 그래프는 G에 이형이다.

회전 시스템에서 파생된 그래프를 표면에 삽입하려면 σθ의 각 궤도에 대해 디스크를 형성하고, e에 해당하는 두 개의 다트가 이 디스크에 해당하는 두 개의 궤도에 속할 때마다 엣지를 따라 두 개의 디스크를 함께 접착시킨다.그 결과는 2셀에 파생된 다중 글램을 내장한 것으로, 그 중 2셀은 σθ의 궤도에 해당하는 원반이다.이 임베딩의 표면은 각 꼭지점 주위의 가장자리의 시계방향 순서가 σ에 의해 주어진 시계방향 순서와 같도록 방향을 지정할 수 있다.

임베딩 표면 특성화

오일러 공식에 따르면 회전계통${\displaystyle (}$ by, ${\displaystyle \theta }$)에 의해 정의된 닫힌 방향성 표면의 속 g를 추론할 수 있다$(\displaystyle,\sigma ,\theta )($즉, 밑의 다중 글자가 2-셀이 내장된 표면).^[6]$V{\displaystyle }$$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle Z}$ (${\displaystyle \sigma }$ ) $displaystyle V=$ Z $(\sigma )$${\displaystyle E}$ =${\displaystyle Z}$ ( ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle }${\$displaystyle$E= $Z$(\$theta )$},${\displaystyle }F{\displaystyle }$ =${\displaystyle Z}$ ( ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle )}$ )${\displaystyle }${\$displaystysty F$= $Z(\sigma$\sigma $\ta$ )$$}}}}.

${\displaystyle g=1-{\frac {1}{1}{1}:{2}}(V-E+F)=1-{\frac {1}{1}2}}(Z(\sigma ) + Z(\theta ) + Z(\sigma \theta )}}$

여기서 $Z{\displaystyle }$ (${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle$ Z$(\phi )}$은 순열 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 궤도 세트를 의미한다$.$

참고 항목

• 조합 지도

메모들

참조

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