룬지의 정리

복잡한 분석에서 룬지의 정리(런지의 근사 정리라고도 한다)는 1885년에 처음 그것을 증명했던 독일의 수학자 칼 룬지의 이름을 따서 명명되었다.다음과 같이 명시되어 있다.

C에 의해 복잡한 숫자의 집합을 나타냄으로써, K는 C의 콤팩트한 부분집합이 되게 하고 f는 K를 포함하는 오픈 세트에 홀로모픽이 되는 함수가 되게 한다.A가 C\K의 모든 경계 연결 구성요소로부터 적어도 하나의 복잡한 숫자를 포함하는 집합인 경우, K의 f에 균일하게 수렴되는 합리적인 함수의 순서$$$({\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}{}_{}{n}_{}}$${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$$∈$ $N$ {\$displaystyle$ ($r_{n}){n\in \mathb{N$}}}}}}}}이(가) 존재하며, 이러한 함수의 모든 극이 ${\displaystyle K_{}}$에 균일하게 수렴된다$.{\displaystyle }$$le (r_{n})_{n\in \mathb{N}}}}}}$은(는) A에 있다$$.

Note that not every complex number in A needs to be a pole of every rational function of the sequence ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. We merely know that for all members of ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ that do have poles, those poles lie in A.

이 정리를 그렇게 강력하게 만드는 한 가지 측면은 A 세트를 임의로 선택할 수 있다는 점이다.즉, C\K의 경계연결 구성요소로부터 어떤 복잡한 숫자도 선택할 수 있으며, 정리는 선택된 숫자 중에서만 극과 함께 일련의 합리적 기능의 존재를 보장한다.

C\K가 연결된 집합(특히 K가 단순하게 연결되었을 때)인 특수한 경우에 대해서는 정리상의 집합 A가 분명히 비어 있을 것이다.극이 없는 합리적 함수는 단순히 다항식이기 때문에 다음과 같은 코롤리알을 얻는다.K가 C\K가 연결된 집합이고, f가 K가 포함된 오픈 집합의 홀모픽 함수인 C의 콤팩트 서브셋이라면, K에 대해 f에 균일하게 접근하는$$ 다항식$({\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (p_{n})$의 순서가 존재한다(가정을 완화할 수 있다, Mergelyan의 정리를 참조).

룬지의 정리는 다음과 같이 일반화한다:A를 리만 구 C∪{∞}의 서브셋으로 가져갈 수 있으며, A가 K의 무한 연결 요소(현재 ∞이 포함되어 있다)도 교차하도록 요구할 수 있다.즉, 위에 주어진 제형에서 합리적인 함수는 무한대에 극을 갖는 것으로 판명될 수 있는 반면, 보다 일반적인 제형에서는 극을 C\K의 무한 연결 구성요소의 어느 곳에서도 선택할 수 있다.

증명

사라슨(1998년)에 제시된 기초적인 증거는 다음과 같이 진행된다.오픈 세트에는 닫힌 조각-선형 등고선 γ이 있으며, 내부에는 K가 포함되어 있다.Cauchy의 적분 공식에 의해

${\displaystyle f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over z-w}}$

K에 w를 위하여리만 근사 합계는 K에 대해 균일하게 등고선 적분 근사치를 구하는 데 사용될 수 있다.합계의 각 항은 등고선의 특정 점 z에 대한 (z - w)⁻¹의 스칼라 배수다.이것은 γ에 있는 극과 합리적인 함수에 의해 균일한 근사치를 제공한다.

이것을 K의 각 성분의 지정된 점에 있는 극과 근사치로 수정하려면, 형식(z - w)의 항에 대해 이것을 확인하는 것으로 충분하다.⁻¹z가₀ z와 동일한 성분의 점인 경우 z에서 z까지의₀ 조각-선형 경로를 취한다.경로상 두 지점이 충분히 가까운 경우, 첫 번째 지점에만 극이 있는 합리적 기능은 두 번째 지점에 대한 Laurent 시리즈로 확장할 수 있다.이 Laurent 시리즈는 K의 원래 기능에 균일하게 가까운 두 번째 지점에서만 합리적인 기능을 제공하기 위해 잘릴 수 있다.z에서 z까지의₀ 경로를 따라 단계별로 진행하는 것은 z에만₀ 폴이 있는 합리적인 기능을 부여하도록 원래의 함수(z - w)⁻¹를 연속적으로 수정할 수 있다.

z가₀ 무한대의 점이라면, 위의 절차에 의해 합리적 함수(z - w)⁻¹는 먼저 R > 0에서 극을 가진 합리적인 함수 g로 근사치를 구할 수 있다. 여기서 R은 너무 커서 K는 w < R에 놓여 있다.그런 다음 약 0의 Taylor 시리즈 확장을 잘라 K에 대한 다항식 근사치를 제공할 수 있다.

참고 항목

• 병합 정리
• 오카-윌 정리

참조

• Conway, John B. (1997), A Course in Functional Analysis (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-97245-5
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X
• Sarason, Donald (1998), Notes on complex function theory, Texts and Readings in Mathematics, vol. 5, Hindustan Book Agency, pp. 108–115, ISBN 81-85931-19-4

외부 링크

• "Runge theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]