사무엘슨의 부등식

통계에서,^[2][3] 경제학자 폴 새뮤얼슨의 이름을 ^[1]따서 라구에르-사뮤엘슨 불평등이라고도 불리는 새뮤얼슨의 불평등은 수학자 에드먼드 라구에르(Edmond Laguerere)의 이름을 따서 모든 수집₁ x, ..., x는_n 표본 평균의 nn - 1의 보정되지 않은 표본 표준 편차 내에 있다고 명시하고 있다.

부등식 성명

허락한다면

${\displaystyle {\overline{x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}}}$

표본의 평균이다

${\displaystyle s={\sqrt {{}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline{x}})^{2}}:$

그러면 표본의 표준 편차가 된다.

${\displaystyle {\x}-s{n-1}-{n-1}\leq-x_{j}\leq {\x}+s{\sqrt{n-1}\n-1}\qquad {\text{}{}j=1,\n.}$^[4]

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaystyle x_{j$$}$를 제외한 모든 n - 1 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 서로$$ 동일하고 $x{\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ . ${\displaystyle x_${$j$$}$보다 더 큰(더 작은)인 경우에만 x j ${\$displaystystyle x_{$j$$}$에 대한 동등성은 왼쪽(또는 오른쪽)에 유지된다.$}$^[2]

If you instead define ${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$ then the inequality becomes ${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n}}\leq x_{j}\leq {\o$$verline{x}+s{\sqrt{n}}\qquad{\text{{}} for }j=1,\reason,n.}$

체비셰프의 불평등과 비교

체비셰프의 불평등은 일정 범위 내에서 데이터의 일정 부분을 차지하고, 사무엘슨의 불평등은 일정 범위 내에서 모든 데이터 지점을 찾는다.

체비셰프의 불평등에 의해 주어진 한계는 데이터 포인트의 수에 영향을 받지 않는 반면, 새뮤얼슨의 불평등의 경우 표본 크기가 증가함에 따라 한계는 느슨해진다. 따라서 충분한 양의 데이터 집합에 대해서는 Chebychev의 불평등이 더 유용하다.

적용들

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다.(2017년 7월)

새뮤얼슨의 불평등은 잔차의 학생화가 외부적으로 이뤄져야 하는 이유로 여겨질 수 있다.

다항식과의 관계

사무엘슨이 이 관계를 처음 설명한 것은 아니었다. 첫 번째는 다항식의 뿌리(제로)를 조사하면서 1880년에 아마 라구에르였을 것이다.^[2][5]

모든 루트가 실제인 다항식을 고려하십시오.

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$

일반성을 잃지 않고 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{0}=1$}을$($를) 허용하고 그대로 두십시오.

${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \sum }$ x ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $t$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}

그러면

${\displaystyle a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}:{1}$

그리고

${\displaystyle a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{1}^{2}-t_{2}}:\qquad {\text{where }i}$

계수의 측면에서

${\displaystyle t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

라귀에르는 이 다항식의 뿌리가 에 의해 경계가 되어 있다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle -a_{1}/n\pm b{\sqrt{n-1}}$

어디에

${\displaystyle b={\frac {nt_{2}-t_{1}^{1}:{n2}}:{n}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{1}a}-{1}^{2}-2na_}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

검사 결과 -${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\$ {$a_{1$}:{$n}}}$은(는) 뿌리의 평균이고 b는 뿌리의 표준 편차인 것으로 나타났다.

라귀에르는 한계 자체에 더 관심을 가지면서 뿌리의 평균과 표준 편차와의 관계를 알아차리지 못했다. 이 관계는 뿌리의 한계에 대한 빠른 추정을 허용하며, 그 위치에서 사용될 수도 있다.

${\displaystyle {계수\mathrm{}}_{}}$ $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}와 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}개 모두$$ 0이면$$ 모든 뿌리가 (데카르트의 기호 규칙에서 볼 수 있듯이) 진짜가 아니기 때문에 뿌리의 위치에 대한 정보를 얻을 수 없다.

참조