슈바르츠 함수

복잡한 평면에서 곡선의 슈바르츠 함수는 곡선의 점을 복잡한 결합체에 매핑하는 분석 함수다.슈바르츠 반사 원리를 실제 축을 가로지르는 것이 아니라 임의의 분석 곡선에 걸쳐 반사하는 것으로 일반화하는 데 사용할 수 있다.

슈바르츠 함수는 분석 곡선에 대해 존재한다.More precisely, for every non-singular, analytic Jordan arc ${\displaystyle \Gamma }$ in the complex plane, there is an open neighborhood ${\displaystyle \Omega }$ of ${\displaystyle \Gamma }$ and a unique analytic function ${\displaystyle S}$ on ${\displaystyle \Omega }$ such that ${\$\$Gamma$ $\}$^[1]의 $모든$ z에 대해 displaystyle S$($$z)={\$$overline{$$z}}.$

"슈워즈 함수"는 1870년 분석곡선을 위해 슈바르츠 반사 원리를 도입한 ^[2][3]헤르만 슈바르츠를 기리기 위해 필립 J. 데이비스와 헨리 O. 폴락(1958)이 이름 지었다.^[4]그러나 슈바르츠의 작품에는 슈바르츠 기능이 명시적으로 등장하지 않는다.^[5]

예

단위 원은 방정식 ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$z$^{2}=1$}$$또는 $z$의${\displaystyle \stackrel{}{}}$=${\displaystyle }$1 /${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\z}=1/z$로 설명되므로 단위 원의 슈바르츠 함수는 S(${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle z}$ ${\displaysty$ S$(z)=1/z$ 입니다$.$

더 복잡한 예로는${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$/${\displaystyle {}^{}a}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$+ (${\displaystyle y}$ /${\displaystyle {}^{}b}$ )${\displaystyle {}^{}2}$ = 1 ${\$디스플레이 $스타일 (x/a)^{2}+(y/b)^{2}=$1}에 의해 정의된 타원형이다$.$The Schwarz function can be found by substituting ${\displaystyle \textstyle x={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$ and ${\displaystyle \textstyle y={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$ and solving for ${\displaystyle {\overline {z}}}$.결과는 다음과 같다.^[6]

${\displaystyle S(z)={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}\left((a^{2}+b^{2})z-2ab{\sqrt {z^{2}+b^{2}-a^{2}}}\right)}$.

이는 복합 평면에서 두 지점 $\pm {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ -${\displaystyle \sqrt{{}^{}{}^{}}}$ 2 {\$displaystyle \pm${\$sqrt{a^{2$}-$b^{$2$\}\}:$ .

참조

• Davis, Philip J. (1974). The Schwarz function and its applications. Carus Monographs 17. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-883-85017-6. OCLC 912405492.
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.
• Shapiro, Harold S. (1992-03-18). The Schwarz Function and Its Generalization to Higher Dimensions. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-57127-8. OCLC 924755133.

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