스콧 도메인

이 글에는 출처가 없다 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "스콧 도메인" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR(2009년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

질서와 도메인 이론의 수학적 분야에서 스콧 도메인은 대수학적으로 경계-완전한 cpo이다.그들은 다나 S를 기리기 위해 이름 지어졌다. 도메인 이론의 출현에 처음으로 이러한 구조를 연구한 스콧.Scott 도메인은 대수 격자와 매우 밀접하게 연관되어 있으며, 가장 큰 요소가 결여되어 있을 때만 다르다.그것들은 또한 스콧 도메인의 "합성적인" 표현을 구성하는 스콧 정보 시스템과 밀접하게 관련되어 있다.

Scott domain이라는 용어는 위의 정의와 함께 널리 사용되고 있지만, "domain"이라는 용어는 일반적으로 받아들여지는 의미를 가지고 있지 않으며 다른 작가들은 다른 정의를 사용할 것이다; Scott 자신은 현재 "Scott domains"라고 불리는 구조에 대해 "domain"을 사용했다.또한, 스콧 도메인은 일부 출판물에서 "알제브라틱 세미라티스"와 같은 다른 이름으로 나타난다.

원래 다나 스콧은 완전한 격자를 요구했고, 러시아 수학자 유리 예르쇼프는 cpo의 이형 구조를 구축했다.그러나 이것은 철의 장막이 함락된 후 과학 통신이 개선된 후에야 인정되었다.그들의 연구를 기리기 위해, 많은 수학 논문들이 이제 이 근본적인 구조를 "스콧-에르쇼프" 영역으로 더빙하고 있다.

정의

형식적으로 다음과 같은 경우 부분적으로 주문되지 않은 세트(D, ≤)를 Scott 도메인이라고 한다.

• D는 완전한 방향이다. 즉, D의 모든 지시된 하위 집합은 우월성을 가지고 있다.
• D는 경계 완료, 즉 어느 정도 상한선을 가진 D의 모든 하위 집합은 우월성을 갖는다.
• D는 대수학이다. 즉, D의 모든 요소는 D의 지시된 콤팩트 요소 집합의 우월성으로 얻을 수 있다.

특성.

빈 세트는 확실히 어느 정도 상한선을 가지고 있기 때문에, 경계된 완전성으로부터 최소한의 요소 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot }($빈 세트의 우월성)의 존재를 결론 지을 수 있다.

경계가 완료된 속성은 D의 모든 비빈 하위 집합의 infima 존재와 동등하다.모든 이피마의 존재는 모든 우월자의 존재를 함축하고 따라서 부분적으로 주문된 세트를 완전한 격자로 만든다는 것은 잘 알려져 있다.따라서 상단 요소(빈 집합의 최소치)가 Scott 도메인에 연결되었을 때 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

1. 새 상단 요소가 콤팩트함(이전에 주문이 완료되었으므로)
2. 결과 집합은 대수 격자(즉, 대수 격자)가 될 것이다.

결과적으로, 스콧 도메인은 어떤 의미에서 "대부분" 대수 격자로 되어 있다.단, 완전한 격자에서 상단 요소를 제거한다고 해서 항상 Scott 도메인이 생성되는 것은 아니다.(완전한 $격자{\displaystyle \mathcal{}}$ P${\displaystyle }$( $){\displaystyle${\$mathcal {P}(\mathb$ {$N}$ )}을$($를) 고려하십시오$.$$N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 유한 부분 집합은 지시된 집합을 형성하지만$$, $P{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \setminus }${$}{\displaystyle {\mathcal {P}(\mathb {N})\setminus \{\mathb {N}$\}}}}}에 상한이 없다.$$

스콧 도메인은 스콧 토폴로지를 도입함으로써 위상학적 공간이 된다.

설명

Scott 도메인은 정보 콘텐츠에 의해 정렬된 부분 대수 데이터를 나타내기 위한 것이다.요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in D}$은(는) 완전히 정의되지 않을 수 있는 데이터 조각이다.${\displaystyle x}$ x ${\displaystyle \le }$ y ${\displaystyle x\leq$ y$}$ 문장은 "${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$이(가) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 수행하는$$ 모든 정보를 포함함$$"을 의미한다$$.

이 해석으로 우리는 부분 집합 ${\displaystyle X}$의${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{suprem}}$ X${\displaystyle \$$bigvee X}$이(가) X ${\displaystyle X}$의 모든 요소가 포함하지만$$ 더 이상 포함되지 않는 요소임을 알 수 있다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 일관되지 않은 정보를 포함하지$$ 않는 경우 그러한 우월성은 분명히 존재할 뿐이며, 따라서 도메인은 지시되고 경계가 완전하지만 모든 우월성이 반드시 존재하는 것은 아니다.대수 공리는 기본적으로 모든 원소가 (비강제적으로) 순서에서 더 낮은 순서에서 모든 정보를 얻도록 보장한다. 특히, 콤팩트 또는 "완료"에서 비 컴팩트 또는 "무한" 원소로의 점프는 어떤 유한 단계에서 도달할 수 없는 추가 정보를 은밀히 도입하지 않는다.맨 아래 요소는 빈 집합의 우월성, 즉 정보가 전혀 들어 있지 않은 요소로서, 그 존재는 경계된 완전성에 의해 암시된다. 빈 집합은 비어 있지 않은 모든 포지션에 상한을 가지고 있기 때문이다.

한편, ${\displaystyle \mathrm{최소}}$ $\bigwedge {\displaystyle }$ X ${\displaystyle \bigwedge X}$은$($는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 요소가 공유하는 모든 정보를 포함하는 요소다.$만약{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$이(가) 일관된 정보를 포함하지 않는다면, 그 요소들은 공통적인 정보를 가지고 있지 않으며 따라서 그 최소치는 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot$}이다$.$ 이러한 방식으로 모든 비 빈 infima가 존재하지만, 모든 infima가 반드시 흥미로운 것은 아니다.

부분 데이터의 측면에서 이 정의는 대수학을 점점 더 정의되는 부분 알헤브라의 수열의 한계로 정의하도록 허용한다. 즉, 대수에 점진적으로 더 많은 정보를 추가하는 연산자의 고정점이다.자세한 내용은 도메인 이론을 참조하십시오.

예

• 모든 유한양행은 완전하고 대수적으로 지시된다.따라서 모든 경계-완전한 유한양행은 소상하게 스콧 도메인이다.
• 상위 원소 Ω이 추가된 자연수는 대수 격자를 구성하며, 따라서 스콧 도메인이다.이 방향의 자세한 예는 대수 격자에 대한 기사를 참조하십시오.
• 단어들에 대한 접두어 순서에 의해 정렬된 {0,1} 알파벳 위에 모든 유한하고 무한한 단어들의 집합을 고려하라.따라서 w가 v의 접두어인 경우, 즉 w' = v'와 같은 (완료 또는 무한) 단어 v'가 있는 경우 w는 어떤 단어 v보다 작다. 예를 들어 101 ≤ 10110.빈말은 이 주문의 밑바닥 요소로서, 모든 지시된 집합(항상 체인)이 우월한 것을 쉽게 볼 수 있다.마찬가지로 경계된 완전성을 즉시 검증한다.그러나 결과적인 양셋은 그 대신에 많은 최대 요소가 있는 상단을 확실히 놓치고 있다. (111처럼...또는 000...).그것은 또한 대수학인데, 왜냐하면 모든 유한한 단어들은 압축적이고 우리는 분명히 유한한 단어들의 사슬에 의해 무한의 단어들을 대략적으로 맞출 수 있기 때문이다.그러므로 이것은 스콧 도메인인데 대수 격자가 아니다.
• 음의 예에서는 자연 순서에 따라 정렬된 단위 간격[0,1]의 실제 숫자를 고려하십시오.이 경계가 있는 완전한 cpo는 대수학이 아니다.사실 그것의 유일한 콤팩트 원소는 0이다.

문학

도메인 이론에 대해 제공된 문헌을 참조하십시오.