관련이 없어 보이는 퇴행

계량 경제학에서 얼핏으로 회귀(SUR)[1]:306[2]:279[3]:332이나 얼핏 회귀 등식들은 여러개의 회귀 방정식, 그 자신의 종속 변수 및 잠재적으로diffe는 것으로 구성된 선형 회귀 모델의 2모델, 아놀드 Zellner에 의해(1962년)에 제안한 일반화한 것이다(SURE)[4][5].외인성 설명 va.의 임대료 세트떠들썩한 소리각 방정식은 그 자체로 유효한 선형 회귀로서 별도로 추정할 수 있는데, 일부 저자는 오차항이 방정식 전체에 걸쳐 상관관계가 있다고 가정하기 때문에 관련성이 없어 보이는 용어가 더 적합할 것이라고 제안하지만,^[3]^{: 332} 이 시스템을 관련성이 없어 보이는 것으로 부르는 이유가 된다.^[1]^{: 306}

이 모델은 표준 최소 제곱법을 사용하여 등식별로 추정할 수 있다.그러한 추정치는 일관되지만 일반적으로 분산-공분산 행렬의 특정 형태를 갖는 실현 가능한 일반화된 최소 제곱에 해당하는 SUR 방법만큼 효율적이지 않다.사실 SUR이 사실상 OLS와 동등한 두 가지 중요한 경우는 오차항이 실제로 방정식들 사이에 상관관계가 없는 경우(따라서 정말로 관련이 없는 경우)와 각 방정식이 우측에 정확히 동일한 리제스터 집합을 포함하는 경우다.

SUR 모델은 $\mathrm {B}$ B {\ $displaystyle \mathrm$ {B $}$ 의 특정 계수가 0으로 $\mathrm {B}$ 제한되는 일반 선형 모델의 단순화 또는 우측의 리제스터가 각 방정식에서 서로 다를 수 있는 일반 선형 모델의 일반화로 볼 수 있다.SUR 모델은 동시 방정식 모델로 더욱 일반화될 수 있으며, 여기서 우측 리제어도 내생 변수가 될 수 있다.

모델

m 회귀 방정식이 있다고 가정합시다.

y_{ir}=x_{ir}^{\mathsf{T}\;\\\beta_{i}+\varepsilon_{ir}}\quad i=1,\ldots,m.

여기서 i는 방정식 번호인 r = 1, …, R은 개별 관측치로서 $x_{ir}$ i $x_{ir}$ ${\$ 열 벡터의 $x_{ir}$ 전치(transpose)를 취하고 있다.관측치 R의 수는 큰 것으로 가정하여, 분석에서 R → $\infty$ $\infort$ 을(를) 취하지만, 방정식 m의 수는 고정되어 있다 $\infty$

각 방정식 i는 단일 반응 변수 y와_ir regressor x의_ir k차원_i 벡터를 가지고 있다. i번째 방정식에 해당하는 관측치를 R차원 벡터와 행렬로 쌓으면 모델은 벡터 형태로 작성될 수 있다.

y_{i}=X_{i}\베타 _{i}+\varepsilon _{i}\quad i=1,\ldots,m,

여기서 y와_i ε은_i R×1 벡터, X는_i R×k_i 매트릭스, β는_i_i k×1 벡터다.

마지막으로 이 m 벡터 방정식들을 서로 위로 쌓아 올리면, 시스템은 형태를 취할 것이다.

{\displaystyle{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X_{1}&, 0&, \ldots &, 0\\0&, X_{2}&, \ldots, 0\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\0& &, 0&, \ldots &, X_{m}\end{pmatrix}}_{1}\\\beta _{2}\\\vdots(_{m}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\v{\begin{pmatrix}\beta.arepsilon _{2}\\\vdots\\\varepsilon _{m}\end{시atrix}=X\베타 +\varepsilon \,}

(1)

모형의 가정은 오차항 ε은_ir 관측치에 걸쳐 독립적이지만 관측치 내에서 교차 등분 상관관계를 가질 수 있다는 것이다.따라서 우리는 E[ ε_ir ε_is X ] = r ≠s마다 0이 된다고 가정하고, E[ ε_ir ε_jr X ] = σ_ij. σ. σ을 나타내는_ij ] = [ observation] 각 관측치의 m×m 스키다스틱성 행렬, 누적 오차항 error의 공분산 행렬은 다음과 같을 것이다.

\Oomega \equiv \operatorname {E}[\,\varepsilon \varepsilon ^{\mathsf{T}\, X\,]=\Sigma \otime I_{R}}}

여기서 나는_R R차원 아이덴티티 매트릭스이고 ⊗은 매트릭스 크로네커 제품을 나타낸다.

추정

SUR 모델은 일반적으로 실현 가능한 일반화 최소 제곱법(FGLS)을 사용하여 추정한다.이는 첫 번째 단계에서 (1)에 대해 일반적인 최소 제곱법을 실행하는 2단계 방법이다.이 회귀 분석의 잔차는 행렬 $\Sigma$ $\Sigma$ 의 요소를 추정하는 데 사용된다 $\Sigma$ ^[6]^{: 198}

{\hat {\sigma }}_{ij}={\frac {1}{1}{R}\\\hatsf{T}{\mathsf{\barepsilon }}}}}{\hat {\barepsilon}}}}}.

두 번째 단계에서는 분산 행렬 $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ = $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ ${\$ {\\ $Sigma$ }\,\ $otimes \,I_{$ R $\scriptstyle {\hat {\Omega }}\;=\;{\hat {\Sigma }}\,\otimes \,I_{R}$ :을 사용하여 (1)에 대한 일반화 최소 제곱법을 실행한다.

{\hat {\beta }}={\Big (}X^{\mathsf {T}}({\hat {\Sigma }}^{-1}\otimes I_{R})X{\Big )}^{\!-1}X^{\mathsf {T}}({\hat {\Sigma }}^{-1}\otimes I_{R})\,y.

이 추정기는 오차항 ε이_ir 대칭 분포를 갖는다고 가정하는 작은 표본에서 편향되지 않으며, 큰 표본에서는 분포가^[6]^{: 198} 제한되어 일관되고 점증적으로 정규 분포를 따른다.

{\sqrt {R}}({\hat {\beta }}-\beta )\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\Big (}\,0,\;{\Big (}{\tfrac {1}{R}}X^{\mathsf {T}}(\Sigma ^{-1}\otimes I_{R})X{\Big )}^{\!-1}\,{\Big )}.

FGLS 주변의 다른 평가 기법 SUR 모델:가정은 오류가 정상적으로 분포되어 있는 받는 최대 가능성(맥스)법[7];는 반복(IGLS), FGLS의 두번째 단계부터 나머지 매트릭스Σ ^{\displaystyle \scriptstyle를 다시 계산하는데 사용된다 최소 이승을 싸잡아 제안되었다. {\h ${\Sigma$ $\scriptstyle {\hat {\Sigma }}$ 에서 $\scriptstyle {\hat {\beta }}$ ^ ${\$ }}을(를) 다시 $\scriptstyle {\hat {\beta }}$ GLS를 사용하여 추정하십시오. 여기서 추정은 등식별로 수행되지만 모든 방정식은 전방의 잔차를 추가 회귀 분석으로 포함함ously 추정 방정식은 교차 변수의 상관관계를 설명하기 위해 수렴이 달성될 때까지 반복적으로 추정을 실행한다.켄타와 길버트(1968년)는 몬테카를로 연구를 운영했고 세 가지 방법 모두:ICLS, IOLLS 및 ML—숫자로 동등한 결과를 얻었으며, 그들은 또한 이러한 추정기의 점증적 분포가 FGLS 추정기의 분포와 동일하지만, 작은 표본에서는 어느 추정기도 다른 추정기보다 우수하지 않다는 것을 발견했다.^[8]젤너와 안도(2010년)는 SUR 모델의 베이시안 분석을 위해 몬테카를로 직접법을 개발했다.^[9]

OLS에 대한 동등성

SUR 추정치가 등식별 OLS와 동등한 것으로 판명되는 두 가지 중요한 경우가 있다.이러한 경우는 다음과 같다.

행렬 σ이 대각선인 것으로 알려진 경우, 즉 오차항 사이에 교차등분 상관관계가 없다.이 경우 시스템은 겉보기에는 무관하게 되고 실제로는 무관하게 된다.
각 방정식이 정확하게 동일한 역률 세트를 포함하는 경우, 즉 X₁₂ = X = … = X이다_m.추정기가 OLS 추정치와 숫자로 동일하다는 것은 크러스칼의 트리 정리로부터 따르며,^[1]^{: 313} 또는 직접 계산을 통해 알 수 있다.^[6]^{: 197}

통계 패키지

R에서 SUR는 "시스템핏"^[10]^[11]^[12]^[13] 패키지를 사용하여 추정할 수 있다.
SAS의 경우 SUR은 다음을 사용하여 추정할 수 있다.syslin절차^[14]
Stata에서 SUR은 다음을 사용하여 추정할 수 있다.sureg그리고suest명령어^[15]^[16]^[17]
Limdep에서 SUR은 다음 항목을 사용하여 추정할 수 있다.sure명령하다
Python에서는 명령을 사용하여 SUR을 추정할 수 있다.SUR"선형 모델" 패키지로.^[19]
gretl에서는 SUR을 다음과 같이 추정할 수 있다.system명령하다

참고 항목

참조

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추가 읽기

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Fiebig, Denzil G. (2001). "Seemingly Unrelated Regression". In Baltagi, Badi H. (ed.). A Companion to Theoretical Econometrics. Oxford: Blackwell. pp. 101–121. ISBN 978-0-631-21254-6.
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