세이델 알고리즘

세이델의 알고리즘은 Raimund Seidel이 1992년에 간접적이고, 가중치가 없고, 연결된 그래프의 올페어-가장 짧은 경로 문제를 위해 고안한 알고리즘이다.^[1]그것은(Vω 로그 ⁡ V)은 복잡성에 2.373{\displaystyle \omega<>2.373}은 지수 On×n{\displaystyle n\times의 스녀}의(nω){O(n^{\omega})\displaystyle}O의 문제 V{V\displaystyle}vertices,ω<>를 그래프{O(V^{\omega}\log V)\displaystyle}예정 시간을 해결하고 있다. matrix 곱하기각 꼭지점 쌍 사이의 거리만 찾으면 최악의 경우 동일한 시간 경계를 달성할 수 있다.알고리즘이 연결된 그래프에 대해 설계되어 있더라도 전체적으로 동일한 실행 시간을 가진 그래프의 각 연결된 구성요소에 개별적으로 적용할 수 있다.경로 계산에 대해 위에 주어진 예상 실행 시간에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 예외가 있다: $\Omega {\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle \omega =2}$인 경우, 예상 실행 $시간$은${\displaystyle }$O (${\displaystyle {V\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {log\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$ $){\displaystyle O(V^{2}\log ^{2}V)}$가 된다$.$

구현 상세 내역

알고리즘의 핵심은 정점 쌍 사이의 최단 경로 길이를 계산하는 절차다.최악의 경우 $O{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ V${\displaystyle }$) ${\displaystyle O(V^{\\omega$}\$log$ V$)}$번으로$$ 수행할 수 있다.일단 길이 재계산한다의 경로ω 을의 예상 마감 시간은 O(Vω 로그 ⁡ V){O(V^{\omega}\log V)\displaystyle}은 라스 베이거스 알고리즘, ω 2{\displaystyle \omega>2}그리고 O(V 2로그 2⁡ V){O(V^{2}\log^{2}V)\displaystyle})2{\displaystyle \omega를 사용해 재건축할 수 있다.=2}$$.

최단 경로 길이 계산

아래의 Python 코드는 입력 그래프가 대각선에 0이 있는$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ $0$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{}}$$}$- 1 ${\displaystyle 1}$ 인접$$ $행렬{\displaystyle }$ A ${\\displaystyle A}$로 주어진다고 가정한다.$Di{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ 항목이$$ 포함된 행렬을 반환하는 APD 함수를 정의하여, ${\displaystyle {Di,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 $정점{\displaystyle }$ i ${\displaystyle$ $i$$}$와 $j$ ${\displaysty$ j$}$ 사이의 최단 경로의 길이입니다$.$사용되는 매트릭스 클래스는 곱하기, 지수화 및 인덱싱 연산자(예: numpy.matrix)를 지원하는 매트릭스 클래스 구현일 수 있다.

반항하다 apd(A, n: 인트로):     """최단 경로 길이를 계산하십시오."""     만일 전부(A[i][j] 을 위해 i 에 범위(n) 을 위해 j 에 범위(n) 만일 i != j):         돌아오다 A     Z = A ** 2     B = 매트릭스([         [1 만일 i != j 그리고 (A[i][j] == 1 또는 Z[i][j] > 0) 다른 0 을 위해 j 에 범위(n)]     을 위해 i 에 범위(n)])     T = apd(B, n)     X = T*A     정도 = [합계를 내다(A[i][j] 을 위해 j 에 범위(n)) 을 위해 i 에 범위(n)]     D = 매트릭스([         [2 * T[i][j] 만일 X[i][j] >= T[i][j] * 정도[j] 다른 2 * T[i][j] - 1 을 위해 j 에 범위(n)]     을 위해 i 에 범위(n)])     돌아오다 D 

기본 케이스는 입력 인접 행렬이 전체 그래프를 설명하는지 여부를 테스트하며, 이 경우 모든 최단 경로에 길이 $[\displaystyle 1}$이(가) 있다$.$

유한한 우주에서 온 가중치가 있는 그래프

유한 우주${\displaystyle }${${\displaystyle 1,}$… ,${\displaystyle M}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \infty \}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,M,+\inful \}$의 가중치를 갖는 비방향 및 지시 그래프의 알고리즘도$$ 존재한다.지시 사례에 대해 가장 잘 알려진 알고리즘은 $1998년{\displaystyle \stackrel{}{}}$ Zwick의 시간$$ O${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( M ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 4^{}}$- ${\displaystyle {\Omega }^{}}$) V ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/${\displaystyle {}^{}}$( 4${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ )${\displaystyle {\tilde{O}}(M^{1/(4-\omega)}V^{2+1/(4-\omega$)}이다$.$^[2]이 알고리즘은 제곱 행렬 곱셈 대신 직사각형 행렬 곱셈을 사용한다.다중 제곱 행렬 곱셈을 통해 직사각형 곱셈을 달성하는 대신 사용 가능한 최고의 직사각형 행렬 곱셈 알고리즘을 사용하면 더 나은 상한을 얻을 수 있다.비방향 사례에 대해 가장 잘 알려진 알고리즘은 1999년 쇼산(Shoshan)과 Zwick(Zwick)의$$ 시간 $O{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle (M}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ )${\displaystyle {\tilde{O}}($MV$^{\omega })$이다.^[3]이 알고리즘의 원래 구현이 잘못돼 2016년 에이리나키스, 윌리엄슨, 수브라마니 등이 수정했다.^[4]

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