밸런스 설정

수학에서 집합 균형 문제는 집합을 거의 동일한 특성을 가진 두 개의 하위 집합으로 나누는 문제입니다.그것은 실험 ^[1]^{: 71–72}설계에서 자연스럽게 발생한다.

피험자 그룹이 있습니다.각 주제에는 이진법으로 간주되는 몇 가지 특징이 있습니다.예를 들어, 각 피험자는 젊거나 늙거나, 흑백이거나, 키가 크거나, 키가 작거나 등입니다.목표는 피험자를 치료 그룹(T)과 대조군 그룹(C)의 두 하위 그룹으로 나누는 것이다. 각 특징에 대해 T에서 이 특징을 가진 피험자의 수가 C에서 이 특징을 가진 피험자의 수와 거의 동일하도록 하는 것이다. 예를 들어, 두 그룹 모두 대략적으로 같은 수의 젊은이와 같은 수의 흑인을 가져야 한다.e, 같은 수의 키 큰 사람 등

행렬 표현

설정 밸런싱의 문제는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

$\displaystyle$ m은 $m$ 일반 모집단의 피험자 수입니다.

$\displaystyle$ n은 $n$ 잠재적인 기능의 수입니다.

피사체는 0 ${0,1}$ $({$ 1 ${0,1}$ ${0,1}$ 가 $n\times m$ n × $({displaystyle n\times$ m $)$ 매트릭스인 $n\times m$ A $(\displaystyle$ A $A$ 로 설명됩니다. 각 열은 피사체를 나타내고 각 행은 피사체를 나타냅니다. $subject$ j가 $feature$ i $(\$ $displaystyle$ j $)$ 인 $j$ 경우 $a_{i,$ $a_{i,j}=1$ } $=$ $1$ $).$ $ystyle$ i $i$ 및 $a_{i,j}=0$ $a_{i,j}=0$ $=$ {\ $displaystyle a_{i,j$ }= $0$ $대상$ j ${\displaystyle$ j $}$ 에 $j$ $feature$ i {\ $displaystyle$ i $i$ 가 없는 경우).

그룹 분할은 b{\ $displaystyle$ b $b$ ${-1,1}$ $m\times 1$ × $m\times 1$ ${-1,1}$ {\ $displaystyle$ m $\$ $times$ 1 $}$ ${-1,1}$ 벡터에 $m\times 1$ $의해$ 설명되며, $j$ 가 치료 그룹 $b_{j}=-1$ 에 $있고$ b $=$ 1 $j$ $b_{j}=-1$ {displaystyle $b_{j$ }인 $경우$ $b_{j}=-1$ $=$ $b_{j}=-1$ { $displaystyle b_{j$ }=1 $}$ 입니다 $b_{j}=1$ $b_{j}=-1$ . $\displaystyle$ j는 컨트롤 $j$ 그룹 C에 있습니다.

기능의 균형은 c $c=A\cdot b$ $c=A\cdot b$ $c=A\cdot b$ { $displaystyle$ c $=A\cdot$ b $c=A\cdot b$ 로 설명합니다. $n\times 1$ 은 n $n\times 1$ x $n\times 1$ $벡터입니다$ 특집에서 나는 함께 나는 T에서 만약 내 < c{\displaystyle 나는}만약 내입니다. c;0{\displaystyle c_{나는}>. 0}일 경우 그 다음에는 더 많은 과목은{\displaystyle 나는}c의 나는}{\displaystyle c_{나는}그 숫자 값이 불균형;0{\displaystyle c_{나는}<. 0}일 경우 그 다음에는 나는{\displaystyle과 더 많은 화제들이 있다. 나는}C에

지정된 파티션의 불균형은 다음과 같이 정의됩니다.

I(b)= A\cdot b_{\infty}=\max_{i\in 1\display,n} c_{i

세트 밸런싱의 문제는 $I(b)$ I $)$ 를 최소화하는 $b$ $벡터$ b(\displaystyle I(b)를 $I(b)$ 찾는 $것$ 입니다 $I(b)$

랜덤화 알고리즘

대략적인 해법은 다음과 같은 매우 간단한 랜덤화 알고리즘을 사용하여 찾을 수 있습니다.

각 피험자를 1/2 확률로 치료 그룹에 보냅니다.

행렬 공식에서:

{

1,-1}의 각 값에 1/2 확률로 b의

요소를

랜덤으로 선택합니다.

놀랍게도 이 알고리즘은 $매트릭스$ A $(\displaystyle$ A $A$ 를 완전히 무시하지만 피쳐가 많을 경우 작은 불균형을 실현합니다.형식적으로 랜덤 $b$ 의 $경우:$

\displaystyle Prob\left[I(b)\geq {4m\ln n}\right]\leq {frac {2}{n}}

실증:

$(\$ }) $i$ 를 $k_{i}$ 특징 i $($ $i$ 하게 $행렬 A$ 의 i $(\$ i $)$ $A$ 의 $i$ 피사체 수)로 $k_{i}$ .다음 두 가지 경우를 고려합니다.

간단한 경우: $k_{i}\leq {\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}\leq {\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}\leq {\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}\leq {\sqrt {4m\ln n}}$ ln $k_{i}\leq {\sqrt {4m\ln n}}$ n \ $displaystyle$ $k$ _ ${$ $i$ $c_{i}$ } $k_{i}\leq {\sqrt {4m\ln n}}$ $leq then$ , easy, easy,,,,,,,,,,,,, {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1일 경우 $기능i$ $($ $ci$ $)$ 의 불균형은 최대 ${\sqrt {4m\ln n}}$ $ml$ ( $ci$ 로 $c_{i}$ 되어 있음)가 됩니다 ${\sqrt {4m\ln n}}$

하드 케이스: $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ i $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ > $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ $k_{i}>{\sqrt {4m\ln n}}$ {\ $displaystyle$ $k_{$ i} $j$ > {\ $displayrt$ ${4$ m $\ln$ n $}$ $}$ . j마다 $X_{j}=a_{i,j}b_{j}$ $X_{j}=a_{i,j}b_{j}$ } = $a_{i,j} b_{j$ 。 각 변수 $X_{j}$ j { $styledisplaystyle$ X_j $}$ 는 $X_{j}$ 랜덤입니다. $feature$ i {\ $displaystyle$ i $}$ 의 $i$ 불균형: $c_{i}=\sum _{j=1}^{m}{X_{j}}$ = $X_{j}$ {\ $c_{i}=\sum _{j=1}^{m}{X_{j}}$ $c_{i}=\sum _{j=1}^{m}{X_{j}}$ $c_{i}=\sum _{j=1}^{m}{X_{j}}$ X $c_{i}=\sum _{j=1}^{m}{X_{j}}$ { $style c_{i} =$ \ $sum$ _ { $j=1$ } { $x_{$ $j}$ $c_{i}=\sum _{j=1}^{m}{X_{j}}$ 。 $X_{j}$ $j$ 는 $X_{j}$ 체르노프로부터 독립된 랜덤 변수이며, $a>0$ > $0 style$ a : 0 style : 0 $a>0$ > style : 0 > style : 0 $a>0$ $style$ : 0 $a>0$ >

\displaystyle Prob\left [ c_{i} \geq a\right]\leq 2\exp(-a^{2}/2m)}

$a={\sqrt {4m\ln n}}$ $a={\sqrt {4m\ln n}}$ $a={\sqrt {4m\ln n}}$ $a={\sqrt {4m\ln n}}$ $a={\sqrt {4m\ln n}}$ $a={\sqrt {4m\ln n}}$ { $displaystyle$ a = $rt rt$ { 4 $a={\sqrt {4m\ln n}}$ m \ ln n } $a={\sqrt {4m\ln n}}$ } 를 선택하고 $a={\sqrt {4m\ln n}}$ 다음을 얻습니다.

\displaystyle Prob \left [ c _ { i } \ geq { 4 m \ ln n } \ right ]\leq { frac {2} {n^ {2} }

노조에 맹세하건대

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

b [

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

i : c

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

m

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

n

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

]

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

2

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

\

display style Prob

\ left [ \

exists

i :

_

{

i }

\

sqrt

{

4

m \

ln

n } \

right

]\

leq

{

frac

{

2

}

Prob\left[\exists i:|c_{i}|\geq {\sqrt {4m\ln n}}\right]\leq {\frac {2}{n}}

} 。

레퍼런스

^ Mitzenmacher, Michael & Upfal, Eli (2005). Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83540-2.

[MitzenmacherUpfal-1] Mitzenmacher, Michael & Upfal, Eli (2005). Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83540-2.

[1]

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