신타니제타 함수

수학에서 신타니 제타 함수 또는 신타니 L 함수는 리만 제타 함수의 일반화다.이들은 신타니 다쿠로(1976년)에 의해 처음 연구되었다.여기에는 허위츠 제타 기능과 반스 제타 기능이 포함된다.

정의

Let ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ be a polynomial in the variables ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{r})}$ with real coefficients such that ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ is a product of linear polynomials with positive coefficients, that is, ${\displaystyle P(\mathbf{x})=P_{}}$${\displaystyle {}_{}1\mathbf{}{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}{}_{}}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle {}_{}}$ k (${\displaystyle {}_{}x\mathbf{}}$) ${\displaystyle$ P$(\mathbf {x} )=P_{1}(\mathbf {x} )P_{2}(\mathbf$ {$x}$)\$cdots$P_${k$}(\$mathb {x}$ $)\}.$ 여기서

서 > ${\displaystyle a_{ij}}0$ > 0 ${\displaystyle b_{i}},$ $k$ = ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ P ${\displaystyle$ k$=\deg P$변수 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$의 신타니 제타 함수는 (의 용적 연속)에 의해 주어진다$$.

다변량 버전

신타니 제타 함수의 정의는 몇 가지 변수(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{k})$에서 제타 함수에 대한 간단한 일반화를 가지고 있다$.{\displaystyle }$

k = 1일 때의 특수한 경우는 반스 제타함수다.

위튼 제타 함수 관계

신타니 제타 함수와 마찬가지로 위튼 제타 함수는 음수가 아닌 계수를 가진 선형 형태의 산물인 다항식(多항식)에 의해 정의된다.그러나 비텐 제타 함수는 신타니 제타 함수의 특별한 경우는 아니다. 비텐 제타 함수의 경우 선형 형태는 0과 같은 계수를 가질 수 있기 때문이다.For example, the polynomial ${\displaystyle (x+1)(y+1)(x+y+2)/2}$ defines the Witten zeta function of ${\displaystyle SU(3)}$ but the linear form ${\displaystyle x+1}$ has ${\displaystyle y}$-coefficient equal to zero.

참조

• Hida, Haruzo (1993), Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, London Mathematical Society Student Texts, vol. 26, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43411-9, MR 1216135, Zbl 0942.11024
• Shintani, Takuro (1976), "On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields at non-positive integers", Journal of the Faculty of Science. University of Tokyo. Section IA. Mathematics, 23 (2): 393–417, ISSN 0040-8980, MR 0427231, Zbl 0349.12007