체 이론

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체 이론은 정수들의 크기를 계산하거나 더 현실적으로 추정하기 위해 고안된 숫자 이론의 일반적인 기법들의 집합이다. 체외변형 집합의 원형적 예는 일부 규정된 한계 X까지의 소수점 집합이다. 이에 상응하여 체의 원형적인 예는 에라토스테네스의 체, 즉 보다 일반적인 레전드레 체이다. 이러한 방법을 사용한 프라임 숫자에 대한 직접 공격은 곧 오류 용어의 축적을 통해 극복하기 어려운 장애물에 도달한다.^{[citation needed]} 20세기의 주요한 수 이론의 한 가닥에서, 체가 무엇이 되어야 하는지에 대한 순진한 생각으로 정면 공격의 일부 어려움을 피하는 방법이 발견되었다.^{[citation needed]}

하나의 성공적인 접근방식은 특정 체의 숫자 집합(예: 소수 집합)을 다른 체로 근사하게 하는 것이며, 일반적으로 원래 집합보다 다소 크고 분석하기도 쉽다. 보다 정교한 체는 또한 se 당 세트로 직접 작용하지 않고, 대신에 이 세트에서 신중하게 선택한 무게 함수에 따라 세어진다(이 세트들의 일부 요소들을 다른 것들보다 더 많은 "중량"을 주기 위한 선택사항). 나아가, 일부 현대적 어플리케이션에서는 체를 사용하여 체의 크기를 추정하는 것이 아니라, 체의 특징적인 기능보다 분석하기가 쉽지만, 체는 체의 크기가 크고 체의 외부에 대부분 작은 함수를 생산한다.

체의 종류

현대의 체에는 브룬 체, 셀베르그 체, 투란 체, 큰 체, 큰 체가 있다. 체 이론의 원래 목적 중 하나는 쌍두의 원시적 추측과 같은 수 이론에서 추측을 증명하려고 노력하는 것이었다. 체 이론의 원래 광범위한 목표는 아직 대부분 달성되지 않았지만, 특히 다른 수 이론 도구와 결합하여 일부 부분적인 성공이 있었다. 주요 내용은 다음과 같다.

1. 브룬의 정리 - 쌍발 프리임의 왕복 합계가 수렴됨(프리미어 자체의 왕복 합이 갈리는 곳)을 보여준다.
2. p + 2가 프라임 또는 세미프라임(두 프라임의 산물)일 정도로 무한히 많은 프라임이 있음을 보여주는 첸의 정리; 천징런의 밀접하게 연관된 정리는 모든 짝수가 프라임의 합이고 또 다른 숫자는 프라임 또는 세미프라임이라고 주장한다. 이것들은 각각 두 가지 주요 추측과 골드바흐 추측의 거의 빗나간 것으로 간주될 수 있다.
3. $체{\displaystyle }$ 이론의 기본 보조정리로서, 만일 N개의 ${\displaystyle {숫자}^{}}$를 체로 치프하고 있다면, ${{\$$displaystyle$ N$^{\varepsilon$$}}}}{\displaystyle \varepsilon$ $}}}}}$$$ 반복 후에 체에 남아 있는 원소의 수를 정확히 추정할 수 있다(예: 1/10과 같은 경우는 상당히 유형).al here). 이 보조정리기는 보통 너무 약해서 프리타임(${\displaystyle {일반적}^{}}$으로 N ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2 ${\$ N$^{1/2}}$회$$ 반복해야 한다)을 체로 걸러낼 수 없지만 거의 프리타임에 관한 결과를 얻기에 충분할 수 있다.
4. ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 형태의 프리임이 무한히 많다고 주장하는 프리드랜더-이와니크 정리$.$
5. 장나라의 정리(장 2014)는 경계 거리 내에 무한히 많은 쌍의 프리임이 있음을 보여준다. 메이너드-타오 정리(Maynard 2015)는 장(張)의 정리를 임의로 긴 프리타임 시퀀스로 일반화한다.

체 이론의 기법

체 이론의 기법은 상당히 강력할 수 있지만, 패리티 문제로 알려진 장애물에 의해 제한되는 것으로 보이는데, 대략적으로 체 이론 방법은 소수 주 요인이 홀수인 숫자와 짝수인 수를 구분하는 데 극도의 어려움이 있다고 주장한다. 이 동등성 문제는 여전히 잘 이해되지 않는다.

수 이론의 다른 방법들과 비교했을 때 체 이론은 대수적 수 이론이나 분석적 수 이론의 정교한 개념을 반드시 필요로 하지 않는다는 점에서 비교적 초보적이다. 그럼에도 불구하고, 더 발전된 체는 여전히 매우 복잡하고 섬세해질 수 있으며(특히 숫자 이론의 다른 깊은 기술과 결합되었을 때), 교과서 전체가 이 단일의 숫자 이론 하위 영역에 바쳐졌다; 고전적인 참조는 (Halberstam & Richt 1974), 보다 현대적인 텍스트는 (Iwaniec & Friedlander 2010)이다.

이 글에서 논의되는 체 방법은 2차 체와 일반수 필드 체와 같은 정수 인수 체 방법과 밀접한 관계가 없다. 그러한 요소화 방법들은 에라토스테네스의 체에 대한 개념을 사용하여 어떤 숫자 목록의 구성원이 작은 프리타임으로 완전히 반영될 수 있는지를 효율적으로 결정한다.

참조

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• Motohashi, Yoichi (1983), Lectures on Sieve Methods and Prime Number Theory, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, vol. 72, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8, MR 0735437
• Greaves, George (2001), Sieves in number theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 43, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-04658-6, ISBN 3-540-41647-1, MR 1836967
• Harman, Glyn (2007). Prime-detecting sieves. London Mathematical Society Monographs. Vol. 33. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12437-7. MR 2331072. Zbl 1220.11118.
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• Iwaniec, Henryk; Friedlander, John (2010), Opera de cribro, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 57, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4970-5, MR 2647984
• Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods to the theory of numbers, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 70, Cambridge-New York-Melbourne: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20915-3, MR 0404173
• Maynard, James (2015). "Small gaps between primes". Annals of Mathematics. 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. MR 3272929.
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 46, Translated from the second French edition (1995) by C. B. Thomas, Cambridge University Press, pp. 56–79, ISBN 0-521-41261-7, MR 1342300
• Zhang, Yitang (2014). "Bounded gaps between primes". Annals of Mathematics. 179 (3): 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7. MR 3171761.

외부 링크

• Bredikhin, B.M. (2001) [1994], "Sieve method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press