신호 재구성

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신호 처리에서 재구성은 일반적으로 동일한 간격으로 샘플의 시퀀스에서 원래 연속 신호의 결정을 의미한다.

이 논문은 신호 샘플링과 재구성에 대한 일반적인 추상적 수학적 접근방식을 취한다. 대역 제한 신호를 기반으로 한 보다 실용적인 접근방법은 Whittaker-Shannon 보간 공식을 참조하십시오.

일반원칙

F는 어떤 표본 추출 방법, 즉 사각 통합 함수 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2$}}$$힐버트 공간의 선형 지도에서 $복합{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 공간 ${\displaystyle {}^{}}$n {\$displaystyle \mathb{C}$^{n$}}}$까지로 하자$.$

본 예제에서 샘플링된 신호 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 벡터 공간은 n차원 복합 공간이다$$. F의 제안된 역 R(재구성 공식, lango)은 L ${\displaystyle 2^{}}$의 일부 서브셋에$$ $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$$displaystyle$ $\mathb{C}$$^{n}}$를 매핑해야 할 것이다$.$ 이 서브셋을 임의로 선택할 수 있지만, 또한 선형 지도인 재구성 공식 R을 원할 경우 n-dens를 선택해야 한다.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 이온 선형 아공간$.$

차원이 일치해야 한다는 이 사실은 나이키스트-샤논 샘플링 정리와 관련이 있다.

초기 선형 대수 접근법은 여기서 통한다. Let ${\displaystyle d_{k}:=(0,...,0,1,0,...,0)}$ (all entries zero, except for the kth entry, which is a one) or some other basis of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. To define an inverse for F, simply choose, for each k, an ${\displaystyle e_{k}\in L^{$$F$${\displaystyle (}e$ ${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$}}) = d_{k$}}}}$이$($가) 되도록 {{}}. 이것은 F의 반대(의사-)를 독특하게 정의한다.

물론 어떤 재구성 공식을 먼저 선택한 다음 재구성 공식에서 일부 샘플링 알고리즘을 계산하거나, 주어진 공식에 대해 주어진 샘플링 알고리즘의 동작을 분석할 수 있다.

이상적으로는 예상되는 오차 분산을 최소화하여 재구성 공식을 도출한다. 이를 위해서는 신호 통계를 알거나 신호에 대한 사전 확률을 지정할 수 있어야 한다. 정보 분야 이론은 최적의 재구성 공식을 도출하기 위한 적절한 수학 형식론이다.^[1]

인기재건공식

아마도 가장 널리 사용되는 재건 공식은 다음과 같다. 예를 들어${\displaystyle }$힐버트 공간 감각에서 {${\displaystyle {ek}_{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{e_{k}\}}}}}$을(를) $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}$의 기본이 되게$$ 하라.

$displaystyle e_{k}(t):$$=e^{2\pi ikt$

비록 다른 선택이 확실히 가능할지라도. 여기서 색인 k는 어떤 정수라도 될 수 있으며 음수일 수도 있다는 점에 유의하십시오.

그러면 우리는 다음과 같은 방법으로 선형 지도 R을 정의할 수 있다.

${\d(d_{k})=e_{k}\,}$

for each ${\displaystyle k=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$, where ${\displaystyle (d_{k})}$ is the basis of ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ given by

${\displaystyle d_{k}(j)=e^{2\pi ijk \over n}}$

(이것은 일반적인 이산 푸리에 기반이다.)

범위 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lfloor }$- ${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \rfloor }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . . .${\displaystyle (}$ (${\displaystyle \mathrm{n}}$- ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ )${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \rfloor }${\$displaystyle$ k$=\lfloor -n/2\rfloor ,...,\lfloor (n-1)/2\rfloor }$의 선택은 치수 요건을 충족하고 가장 중요한 정보가 낮은 빈도에 포함되어 있다는 일반적인 개념을 반영하지만 다소 자의적이다$$. 경우에 따라서는 이것이 잘못되어 다른 재건 공식을 선택할 필요가 있다.

힐버트 베이스 대신 웨이블렛을 사용함으로써 유사한 접근법을 얻을 수 있다. 많은 애플리케이션의 경우, 최상의 접근 방식은 오늘날에도 명확하지 않다.^{[original research?]}

참고 항목

• 앨리어싱
• 니키스트-샤논 샘플링 정리
• 휘태커-샤논 보간식

참조