단순합리적 근사치

단순합리적 근사치(SRA)는 합리적인 함수를 이용한 보간법의 하위집합이다.특히 SRA는 극과 0이 단순한 특정 이성적 함수로 주어진 함수를 보간하여 극과 0의 다중성이 없음을 의미한다.때로는 단순한 극만을 내포하기도 한다.

SRA의 주요 적용 분야는 세속적인 기능의 0을 찾는 데 있다.다양한 종류의 행렬에 대한 고유값과 고유 벡터를 찾는 분할 및 변환 알고리즘은 수치 분석에서 잘 알려져 있다.엄밀한 의미에서 SRA는 분업-컨커밍 알고리즘의 일부로서 단순한 합리적 함수를 이용한 구체적인 보간법을 암시한다.그러한 세속적 기능은 단순한 극을 가진 일련의 이성적 기능으로 구성되기 때문에, SRA는 세속적 기능의 0을 보간할 수 있는 최적의 후보다.더욱이 이전의 연구에 따르면, 인접한 두 극 사이에 놓여 있는 단순한 0은 근사함수로 2도미넌트 극의 합리적 함수를 사용함으로써 상당히 잘 보간될 수 있다.

원포인트 3차 반복 방법:핼리 공식

합리적인 기능을 갖춘 보간술의 기원은 에드먼드 핼리(Edmond Halley)의 이전 작품에서 찾을 수 있다.핼리의 공식은 ${\displaystyle f(x}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \,f(x)=0}$을(를) 해결하는$$ 원포인트 3차 반복법으로 정의된다.

${\displaystyle h(z)={\frac {a}{z+b}+c.}$

a, b, c를 결정해서

${\displaystyle h^{{(i)}=f^{(i)}(x),\qquad i=0,1,2.}$

${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 ${\displaystyle h(}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \,h(z)=0}$을(를) 해결하면 반복이 발생함$$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n}})-{f'(x_{n}}}}{1-{\frac {f(x_{n}}){2(x_{n}})^{2}}}}\오른쪽).}$

이것을 핼리 공식이라고 한다.이 기하학적 $해석{\displaystyle }$ h${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle h(z)}$은 갠더(1978년)에 의해 도출되었고$$, 여기서 뉴턴의 방법을 적용하여 등가 반복도 도출되었다.

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{\sqrt {f'(x)}}=0}}$

우리는 이것을 핼리 공식의$$ 대수적 해석 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g(x)}$이라고 부른다.

원포인트 2차 반복법: 단순합리적 근사법

마찬가지로 ${\displaystyle 우리}$는 f ( x )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \alpha }$ (${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \,f(x)=\alpha (\neq 0)}$을(를) 해결하기 위한 1포인트 2차 반복 방법에 근거한 핼리 공식의 변형을 도출할$$ 수 있다.

${\displaystyle h(z)={\frac {a}{z+b}}.}$

그렇다면 우리는 평가해야 한다.

${\displaystyle h^{{(i)}=f^{(i)}(x),\qquad i=0,1.}$

그래서 우리는

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n}-\frac {f'(x_{n})-\{f'}}\frac {f(x_{n}}}}}}{n}}}}}}}{\recaps }오른쪽).}$

이 반복의 대수적 해석은 풀어서 얻는다.

${\displaystyle g(x)=1-{\frac {\frac }{f(x)}=0.}$

이 1점 2차 순서는 방정식의 뿌리가 단순하면 국소 2차 수렴을 보여주는 것으로 알려져 있다.SRA는 단순한 이성적 함수에 의한 이 1점 2차 보간법을 엄격히 암시하고 있다.

제3의 순서법도 뉴턴의 방법의 변형이라는 것을 알 수 있다.우리는 뉴턴의 스텝에 몇 가지 요인들이 곱해지는 것을 본다.이러한 요인을 변동의 수렴 요인이라고 하는데, 수렴 속도를 분석하는 데 유용하다.Gander(1978년)를 참조하라.

참조

• Demmel, James W. (1997), Applied Numerical Linear Algebra, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-389-7, MR 1463942.
• Elhay, S.; Golub, G. H.; Ram, Y. M. (2003), "The spectrum of a modified linear pencil", Computers & Mathematics with Applications, 46 (8–9): 1413–1426, doi:10.1016/S0898-1221(03)90229-X, MR 2020255.
• Gu, Ming; Eisenstat, Stanley C. (1995), "A divide-and-conquer algorithm for the symmetric tridiagonal eigenproblem" (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 16 (1): 172–191, doi:10.1137/S0895479892241287, MR 1311425.
• Gander, Walter (1978), On the linear least squares problem with a quadratic constraint, Stanford University, School of Humanities and Sciences, Computer Science Dept..