공간 양식

수학에서 공간 형태는 일정한 단면 곡률 K의 완전한 리만 다지관 M이다. 그 세 가지 분명한 예는 유클리드 n-공간, n-차원 구체, 쌍곡 공간이다. 비록 공간 형태가 단순히 연결될 필요는 없지만 말이다.

일반화 결정학으로의 감소

더 킬링-리만 기하학의 홉프 정리는 $곡률{\displaystyle }$ K${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K=-1}$이(${\displaystyle {가}^{}}$) 있는 n차원 공간 $형태$의 보편적 커버가 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에$$등축이고, 쌍곡률 공간은 곡률 $K{\displaystyle }$= 0 ${\$$displaysty$ K$=0}$이$($가)가 R\에 등축이라고 명시하고 있다.$스타일 R^{$$n$$\}\}\},$ 유클리드 n-공간 및 $곡률{\displaystyle }$K${\displaystyle }$= + ${\displaystyle 1}$${\$$displaystyle$$K=+$$1}$등축이$$ $있는{\displaystyle {}^{}}$ 경우, ${\displaystyle R^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$R^{$n+1}$의 원점에서 점 거리 1의 n차원 구체$.$

}Hn{\displaystyle H^{n}에 리만 매트릭 rescaling으로써, 우리는. 마찬가지로,}Sn{\displaystyle S^{n}에 리만 매트릭 rescaling에 의해 상수 곡률 K{K\displaystyle}의 K<>MK{\displaystyle M_{K}}우주;0{\displaystyle K<0}을 만들어 낼지도 모르지만, 우리는 우주를 만들 수 있다. MK${\displaystyle {}_{}}$의 K> ${\displaystyle$ K$>0}$에 대해 일정한 곡률 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $K$$}$의 ${\displaystyle M_{K$ 따라서 $일정$한 곡률 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$을(를) 갖는 공간 형식 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 ${\displaystyle {범용}_{}}$ 커버는 M K ${\$$K}$에 대한 등축이다$$.

이는 공간 형태를 연구하여 적절하게 불연속적으로 작용하는$$ $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 이산형 등각류 그룹 ${\displaystyle \Gamma }$을 연구하는 문제를 줄인다. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$},$$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \pi _{1}(M$의 기본 그룹은 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$에 대해 이형성이며,$$R $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해 이러한 방식으로 작용하는 그룹을 결정체 그룹이라고 한다$$. $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ H$^{2$}}$$및$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$에서 이와 같이 작용하는 그룹을 각각 후치안 그룹과 클라인 그룹이라고 한다$$.

공간 양식 문제

우주 형태 문제는 이형성 기본 집단을 가진 두 개의 소형 비구형적 리만 다지관이 모두 동형체라는 추측이다.

가능한 연장은 제한되어 있다. 다지관이 등축이라고 추측하고 싶겠지만, 소형 비구형 리만 다지관에 리만 미터법을 재조정하는 것은 기본 집단을 보존하고 있으며, 이것이 거짓임을 보여준다. 사람들은 또한 다지체가 차이점형이라고 추측하기를 바랄 수도 있지만, 존 밀노르의 이국적인 구들은 모두 동형질이고 따라서 이등형 기본 집단을 가지고 있어 이것이 거짓임을 보여준다.

참고 항목

• 보렐 추측

참조

• Goldberg, Samuel I. (1998), Curvature and Homology, Dover Publications, ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer