표준 선형 솔리드 모델

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표준 선형 고형분(SLS, Zener model)은 스프링과 대시보트의 선형 결합을 사용하여 각각 탄성 및 점성 성분을 나타내는 점성 물질의 거동을 모델링하는 방법이다.종종 더 단순한 맥스웰 모델과 켈빈-비그트 모델이 사용된다.그러나 이러한 모델은 종종 불충분한 것으로 판명된다. 맥스웰 모델은 크리프나 회복을 설명하지 않으며 켈빈-비그트 모델은 스트레스 완화를 설명하지 않는다.SLS는 두 현상을 모두 예측하는 가장 단순한 모델이다.

정의

스트레인이 발생하는 재료는 스프링(복원력 구성 요소)과 대시팟(댐핑 구성 요소)과 같은 기계적 구성 요소로 모델링되는 경우가 많다.

스프링과 댐퍼를 직렬로 연결하면 맥스웰 재료 모델이 나오는 반면 스프링과 댐퍼를 병렬로 연결하면 켈빈-비그트 재료 모델이 나온다.^[1]Maxwell 및 Kelvin-Voigt 모델과 대조적으로 SLS는 직렬 및 병렬로 모두 요소를 포함하는 약간 더 복잡하다.점탄성 물질의 탄성 성분을 나타내는 스프링은 Hoke의 법칙을 따른다.

$\displaystyle \sigma _{s}=E\varepsilon }$

여기서 σ은 응력, E는 영의 재료 계통, ε은 응력이다.스프링은 모델 반응의 탄성 성분을 나타낸다.^[1]

대시팟은 점성 물질의 점성 성분을 나타낸다.이러한 요소에서 적용된 응력은 스트레인의 시간 변화율에 따라 달라진다.

${\displaystyle \sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

여기서 η은 대시팟 구성 요소의 점성이다.

모델 해결

이 시스템을 모델화하기 위해서는 다음과 같은 물리적 관계가 실현되어야 한다.

병렬 구성 요소의 경우: $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ _${1}+\sigma _{2}},$${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$=${\displaystyle {}_{}{\epsilon \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$^[1]

직렬 구성 요소의 경우: $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}{o}_{}}$ t = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2 ${\$${\displaystyle {\_\mathrm{}}_{}}$$\{$$1$$displaystyle \varepsilon _{1}+\varepsilon_{$2$\}\}.$^[1]

맥스웰 표현

이 모델은 병렬로 두 개의 시스템으로 구성된다.첫 번째, 맥스웰 암이라고 하는 것은 스프링(${\displaystyle }$= ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$과 대시팟(점성 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta$ $\}\})$을 직렬로 포함한다.^[1]다른 시스템에는 스프링(${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$만 포함되어 있다.$$

이러한 관계는 전체 시스템과 Maxwell 암의 다양한 스트레스와 변형을 연관시키는 데 도움이 된다.

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{m}=\varepsilon _{S_1}}$

${\displaystyle \sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S_}}}$

여기서 첨자 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $m$$\},$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$\},$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $S$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 각각 Maxwell, 대쉬팟, 스프링 1 및 스프링 2를 가리킨다$$.

스프링 및 대시팟 요소에 대한 이러한 관계, 시간 파생 모델 및 위의 응력 변형 관계를 사용하여 다음과 같이 시스템을 모델링할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ ^[2]

이 방정식은 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{\frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

또는 점 표기법:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}:}{\dot{\sigma }}{\sigma }}}}}{\frac {1}{1}+E_{2}}}{E_}}{\dot {\varepsilon}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$이완시간{\displaystyle }$ , ${\displaystyle \tau }$은$($는) 재료마다 다르며 다음과 같다.

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E_{2}}:$

켈빈-비그트 표현

이 모델은 직렬로 된 두 개의 시스템으로 구성되어 있다.켈빈 암이라고 하는 첫 번째 암은 스프링(${\displaystyle }$= ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$과 대시팟(점성 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta$ $\}\})$을 병렬로 포함한다.다른 시스템에는 스프링(${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$만 포함되어 있다.$$

이러한 관계는 전체 시스템과 켈빈 암의 다양한 스트레스와 변형을 연관시키는 데 도움이 된다.

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{S_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}$

${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{D}=\varepsilon _{S_}}}$

여기서 첨자 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $k$$\},$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$\},$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ S ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 각각 켈빈, 대시팟, 스프링 1 및 스프링 2를 가리킨다$$.

스프링 및 대시팟 요소에 대한 이러한 관계, 시간 파생 모델 및 위의 응력 변형 관계를 사용하여 다음과 같이 시스템을 모델링할 수 있다.

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}={\frac {E_{1}E_{2}}:{E_{1}+E_{2}}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}}$

또는 점 표기법:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{{\dot{\sigma }}}={\frac {E_{1}E_{2}}:{E_{1}+E_{2}}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}}{\dot {\barepsilon }}$

$지연시간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $,{\$은$($는) 재료마다 다르며 다음과 같다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}:$

모델 특성

표준 선형 솔리드 모델은 Maxwell과 Kelvin-Voigt 모델의 측면을 결합하여 주어진 하중 조건 하에서 시스템의 전반적인 동작을 정확하게 설명한다.순간 응력에 적용되는 물질의 거동은 반응의 순간 성분을 갖는 것으로 나타난다.스트레스의 즉각적인 방출은 예상대로 불연속적인 스트레인 감소를 초래한다.시간에 따른 변형률 곡선의 모양은 모델이 적재되는 방법에 따라 시간의 경과에 따른 모델의 거동을 특징짓는 방정식의 형태에 충실하다.

이 모델은 긴 시간 및 순간 부하에 대한 거동뿐만 아니라 스트레인 곡선의 일반적인 모양을 정확하게 예측하는 데 사용할 수 있지만, 재료 시스템을 숫자로 정확하게 모델링하는 능력이 부족하다.

표준 선형 고형 모델에 해당하는 유체 모델은 켈빈-Voigt 모델과 직렬로 대쉬팟을 포함하며 Jeffreys 모델이라고 불린다.^[3]

참고 항목

• 버거 소재
• 일반화 맥스웰 모델
• 켈빈-Voigt 재료
• 맥스웰 소재
• 점탄성

참조