스탠리 대칭 함수

수학에서 특히 대수적 결합학에서 스탠리 대칭함수는 리처드 스탠리(1984)가 순열의 대칭군 연구에 도입한 대칭 다항식 계열이다.

형식적으로 순열 w에 의해 지수화된 스탠리 대칭함수 F_w(x₁, x₂, ...)는 어떤 근본적인 대칭함수의 합으로 정의된다.각 합계는 w의 분해 감소, 즉 w를 최소의 인접 전이의 산물로 쓰는 방법에 해당한다.그것들은 순열의 감소된 분해에 대한 스탠리의 열거 과정에서 소개되었고, 특히 순열 w₀ = n(n - 1)...21(여기 한 줄 표기법으로 쓰여 있음)이 정확히 가지고 있다는 그의 증거에 소개되었다.

${\displaystyle {\frac {{\binom {n}{2}}!}}{1^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots(2n-3)^{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}:{1}}$

분해 감소(여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{}}$) ${\$}}은$$이항계수 n(n - 1)/2를 나타내고$$ !은 요인(autom)을 나타낸다.)

특성.

스탠리 대칭함수 F는_w w의 반전 수와 동일한 정도로 균일하다.다른 대칭함수의 좋은 패밀리들과는 달리 스탠리 대칭함수는 많은 선형 의존성을 가지고 있으므로 대칭함수의 링의 기초를 형성하지 않는다.Schur 함수에 기초하여 스탠리 대칭 함수가 확장되면 계수는 모두 음이 아닌 정수다.

스탠리 대칭함수는 슈베르트 다항식의 안정적 한계라는 속성을 가지고 있다.

${\displaystyle F_{w}(x)=\lim _{n\to \inflit }{\mathfrak{S}_{1^{n}\time w}(x)}$

여기서 양쪽을 공식 파워 시리즈로 취급하고 계수에 따라 한계값을 취한다.

참조

• Stanley, Richard P. (1984), "On the number of reduced decompositions of elements of Coxeter groups" (PDF), European Journal of Combinatorics, 5 (4): 359–372, doi:10.1016/s0195-6698(84)80039-6, ISSN 0195-6698, MR 0782057