다윗의 별 정리
Star of David theorem
David의 별 정리는 이항계수의 산술적 특성에 관한 수학적인 결과물이다.1972년 헨리 W. 굴드에 의해 발견되었다.
성명서
파스칼 삼각형의 다윗 별 모양에서 두 삼각형 각각을 구성하는 이항계수의 가장 큰 공통점은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k-1}},{\binom {n}{k+1}},{\binom {n+1}{k}}\right\}\\[8pt]={}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k}},{\binom {n}{k-1}},{\binom {n+1}{k+1}}\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbd3ca6da8743de3bb0e84e8270615452db6ce2)
예
파스칼 삼각형의 8, 9, 10열은
1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
n=9, k=3 또는 n=9, k=6의 경우 84 원소는 순차적으로 28, 56, 126, 210, 120, 36 원소로 둘러싸여 있다.교대 값을 취하면 gcd(28, 126, 120) = 2 = gcd(56, 210, 36)가 있다.
원소 36은 시퀀스 8, 28, 84, 120, 45, 9로 둘러싸여 있으며, 교대로 gcd(8, 84, 45) = 1 = gcd(28, 120, 9)를 갖는다.
일반화
위의 가장 큰 공통점 또한 (( - k- ),( - k- 1),,( - + ). 선택 k \cdo1 \k, \k+1}과 같다 따라서[1] 원소 84(가장 오른쪽 외관상)에 대한 위의 예에서 gcd(70, 56, 28, 8) = 2도 있다.이 결과는 차례로 더 일반화된다.
관련결과
다윗의 별 정리가 말하는 세 개의 숫자로 이루어진 두 세트의 공통점들은 동일한 생산물을 가지고 있다.[1]예를 들어 원소 84가 순차적으로 원소 28, 56, 126, 210, 120, 36에 의해 둘러싸인 것을 다시 관찰하고, 교대 값을 다시 계산하면 28×126×120 = 26×33×5×72 = 56×210×36이 있다.이 결과는 다음을 사용하여 각 이항계수를 요인 형태로 작성하면 확인할 수 있다.
참고 항목
참조
- ^ a b 와이스슈타인, 에릭 W. "다비드 정리의 별"Wolfram Web Resource에서 온.http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html
- H. W. Gould, "이항 계수의 새로운 최대 공통 구분자 속성", 피보나치 분기별 10(1972), 579–584.
- 데이비드 정리정돈의 별, 매트릭포럼의 별.
- 데이빗의 스타 정리, 블로그 게시물
외부 링크
- Mathematica에서 David의 별 정리 시연.
