중지된 프로세스

수학에서 정지 과정은 정해진 시간(아마도 무작위) 후에 동일한 값을 가정하도록 강요되는 확률적 과정이다.

정의

내버려두다

• ${\displaystyle (\mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P\mathbb{}}$) ${\displaystyle(\Oomega ,{\mathcal {F},\mathb {P})}$은 확률 공간이며,
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X\mathbb{}}$, ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle(\mathb {X},{\mathcal {A})}$은(는) 측정할 수 있는 공간이며,
• ${\displaystyle \mathrm{X}}$:${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle X\mathbb{}}$ ${\$은(는) 확률적인 과정임$$.
• ${\displaystyle \tau :\Omega \to [0,+\infty ]}$ be a stopping time with respect to some filtration ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t} t\geq 0\}}$ of ${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$.

그런 다음 정지된 프로세스 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) $기준$으로 t${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle t\geq 0}$ 및$$ $\Omega {\displaystyle }$Ω ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \omega \in \Oomega$}에 대해 정의된다$$.

${\displaystyle X_{t}^{\tau }}(\omega ):=X_{\min\{t,\tau(\omega )\}}}(\omega).}$

예

도박

도박꾼이 룰렛을 한다고 생각해봐.X는_t 도박꾼의 시간 t ≥ 0의 카지노 총 보유량을 나타내며, 카지노의 신용 제공 여부에 따라 음수가 될 수도 있고 아닐 수도 있다.Y는_t 도박자가 무제한 신용을 얻을 수 있다면(Y가 부정적인 가치를 얻을 수 있도록) 그 소유권이 무엇인지를 나타내도록 하자.

• 결정론적 시간에 정지: 카지노가 도박꾼에게 무제한 신용을 빌려줄 준비가 되어 있고, 도박꾼은 경기 상태에 관계없이 미리 정해진 시간 T에 게임을 떠나기로 결심한다고 가정한다.그렇다면 X는 정말로 정지된 과정 Y인데^T, 도박꾼의 계정은 도박꾼이 게임을 그만둔 순간과 같은 상태로 남아 있기 때문이다.
• 무작위 중단: 도박꾼에게 다른 수익원이 없고 카지노에서 고객의 신용을 연장하지 않는다고 가정해 보십시오.도박꾼은 파산할 때까지 또는 파산하지 않는 한 경기에 참가하기로 결심한다.그러면 무작위 시간은

${\displaystyle \tau(\omega ):=\inf\{t\geq 0 Y_{t}(\omega )=0\}}}$

Y의 정지시간이며, 도박꾼은 자신의 자원을 고갈시킨 후에도 계속 놀 수 없기 때문에 X는 정지공정^τ Y이다.

브라운 운동

$B{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ )${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$을(를) 0에서 시작하는 1차원 표준 브라운 모션이 되게$$ 하라.

• 는 결정론적 시간에 들러서. T>0{\displaystyle T>0}:τ(ω)≡ T{\displaystyle \tau(\omega)\equiv T}, 다음 멈췄다 B({\displaystyle B^{\tau}}평소와 다름에 시간 T{T\displaystyle}까지, 이후 끊임 없는 머물 것 브라운 운동 발전할 것이다:즉, Bt τ(ω)≡ BT.(ω${\displaystyle }$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ ${$$t}^{\tau }(\$$tau{\displaystyle }$ $)\}(\omega$ )\$equiv B_$${$$T}(\$$displaystyle t\geq$ T$\}).$
• 임의의 시간에 중지: $영역$의${\displaystyle }$첫 번째${\displaystyle \mathrm{적중}}$ 시간 ${\displaystyle \ge }$ $displaystyle$ $\tau$}{x\in$$$\mathb {R} x\geq$ a$\}}$:

$\displaystyle \tau(\omega ):=\inf\{t>0 B_{t}(\omega )\geq a\}.}$

Then the stopped Brownian motion ${\displaystyle B^{\tau }}$ will evolve as per usual up until the random time ${\displaystyle \tau }$, and will thereafter be constant with value ${\displaystyle a}$: i.e., ${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv a}$ for all ${\displayst$$yle t\geq \tau (\omega$ $)\}.$

참고 항목

• 죽임공정

참조

• 로버트 G. 갤러거확률적 프로세스: 응용 프로그램 이론.캠브리지 대학교 출판부, 2013년 12월 12일 페이지 450