스터름 분리 정리

수학에서 일반 미분방정식의 분야에서는 자크 샤를 프랑수아 스투름의 이름을 딴 스투름 분리 정리가 동질 2차방정식의 해법 뿌리 위치를 기술하고 있다.기본적으로 정리는 그러한 방정식의 두 개의 선형 독립 용액을 주어 두 용액의 0이 교대한다고 기술하고 있다.

스터름 분리 정리

균일한 2차 순서 선형 미분 방정식과 u(x)의 x와₀ x₁ 연속 루트를 가진 두 연속 선형 독립 솔루션 u(x)와 v(x)를 주어진 경우 v(x)는 개방 간격(x₀₁, x)에 정확히 하나의 루트를 갖는다.스터름-피콘 비교정리의 특수한 경우다.

증명

Since ${\displaystyle \displaystyle u}$ and ${\displaystyle \displaystyle v}$ are linearly independent it follows that the Wronskian ${\displaystyle \displaystyle W[u,v]}$ must satisfy ${\displaystyle W[u,v](x)\equiv W(x)\neq 0}$ for all ${\displaystyle \displays$$tyle x}$이(가) 미분 방정식이 $정의$된$$에서 I {\displaystyle \$displaystyle I}$이라고 말함$.$ 일반성의 손실 없이 ( x)< I ${\displaysty W(x){0{\mbox{}}}}\all${\$mbox$ 그러면 다음과 같이 가정해 보십시오.

${\displaystyle u(x)v'(x)-u'(x)v(x)\neq 0.}$

$따라서{\displaystyle {\displaystyle }}$ x${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}}$ ${\$에 표시

${\displaystyle W(x_{0}}=-u'\좌(x_{0}\우)v\좌(x_{0}\우)}$

$u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ (${\displaystyle }$x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\$ 및$$ v (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ )${\$ 중 하나가 양수이거나$$ 모두 음수임.일반성을 상실하지 않고 둘 다 긍정적이라고 가정해 보자.$이제{\displaystyle {\displaystyle }}$ x${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}}$ ${\$1}에 표시

${\displaystyle W(x_{1}}=-u'\좌(x_{1}\우)v\좌(x_{1}\우)}$

그리고 이후 xcmx0{\displaystyle\displaystyle x=x_{0}}xcmxu())의 1{\displaystyle\displaystyle x=x_{1}}이 연속 0{\displaystyle u())\displaystyle}이 너 ′(x1)<0{\displaystyle u'\left(x_{1}\right)<0}을 유발한다.따라서,())<0{\displaystyle \display W을 계속 할 생각이야.스타일 W())<0}우리는 v<>(x1)한다;우리는 만약 너 ′())을 관찰함으로써 이 참조하십시오;0∀)∈(x0x1]{\displaystyle\displaystyle u'())>, 0{\mbox{}}\forall{\mbox{}}x\in \left(x_{0}일 경우 ,x_{1}\right 해결}그러면 너()){\displaystyle \disp 0{\displaystyle v\left(x_{1}\right)<0}이 있어야 한다.laystyle u())}$$ would be increasing (away from the ${\displaystyle \displaystyle x}$-axis), which would never lead to a zero at ${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$. So for a zero to occur at ${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$ at most ${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)=0}$(즉, $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \le }$ 0 $(\displaystyle u'\left(x_{1}\right)\leq$ 0$}$ 그리고$$ wronskian의 결과, $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)$u$ ($x_{1}\right)\leq$ 0$}$인 것으로 밝혀졌다.$$따라서 간격$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\$의 어딘가에서 $v{\displaystyle {\displaystyle (x}}$) ${\$ 기호가$$ 변경되었다$$.중간값 정리에는 $v{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle \in )}$ = $x$ $,$ x 1 ) {\displaystyle x$^{*}\\좌(x_{0},x_{1}\오른쪽)$에 x $∗$ x(x${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v\좌(x^{*}\right)=0}$이 있다$.$

반면에 v는 0이 두 개 있고 그 사이에 u의 0이 없을 것이기 때문에${\displaystyle }$(x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$만 있을 수 있으며, 이것이 불가능하다는 것이 방금 증명되었다$.$

참조

• Teschl, G. (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.