하위직접적으로 해석할 수 없는 대수학

Subdirectly irreducible algebra

유니버설 대수학(그리고 그 응용에서)으로 알려진 수학의 가지에서, 하위직으로 불가해한 대수학은 "심플러" 알헤브라의 하위직 산물로 간주될 수 없는 대수다.하위직접적으로 설명할 수 없는 알헤브라는 대수학에서 소수 이론에서 소수점 이하와 다소 유사한 역할을 한다.

정의

유니버설 대수 A는 A가 둘 이상의 원소를 가지고 있을 때, 그리고 A의 하위 직접 표현에 (요소로) A에 대한 대수 이형성이 포함되어 있을 때, 투영 지도에 의해 주어지는 이형성이 하위적으로 해석할 수 없다고 한다.

예

  • 부울 대수, 헤이팅 대수, 격자[1]: 56 또는 반밀라티스로서 2개 요소 사슬은 직접적으로 해석할 수 없다.사실, 2-element 체인은 직접적으로 설명할 수 없는 유일한 분배 격자 입니다.[1]: 56
  • 헤이팅 대수학으로서 둘 이상의 원소를 가진 모든 유한 체인은 하위직으로 되돌릴 수 없다.(2-element 체인으로 직접 축소 가능한 격자 또는 반밀도 중 하나로서 3개 이상의 요소의 체인에 대해서는 해당되지 않는다.헤잉 알헤브라스와의 차이점은 b가 있는 경우에도 b → b는 격자 이하의 주문과 비교할 필요가 없다는 것이다.)
  • 주문의 모든 유한 순환 그룹 유력한(어떤 유한 p-group과 같은)의 힘 subdirectly 할 수 있다.[1]:subdirect irreducibles하고 주요 숫자들 간의 비유해 56(한가지 약점은 그 정수 subdirectlynonisomorphic prime-power 순환 그룹의 어떤 무한한 가족에 의해, 예를 들어 그런 질서를 메르센 소수 assumi 대표적인 것이다.ng 무한히 많다.)사실, 아벨리아 그룹은 유한 p-그룹에 이형성이거나 프뤼퍼 그룹(무한하지만 카운트 가능한 p-그룹, 유한 p-subgroup의 직접 한계)에 이형성이 있는 경우에만 직접적으로 설명할 수 없다.[1]: 61
  • 벡터 공간은 차원 1이 있는 경우에만 직접적으로 복구할 수 없다.

특성.

유니버설 대수학의 하위직 표현 정리는 모든 대수는 하위직으로 그 하위직으로 해석할 수 없는 인용구에 의해 하위직으로 표현될 수 있다고 말한다.따라서 "하위직접적 불가분"의 등가 정의는 A에 대한 이형성이 아닌 인용구에 의해 하위적으로 표현되지 않는 모든 대수 A이다. (이것은 A의 적절한 인용구에 의한 "적절한 인용구"와 완전히 같은 것은 아니다, 예를 들어 반모형(Z, min)에 의해 얻어지는 이형일 수 있기 때문이다.3과 4의 두 요소만 식별)

즉각적인 상각은 모든 종류의 대수 A는 A의 직접적 부차적 직접적 산물의 하위 산물로 구성될 수 있기 때문에 동형성, 아발게브라 및 직접 생산물에 의해 폐쇄된 등급으로서 그 하위 계통 부류에 의해 결정된다는 것이다.A가 하기 때문에 그렇다.이러한 이유로, 사람들은 종종 다양성 그 자체가 아니라 단지 그것의 하위직적인 비확정성을 연구한다.

대수 A는 합성의 격자 Con A가 최소 비식별적 요소를 가지고 있는 경우에만 모든 적절한 인용구로 식별되는 두 요소를 포함하는 경우에만 직접적으로 설명할 수 없다.즉, 하위직접적 불가해성은 이러한 방식으로 불가해성을 증명하는 특정 요소 쌍을 포함해야 한다.그러한 증인이 (a, b) 직접적 불가해성을 고려했을 때, 우리는 (a, b) 불가해하다고 말한다.

모든 클래스 C유사한 algebras을 놓고 볼 때, Jónsson의 부명제(Bjarni Jónsson 때문에)경우 연착한 HSP(C)C에 의해 발생되는 다양한congruence-distributive지만 그 subdirect irreducibles HSPU(C)에, 그, C의 회원들의 ultraproducts의 subalgebras의 상수 유한 algebras의(C가 유한한 세트, ultraproduct 작업이 전무하다.d미지속)

적용들

헤이팅 대수학이 하위직으로 해석할 수 없는 필수적이고 충분한 조건은 1보다 엄격히 가장 큰 원소가 존재하는 것이다.목격자 쌍은 이 원소와 1이며, 다른 한 쌍의 a를 식별하는 b의 원소는 a→b와 b→a를 1로 식별하여 두 개의 함축 위에 있는 모든 것을 1로 붕괴시킨다.따라서 헤이팅 대수학으로서 둘 이상의 원소의 모든 유한 체인은 직접적으론 해석할 수 없다.

Jonsson의 Lemma에 의해, 유한한 알헤브라의 집합에 의해 생성되는 응집-분배 품종의 하위적 무지개 알헤브라는 발생 알헤브라보다 크지 않다. 대수 A의 인용과 하위 알헤브라는 결코 A 그 자체보다 크지 않기 때문이다.예를 들어, 유한 선형 순서의 Heyting 대수 H에 의해 생성되는 품종에서 하위 직접 무지개화물은 단지 H의 비-디제너레이션 계수일 뿐, 즉 모든 더 작은 선형 순서의 Heyting Algebras가 되어야 한다.일반적으로 조건을 떨어뜨릴 수 없다. 예를 들어, 모든 헤잉 알헤브라의 다양성은 그것의 유한한 하위 직접적 불가침 알헤브라의 집합에 의해 생성되지만, 임의적(무한적) 카디널리티의 하위적 불가침 알헤브라가 존재한다.또한 임의로 큰 하위 직접적 비reducible로 a (비확산-분산) 품종을 생성하는 단일 유한 대수학도 존재한다.[2]

참조

  1. ^ a b c d Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-4398-5129-6.
  2. ^ R. McKenzie, 유한 알헤브라의 잔존 한계, Int. J. 대수 계산 6 (1996), 1–29.