합치관계

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추상 대수학에서 일치 관계(또는 단순히 일치)는 등가 원소로 행해진 대수 연산이 등가 원소를 산출한다는 의미에서 구조와 호환되는 대수 구조(집단, 고리 또는 벡터 공간 등)에 대한 등가 관계다.^[1] 모든 합치관계에는 상응하는 몫구조가 있는데, 그 요소들은 관계에 대한 등가계급(또는 합치계급)이다.^[2]

기본 예

합치 관계의 원형 예는 정수 집합의 합치 $모듈$로 n ${\displaystyle n}$이다. 주어진 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 $대해{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및 b ${\displaystyle b}$의 두 정수를 congruent modulo $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$이라고 한다$$$.$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod{n}}$

$a{\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-b}$이(가) n ${\displaystyle n}($또는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 같은 나머지를 갖는$$ 경우($$또는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}).$

예를 들어 ${\displaystyle 37}$ ${\displaystyle 37}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{57<img\; alt="37"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/91e90c7510ed098d88f9e035a632975433544834"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.325ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="91">}}$ ${\displaystyle 57}$은(는) 합치 모듈로 ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 10$

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod{10}}}$

${\displaystyle 37}$- ${\displaystyle 57}$=${\displaystyle }$- $[\displaystyle 37-57=-20]$은 10의 배수 또는$$, $[\displaystyle 37}$과 $[\displaystyle 57]$을 ${\displaystyle 10}$[\$displaystyle 10}$으로 나눌 때$$ $나머지{\displaystyle \mathrm{}}$ 7$[\$$displaystyle 7}$을 갖는$$ 것과 동등하게 같다$.$

조합 모드 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}($고정 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$의 경우$)$은 정수의 덧셈 및 곱셈과 모두 호환된다. 그것은

만일

${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}_{}}$(${\displaystyle mod}$ n${\displaystyle }$) ${\$ 및$$ $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{b\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mathrm{mod}}$ ${\displaystyle n}$) ${\$

그때

${\$$}}\equiv a_{2}+b_{2$$}$$}{\pmod{n}}$ 및$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{}_{}}$( ${\displaystyle mod}$ n${\displaystyle }$) ${\$

등가 등급의 상응하는 덧셈과 곱셈을 모듈식 산술이라고 한다. 추상대수의 관점에서, $응집모듈로n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$은 정수의 링에 응집관계로, $산술모듈로n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$은 해당 몫의 링에 발생한다$$.

정의

일치성의 정의는 고려 중인 대수 구조의 유형에 따라 달라진다. 조합의 특정 정의는 그룹, 링, 벡터 공간, 모듈, 세미그룹, 선반 등에 대해 만들어질 수 있다. 공통의 테마는 연산이 동등성 등급에 대해 잘 정의되어 있다는 의미에서 합치는 대수적 구조와 호환되는 대수적 객체에 대한 동등성 관계라는 것이다.

예제: 그룹

예를 들어, 집단은 하나의 이항 연산과 함께 집합으로 구성되는 대수적 물체로 특정한 공리를 만족시킨다. $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ 작업을 가진 그룹인$$ 경우 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 일치 관계는 G {\$displaystyle$ G$}$을(를) 만족하는$$$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ G} 요소의 동등성 관계 $≡$입니다$.$

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}$ and ${\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

모든 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$g ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$h ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 1, h ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}g}$ G ${\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in$ G$}$에 대해$.$ 그룹의 일치에 대해 ID 요소를 포함하는 동등성 클래스는 항상 정규 부분군이며, 다른 동등성 클래스는 이 부분군의 코스셋이다. 이 등가계급은 모두 지수집단의 요소다.

예: 반지

대수적 구조가 둘 이상의 연산을 포함하는 경우, 일치 관계는 각 연산과 호환되어야 한다. 예를 들어, 반지는 덧셈과 곱셈을 모두 가지고 있고, 반지의 응집관계는 반드시 충족되어야 한다.

${\$$$$}\equiv r_{2}+s_{2$}} 및$$ $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1초\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{r\mathrm{}}_{}}$ r ${\displaystyle {2초\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}

$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$및 $s$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}.$$링에 대한 합치의 경우 0을 포함하는 동등성 등급은 항상 양면 이상이며, 동등성 등급 집합에 대한 두 연산이 해당 몫 반지를 정의한다.

일반

일치 관계의 일반적인 개념은 모든 대수 구조에 공통적인 사상을 연구하는 분야인 보편적 대수학의 맥락에서 공식적으로 정의될 수 있다. 이 설정에서 주어진 대수 구조에 대한$$ 관계 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 다음과 같은 경우 양립가능하다고 한다.

for each ${\displaystyle n}$ and each ${\displaystyle n}$-ary operation ${\displaystyle \mu }$ defined on the structure: whenever ${\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}$ and ... and ${\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}$, then ${\displaystyle \mu (a_1,\dots ,a_n)R}$${\displaystyle \mu ({1\mathrm{}}_{}^{}\prime ,}$…,${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \mu(a_{1},\ldots, a_{n})\mathrel {R} \mu(a'_{1},\ldots,$ a$'_{n$

그런 다음 구조물의 결합 관계는 또한 양립할 수 있는 동등성 관계로 정의된다.^[3][4]

동형체와의 관계

${\displaystyle f}$: ${\displaystyle A}$→ B ${\displaystyle f:$$A\,\rightarrow$ B}은(는$)$ 두 대수 구조 사이의 동형체(예: 집단의 동형체 또는 벡터 공간 사이의 선형 지도) 다음에 정의된$$ $관계{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$이다.

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}$ 만약의 경우에 한해서만 ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대한 합치관계$.$ 첫 번째 이형성 정리에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 따른 A의 이미지는 이형성에 의해 A의 몫에 대한 B의 이형성 하부구조다$$.

반면 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$관계는 고유한$$ 동형상 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle A}$ / R${\displaystyle f:$$A\오른쪽$ 화살표 $A/R}$이(가) 제공됨

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle f(x)=\{y\mid$ x$\,R\,y$

따라서, 어떤 주어진 구조의 합성과 동형성 사이에는 자연적인 일치성이 있다.

집단, 그리고 정상적 부분군 및 이상들의 일치

특히 집단의 경우 합치관계는 다음과 같이 기초적인 용어로 설명할 수 있다. G가 그룹(ID 요소 e 및 연산 * 포함)이고 ~가 G에 대한 이진 관계인 경우 ~는 다음 때마다 일치한다.

1. G의 모든 요소 a, a ~ a(가변성)가 주어질 경우,
2. G의 원소 a와 b가 주어질 때, a ~ b일 경우 b ~ (대칭)
3. G의 a, b, c 요소가 주어졌을 때, a ~ b 및 b ~ c인 경우, a ~ c(투명성)
4. G의 어떤 원소 a, a, a, b, b'가 주어지면, a ~ a와 b'이면, a *b~a' *b' ;
5. 어떤 요소 a와 a'가 G인 경우, a가 ~ a이면 a가⁻¹ 된다(이것은 실제로 다른 4개로부터 증명될 ^{[note 1][citation needed]}수 있으므로 엄격히 중복된다).

조건 1, 2, 3은 ~가 동등성 관계라고 한다.

합치 ~는 ID 요소에 합치되는 G의 해당 원소의 {a a G : a ~ e} 집합에 의해 전적으로 결정되며, 이 집합은 정상적인 하위그룹이다. 구체적으로는⁻¹ b * a ~ e인 경우에만 ~ b. 그래서 사람들은 집단에 대한 합성에 대해 말하는 대신에 보통 그들 중 정상적인 부분군의 관점에서 말한다. 사실, 모든 합성은 G의 어떤 정상적인 부분군에 독특하게 대응한다.

반지의 이상과 일반 사례

비슷한 수법은 고리 이론의 알맹이를 합치 관계 대신 이상으로, 모듈 이론에서는 합치 관계 대신 하위 계통으로 말할 수 있게 한다.

이러한 트릭이 가능한 보다 일반적인 상황은 오메가 그룹(일반적으로 복수의 아성을 가진 연산자를 허용하는 의미)이다. 그러나 이것은 예를 들어 모노이드로 할 수 없기 때문에 합치관계 연구는 모노이드 이론에서 보다 중심적인 역할을 한다.

유니버설 대수학

합성의 일반적인 개념은 특히 보편적 대수학에서 유용하다. 이 맥락에서 동등한 공식은 다음과 같다.^[4]

대수 A에 대한 합치 관계는 A에 대한 등가 관계인 직접 제품 A × A의 부분집합이며 A × A의 하위집합이다.

동형성의 알맹이는 항상 일치한다. 실제로 모든 합치는 알맹이로 생긴다. 주어진 합치 ~ A에 대해 등가 등급의 A/~에 대해서는 자연적 방식으로 대수 구조인, 즉 지수 대수 구조를 부여할 수 있다. A의 모든 요소를 등가 등급에 매핑하는 함수는 동형이며, 이 동형성의 알맹이는 ~이다.

대수 A에 대한 모든 합치 관계의 격자 콘(A)은 대수학이다.

John M. Howie는 세미그룹 이론이 어떻게 보편적 대수학에서 일치 관계를 묘사하는지 설명했다.

집단에서 조합은 우리가 단일 조합 클래스를 알고 있는 경우, 특히 우리가 정체성을 포함하는 정규 하위 그룹을 알고 있는 경우 결정된다. 이와 유사하게, 링에서 조합은 우리가 0을 포함하는 조합 등급인 이상을 안다면 결정된다. 세미그룹에서는 그런 행운이 일어나지 않으며, 따라서 우리는 그와 같은 합치성을 연구해야 할 필요성에 직면해 있다. 무엇보다 세미그룹 이론의 특징적인 맛을 주는 것이 바로 이 필요성이다. 세미그룹들은 사실 보편적 대수학 방법이 적용되어야 하는 첫 번째이자 가장 단순한 형태의 대수학이다.^[5]

참고 항목

• 합치목표
• 선형합성정리
• 응집 격자 문제

주석

메모들

참조

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (제4.5절에서는 행렬의 일치성에 대해 논의한다.)
• Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.