서브그래프 동형 문제

이론 컴퓨터 과학에서, 서브그래프 동형 문제는 두 개의 그래프 G와 H가 입력으로 주어지는 계산 작업이며, G가 H와 동형인 서브그래프를 포함하는지 여부를 결정해야 한다. 서브그래프 동형 문제는 최대 집단 문제와 그래프가 하미를 포함하는지 테스트하는 문제를 모두 일반화한다.Ltonian 사이클,^[1] 따라서 NP-완전입니다.그러나 서브그래프의 다른 동형사상은 다항식 ^[2]시간에 해결될 수 있다.

같은 문제에 서브그래프 매칭이라는 이름도 사용되는 경우가 있습니다.이 이름은 단순한 결정 문제가 아니라 이러한 하위 그래프를 찾는 데 중점을 둡니다.

의사결정 문제 및 계산 복잡성

서브그래프 동형이 NP-완전임을 증명하기 위해서는 결정문제로 공식화되어야 한다.의사결정 문제에 대한 입력은 그래프 G와 H 쌍이다.H가 G의 서브그래프와 동형이면 문제에 대한 답은 긍정적이고 그렇지 않으면 부정적이다.

정식 질문:

G $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G = ( $V$ , $E$ ) $G=(V,E)$ } , $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ ( $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ , $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ ) { $displaystyle$ H = ( $V$ ^ { \ prime } , $E$ ^ { \ $prime }$ } 를 $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ 그래프로 $G=(V,E)$ .하위 $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ 0 $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ ( $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ 0 , $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ ) $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ 0 $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ 、 $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ 、 E $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ ( $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ × $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ V 0 ) $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ （ { $display$ G $_$ 0 } = ( V $_$ { $0$ , $E$ _ $0$ ) \ $mid$ V_{ $0$ } \ $subseteQ$ , E $_$ 0 $G_{0}=(V_{0},E_{0})\mid V_{0}\subseteq V,E_{0}\subseteq E\cap (V_{0}\times V_{0})$ } $subset$ $f$ V $^{\prime}}:$ { $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ 1, $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ 2 $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ } $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ E 0 $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ { $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ f ( $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ 1 $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ ) 、 $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ ( $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ 2) $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ E ${\$ { style \ { , $v$ _ { { 1 } , $v$ _ 0 \ f ( 1 ) } $\{\,v_{1},v_{2}\,\}\in E_{0}\iff \{\,f(v_{1}),f(v_{2})\,\}\in E^{\prime }$ 、 \ $in$ E $_$ { \ } 、 { $display$ \ display \ { \ { \ { \ { { { $0$ } \ f } } } } } } } } } 、 { \ f 。

서브그래프 동형이 NP-완전이라는 증거는 간단하며, 입력이 단일 그래프 G와 숫자 k인 NP-완전 결정 문제인 NP-완전 결정 문제에 기초하고 있으며, 문제는 G가 k개의 정점을 가진 완전한 서브그래프를 포함하고 있는지 여부이다.이것을 서브그래프 동형 문제로 변환하려면 단순히 H를 완전한 그래프_k K로 합니다.그러면 G와 H의 서브그래프 동형 문제에 대한 답은 G와 k의 동형 문제에 대한 답과 같습니다.clique 문제는 NP-complete이기 때문에 이 다항식 시간 다원 감소는 서브그래프 동형도 NP-complete임을 ^[3]보여준다.

해밀턴 사이클 문제로부터의 대체적인 감소는 해밀턴시티에 대해 테스트해야 할 그래프 G와 H의 쌍으로 변환된다. 여기서 H는 G와 같은 수의 정점을 가진 사이클이다. 해밀턴 사이클 문제는 평면 그래프에서도 NP-완전이기 때문에, 이것은 서브그래프 동형이 NP-완전 ev로 유지됨을 보여준다.en을 클릭합니다.^[4]

서브그래프 동형 문제는 그래프 동형 문제의 일반화로서, G가 H와 동형인지 아닌지를 묻는다: 그래프 동형 문제에 대한 답은 G와 H가 모두 정점과 가장자리의 수가 같고 G와 H에 대한 서브그래프 동형 문제가 참일 경우에만 참이다.그러나 그래프 동형의 복잡성-이론적 상태는 여전히 미해결 질문으로 남아 있다.

monotone 그래프 속성의 쿼리 복잡성에 Aanderaa–Karp–Rosenberg 추측의 맥락에서, Gröger(1992년)이 없는 부분 그래프 동형 이성 문제 질의 복잡성 Ω(n3/2)다, 즉 유질 동상은 알고리즘이 그래프에서 Ω(n3/2) 다른 모서리의 입력의 존재 유무가 확인하는 데 필요한 부분 그래프를 해결하는 것을 보여 주었다.[5]

알고리즘

Ulmann(1976)은 서브그래프 동형 문제를 해결하기 위한 재귀적 역추적 절차를 설명한다.실행 시간은 일반적으로 지수이지만 고정된 H 선택(H 선택에 따라 달라지는 다항식의 경우)에 다항식 시간이 걸립니다.G가 평면 그래프(또는 보다 일반적으로 유계 팽창 그래프)이고 H가 고정되면, 서브그래프 동형의 실행 시간은 ^[2]선형 시간으로 단축될 수 있다.

Ulmann(2010)은 1976년 서브그래프 동형 알고리즘 논문의 실질적인 업데이트이다.

Cordella(2004)는 2004년에 Ulmann의 VF2에 기초한 또 다른 알고리즘을 제안했습니다.이것은, 다른 휴리스틱스를 사용해 미세화 프로세스를 개선하고, 메모리를 큰폭으로 적게 사용하는 것입니다.

Bonnici(2013) harvts 오류: 대상 없음: CITREFBonnici2013(도움말)은 일부 휴리스틱을 사용하여 정점의 초기 순서를 개선하는 더 나은 알고리즘을 제안했다.

적당한 크기의 하드 인스턴스용 최신 솔버의 현재 상태는 Glasgow Subgraph Solver(McCreesh(2020) harvts 오류: no target: CITREFMcCreesh2020(도움말)^[6]입니다.이 솔버는 성능을 위해 비트 병렬 데이터 구조와 특수 전파 알고리즘을 사용하는 제약 프로그래밍 방식을 채택합니다.문제의 가장 일반적인 변형을 지원하며 솔루션을 카운트 또는 열거하고 솔루션이 존재하는지 여부를 판단할 수 있습니다.

대형 그래프의 경우 최신 알고리즘에는 CFL-Match 및 Turboiso가 포함되며 이에 따른 DAF by Han(2019) harvtx 오류: 대상 없음: CITREFHan2019(도움말)

적용들

하위 그래프 동형사상은 화학 정보학 영역에 적용되어 구조 공식에서 화학 화합물 간의 유사성을 찾아냈다. 이 영역에서는 종종 하위 구조 탐색이라는 용어를 사용한다.^[7]쿼리 구조는 구조 편집기 프로그램을 사용하여 그래픽으로 정의되는 경우가 많습니다. SMIELES 기반 데이터베이스 시스템은 일반적으로 SMIELES 확장자를 사용하여 쿼리를 정의합니다.

더 큰 그래프 G에서 그래프 H의 동형 복사 수를 세는 밀접하게 관련된 문제는 ^[8]데이터베이스의 패턴 발견, 단백질-단백질 ^[9]상호작용 네트워크의 생물 정보학, 그리고 소셜 ^[10]네트워크를 수학적으로 모델링하기 위한 지수 랜덤 그래프 방법에 적용되었다.

올리히 외 연구진(1993)은 전자회로의 컴퓨터 지원 설계에서 서브그래프 동형사상의 적용을 설명한다.서브그래프 매칭은 그래프 개서(런타임이 가장 많은 경우)의 하위 단계이므로 그래프 개서 도구에 의해 제공됩니다.

이 문제는 또한 그래프 문제에서 패턴 매칭 배열의 일부로 간주되는 인공지능에도 관심이 있다. 그래프 마이닝으로 알려진 하위 그래프 동형의 확장도 이 영역에서 ^[11]관심사다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Cook-Levin 정리를 증명하는 원본 Cook(1971) 논문은 클리어를 포함한 3-SAT에서 축소를 사용하여 서브그래프 동형성을 NP-완전이라고 이미 보여주었다.
^ ^a ^b Eppstein(1999년);Neshetilil & Osona de Mendez (2012)
^ 를 클릭합니다Wegener, Ingo (2005), Complexity Theory: Exploring the Limits of Efficient Algorithms, Springer, p. 81, ISBN 9783540210450.
^ de la Higuera, Colin; Janodet, Jean-Christophe; Samuel, Émilie; Damiand, Guillaume; Solnon, Christine (2013), "Polynomial algorithms for open plane graph and subgraph isomorphisms" (PDF), Theoretical Computer Science, 498: 76–99, doi:10.1016/j.tcs.2013.05.026, MR 3083515, It is known since the mid-70’s that the isomorphism problem is solvable in polynomial time for plane graphs. However, it has also been noted that the subisomorphism problem is still N P-complete, in particular because the Hamiltonian cycle problem is NP-complete for planar graphs.
^ 여기서 ω 、 Big Omega 표기법을 호출합니다.
^ 실험 평가는 Solnon(2019)을 참조한다.
^ 울만(1976년)
^ Kuramochi & Karypis(2001년).
^ Prjulj, Corneil & Jurisica(2006).
^ 스나이더즈 외 (2006년).
^ http://www.aaai.org/Papers/Symposia/Fall/2006/FS-06-02/FS06-02-007.pdf; 확장판(https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/332302.pdf)

레퍼런스

를 클릭합니다Cook, S. A. (1971), "The complexity of theorem-proving procedures", Proc. 3rd ACM Symposium on Theory of Computing, pp. 151–158, doi:10.1145/800157.805047.
를 클릭합니다Eppstein, David (1999), "Subgraph isomorphism in planar graphs and related problems" (PDF), Journal of Graph Algorithms and Applications, 3 (3): 1–27, arXiv:cs.DS/9911003, doi:10.7155/jgaa.00014.
Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1045-5. A1.4: GT48, 페이지.202.
를 클릭합니다Gröger, Hans Dietmar (1992), "On the randomized complexity of monotone graph properties" (PDF), Acta Cybernetica, 10 (3): 119–127.
Han, Myoungji; Kim, Hyunjoon; Gu, Geonmo; Park, Kunsoo; Han, Wookshin (2019), "Efficient Subgraph Matching: Harmonizing Dynamic Programming, Adaptive Matching Order, and Failing Set Together", SIGMOD, doi:10.1145/3299869.3319880
를 클릭합니다Kuramochi, Michihiro; Karypis, George (2001), "Frequent subgraph discovery", 1st IEEE International Conference on Data Mining, p. 313, CiteSeerX 10.1.1.22.4992, doi:10.1109/ICDM.2001.989534, ISBN 978-0-7695-1119-1.
를 클릭합니다Ohlrich, Miles; Ebeling, Carl; Ginting, Eka; Sather, Lisa (1993), "SubGemini: identifying subcircuits using a fast subgraph isomorphism algorithm", Proceedings of the 30th international Design Automation Conference, pp. 31–37, doi:10.1145/157485.164556, ISBN 978-0-89791-577-9.
를 클릭합니다Nešetřil, Jaroslav; Ossona de Mendez, Patrice (2012), "18.3 The subgraph isomorphism problem and Boolean queries", Sparsity: Graphs, Structures, and Algorithms, Algorithms and Combinatorics, vol. 28, Springer, pp. 400–401, doi:10.1007/978-3-642-27875-4, ISBN 978-3-642-27874-7, MR 2920058.
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Bonnici, V.; Giugno, R. (2013), "A subgraph isomorphism algorithm and its application to biochemical data", BMC Bioinformatics, 14(Suppl7) (13): S13, doi:10.1186/1471-2105-14-s7-s13, PMC 3633016, PMID 23815292
Carletti, V.; Foggia, P.; Saggese, A.; Vento, M. (2018), "Challenging the time complexity of exact subgraph isomorphism for huge and dense graphs with VF3", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 40 (4): 804–818, doi:10.1109/TPAMI.2017.2696940, PMID 28436848
Solnon, Christine (2019), "Experimental Evaluation of Subgraph Isomorphism Solvers", Graph-Based Representations in Pattern Recognition - 12th IAPR-TC-15 International Workshop, GbRPR 2019, Tours, France, June 19-21, 2019, Proceedings, Springer, pp. 1–13, doi:10.1007/978-3-030-20081-7_1
McCreesh, Ciaran; Prosser, Patrick; Trimble, James (2020), "The Glasgow Subgraph Solver: Using Constraint Programming to Tackle Hard Subgraph Isomorphism Problem Variants", Graph Transformation - 13th International Conference, ICGT 2020, Held as Part of STAF 2020, Bergen, Norway, June 25-26, 2020, Proceedings, Springer, pp. 316–324, doi:10.1007/978-3-030-51372-6_19

[1] Cook-Levin 정리를 증명하는 원본 Cook(1971) 논문은 클리어를 포함한 3-SAT에서 축소를 사용하여 서브그래프 동형성을 NP-완전이라고 이미 보여주었다.

[e99-2] Eppstein(1999년);Neshetilil & Osona de Mendez (2012)

[3] 를 클릭합니다Wegener, Ingo (2005), Complexity Theory: Exploring the Limits of Efficient Algorithms, Springer, p. 81, ISBN 9783540210450.

[4] Higuera, Colin; Janodet, Jean-Christophe; Samuel, Émilie; Damiand, Guillaume; Solnon, Christine (2013), "Polynomial algorithms for open plane graph and subgraph isomorphisms" (PDF), Theoretical Computer Science, 498: 76–99, doi:10.1016/j.tcs.2013.05.026, MR 3083515, It is known since the mid-70’s that the isomorphism problem is solvable in polynomial time for plane graphs. However, it has also been noted that the subisomorphism problem is still N P-complete, in particular because the Hamiltonian cycle problem is NP-complete for planar graphs.

[5] 여기서 ω 、 Big Omega 표기법을 호출합니다.

[6] 실험 평가는 Solnon(2019)을 참조한다.

[7] 울만(1976년)

[8] Kuramochi & Karypis(2001년).

[9] Prjulj, Corneil & Jurisica(2006).

[10] 스나이더즈 외 (2006년).

[11] ttp://www.aaai.org/Papers/Symposia/Fall/2006/FS-06-02/FS06-02-007.pdf; 확장판(https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/332302.pdf)

[1]

[2]

[3]

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