정육면체 3개 합

힘의 합계의 수학에서 정수의 세 큐브 합으로 표현할 수 있는 숫자를 특징짓는 것은 개방적인 문제로서, 정수의 양과 음의 정육면체 모두를 허용한다. $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 그러한 합과 같아야$$ 하는 조건은 입방체 모듈로 9가 0, 1, -1이고 이 숫자 중 3개를 합치면 4 또는 5모듈로 9가 되지 않기 때문에 n ${\displaysty n}$이(가) 4 또는 5모듈로 9와 같을$$ 수 없다는 것이다.^[1] 이 필요조건이 충분한지 알 수 없다.

문제의 다양성에는 음이 아닌 정육면체의 합계와 합리적인 정육면체의 합계가 포함된다. 모든 정수는 이성적인 정육면체의 합으로 표현되지만, 음이 아닌 정육면체의 합이 0이 아닌 자연 밀도로 세트를 형성하는지는 알 수 없다.

작은 케이스

세 큐브의 합으로 0을 비경쟁적으로 표현하면 다른 두 큐브의 합과 반대되는 기호를 가질 수 있고 이의 부정은 나머지 두 큐브의 합과 같기 때문에 페르마의 마지막 세 개의 지수 세 개의 정리에 대한 백과사례를 줄 수 있다. 따라서 페르마의 마지막 정리라는 그 사건에 대한 레온하르트 오일러의 증거에 의해,^[2] 사소한 해결책만이 있을 뿐이다.

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

1과 2의 표현에 대해서는 해결책의 무한 제품군이 있다.

${\displaystyle (9}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$ b${\displaystyle }$- 9 ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) 3${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- 9 ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (9b^{4}^{3}}+(3b-9b^{4}})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}($K에 의해^[3] 발견됨). 1936년 말러)

그리고

${\displaystyle (1}$+ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}}$) 3${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}{}^{}}$+${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 6 ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$=${\displaystyle 2}$. ${\displaystyle(1+6c^{3}^{3}}+($1-6c$^{3})^{3}+{$3}+(-$6c^{2})^{3=2.}$ (A.S에 의해^[4] 발견됨) 1908년 베레브루소프, L.J. 모르델^[5] 인용)

큐브 또는 큐브에 두 배인 숫자에 대한 표현을 얻기 위해 크기를 조정할 수 있다.^[5] 1에 대한 다른 표현 및 기타 매개변수화된 표현 패밀리가 존재한다.^[6] 2의 경우, 다른 알려진 표현은^[6][7]

$1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

$\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\310\318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.}$

그러나 1과 2는 이러한 방식으로 4분위 다항식으로 매개변수를 지정할 수 있는 유일한 표현수다.^[5] 루이 J. 모델은 1953년 3명의 표현의 경우에도 작은 해결책보다 더 많은 것을 "나는 아무것도 모른다"고 썼다.

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+{3}+(-5)^{3}=3,}$

이 경우 세 자로 된 각 숫자는 모듈로 9와 같아야 한다는 사실 외에.^[8][9]

첫 번째 피타고라스 세 쌍과 유사하게 특별한 경우의 예: 세 정수의 정육면체 합

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}+5^{3}}=6^{3}}$

계산 결과

1955년 이후, 그리고 모르델의 선동으로 시작하여, 많은 저자들이 이러한 표현에 대한 컴퓨터 검색을 시행해 왔다.^{[10][11][7][12][13][14][15][16][17][18]} 엘센한스 & 야넬(2009)은 격자 감소를 포함하는 노암 엘키스(2000년)의 방법을 사용하여 디오판틴 방정식의 모든 해결책을 찾았다.

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}}=n}$

대부분의 1000에서 긍정적인 n{n\displaystyle}과 최대(x, y, z)<>;100014{\displaystyle \max(x, y, z)<, 10^{14}},[17]만 찬밥 33,42,74,114,165,390,579년, 627,633년, 732년, 795년, 906년, 921년, 그리고 975년 공개로 문제를 위해 n≤ 1000{\displaystylen\leq 1000},, 192,375과 600에 있다.로 주요 원시 솔루션 없음(예: ${\displaystyle gcd(x,}$ ${\displaystyle y,}$ z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}).$ 티모시 브라우닝이 넘버필리에 관한 문제를 취재한 후, Huisman (2016)은 이러한 검색을 ( , ) ${\$ , z$)<10^{15})$로 확대하여 74의 사례를 해결했다

$#\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^^{3}+66\ 229\ 832\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 727^{3}.}$

이러한 검색을 통해, 4 또는 5 modulo 9로 불평등한 < ${\displaystyle n<100}$이(가) 모두 해결책이 있는 것으로 밝혀졌는데, 예외는 33과 42이다.^[18]

2019년에 앤드류 부커는 그 사실을 발견함으로써$$ 사건 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 33}$ ${\displaystyle n=33}$을(를) 해결했다.

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 287\ 5287\{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}}}}$

이를 달성하기 위해 부커는 원래 히스브라운 외 연구진이 제안한 접근방식인 ^[19]최대치가 아닌$$ ${\displaystyle 최소(x}$,${\displaystyle y}$ ,${\displaystyle z}$ )$${\$디스플레이$ 스타일 $\min(x$, $y$, $z$)에 비례한 실행시간을 갖는 대체 검색 전략을 이용했다.^[20] 라는 사실도 알게 되었다.

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571\{3}+2\ 337\ 343\ 323\ 923^{3}}}}}^{3}}}}$

${\displaystyle \mathrm{그리고}}$ n =${\displaystyle }$${\displaystyle {42}^{}}$ ${\$$displaystyle n=42}$ 또는$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ 16 {\$displaystyle$ z $\leq 10^{16}}$을(를) 가진 다른 미해결 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1000}$ ${\displaystyle n\leq 1000}$에 대한 해결책이 없음을 확인하였다$.$

2019년 9월, 부커와 앤드류 서덜랜드는 자선 엔진 글로벌 그리드에서 130만 시간의 컴퓨팅 시간을 사용하여${\displaystyle }n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 42}$ $[\displaystyle$ n$=42}$ 사건을$$ 해결했다.

$#\displaystyle 42=(-80\ 538\ 838\ 012\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^\{3}+12\ 602\ 297\ 335\ 631^{3}}}}}}}$

이전에 알려지지 않았던 몇몇 다른 사례들에 대한 해결책들뿐만 아니라.^[21]

부커와 서덜랜드는 또한 자선 엔진에서 400만 시간의 추가 컴퓨팅 시간을 사용하여 3의 세 번째 표현을 발견했다.

$#\displaystyle 3=569\ 936\ 921\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 493\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 322)^{3}}}}}$^[21][22]

이 발견은 이 문제에 대한 연구의 많은 부분을 자극한 65년 된 루이 J. 모르델의 문제를 해결했다.^[8]

부커는 유튜브 채널 번호판 영상에 출연하는 동안 세 번째의 3번째 표현을 선보이면서 906:

$#\displaystyle 906=(-74\ 924\ 399\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 821\ 089\ 379\ 378^{3}+35\ 979\ 979\ 615\ 356^{3}.}$^[23]

최대 1,000건에 이르는 미해결 사례만 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975개뿐이며, 192, 375, 600에 대해 알려진 원시적 해결책(예: ${\displaystyle gcd(x,}$ ${\displaystyle y,z}$) = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1$ $)$가 없다.^[21][24]

n에 대한 원시적 해결 방법 1 ~ 78
n	x	y	z		n	x	y	z
1	9	10	−12		39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875		42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1		43	2	2	3
6	−1	−1	2		44	−5	−7	8
7	0	−1	2		45	2	−3	4
8	9	15	−16		46	−2	3	3
9	0	1	2		47	6	7	−8
10	1	1	2		48	−23	−26	31
11	−2	−2	3		51	602	659	−796
12	7	10	−11		52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2		53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626		54	−7	−11	12
17	1	2	2		55	1	3	3
18	−1	−2	3		56	−11	−21	22
19	0	−2	3		57	1	−2	4
20	1	−2	3		60	−1	−4	5
21	−11	−14	16		61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827		62	2	3	3
25	−1	−1	3		63	0	−1	4
26	0	−1	3		64	−3	−5	6
27	−4	−5	6		65	0	1	4
28	0	1	3		66	1	1	4
29	1	1	3		69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932		70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528		71	−1	2	4
34	−1	2	3		72	7	9	−10
35	0	2	3		73	1	2	4
36	1	2	3		74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4		75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4		78	26	53	−55

대중의 관심

유튜브 채널 넘버필리의 제작자인 브래디 하란(33)이 티모시 브라우닝과의 인터뷰를 담은 2015년 동영상 '미분할 문제 33'을 시작으로 최근 몇 년간 세 큐브 문제의 합계가 대중화됐다.^[25] 이는 6개월 후 브라우닝과 함께 2016년 위스만의 74용 해법 발견에 대해 토론하는 '74 is Cracked'라는 동영상으로 이어졌다.^[26] 번호필레는 2019년 33년, 42년, 3년 솔루션 발굴을 기념해 관련 영상 '42년은 새로운 33년', '42년의 미스터리는 풀렸다', '3은 3큐브의 합이다' 등 3편을 게재했다.^[27][28][23]

33에 부커의 해결책 기사 콴타 Magazine[29]과 뉴 Scientist[30]에 출연할 뿐 아니라 뉴스 위크지의 기사에서 서덜랜드와 함께 부커의 협력:"...그 수학자 지금 앤드류 서덜랜드 MIT의 시도로 100아래의 최종 해결되지 않은 숫자는 해결책을 찾기에서 일하고 있다고 발표했다 등장했다.:42".[31일] 숫자 42는 1979년 더글러스 애덤스 공상과학소설 '히치하이커의 은하 안내서'에 '생명과 우주, 모든 것의 궁극적인 질문'의 답으로 등장하면서 추가적인 대중적 관심을 갖고 있다.

42에 대한 해결책을 국제 언론 보도의 뉴 Scientist,[34]과학 American,[35]대중 Mechanics,[36]그 Register,[37]다이 Zeit,[38]공작 Tagesspiegel,[39]Helsingin Sanomat,[40]공작 Spiegel,[41]뉴질랜드 Herald,[42]인도 Express,[43]공작 Standard,[44]에 실린 기사를 포함한 부커와 서덜랜드의 announcements[32][33].라스 Provincias,[45]Nettavisen,[46]Digi24,[47]과 BBC월드 S.ervice.^[48] Popular Mechanics는 42를 위한 솔루션을 "2019년 10대 수학 돌파구" 중 하나로 선정했다.^[49]

몇 주 후 부커와 서덜랜드에 의한 모르델의 질문의 해결은 또 다른 뉴스 보도의 계기가 되었다.^{[22][50][51][52][53][54][55]}

제14회 알고리즘 숫자 이론 심포지엄에서 부커가 초청한 강연에서 그는 이 문제에 대한 대중의 관심의 일부와 33과 42에 대한 해결책 발표에 대한 대중의 반응에 대해 토론한다.^[56]

용해성 및 결정성

1992년에 로저 히스 브라운은 4 또는 5 modulo 9로 불평등한$$ $모든{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle n}$은 3 큐브의 합으로 무한히 많은 표현을 가지고 있다고 추측했다.^[57] 이 문제의$$ 사례 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 33}$ ${\displaystyle n=33}$은(는) 숫자 이론에서 불분명하게 해석할 수 없는 문제에 대한 조사의 시작 사례로 비욘 푸넨이 사용했는데, 그 중 힐버트의 10번째 문제가 가장 유명한 예다.^[58] 비록 이 특별한 경우는 그 이후로 해결되었지만, 숫자를 큐브의 합으로 나타내는 것이 디커블이 가능한지는 알 수 없다. 즉, 알고리즘이 모든 입력에 대해 주어진 숫자에 그러한 표현이 있는지 여부를 유한한 시간에 시험할 수 있는지는 알려져 있지 않다. 만약 히스 브라운의 추측이 사실이라면, 그 문제는 분명히 밝혀질 수 있다. 이 경우 알고리즘은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$모듈로$$ 9를 계산하고, 이것이 4 또는 5일 때 거짓을 반환하고, 그렇지 않으면 참을 반환하여 문제를 올바르게 해결할 수 있다. 히스 브라운의 연구는 또한 알고리즘이 단순히 존재 여부를 결정하기 보다는 명시적인 표현을 찾기 위해 어디까지 검색해야 하는지에 대한 더 정확한 추측을 포함하고 있다.^[57]

변형

Waring의 문제와 관련된 이 문제의 변형은 부정 정수의 세 입방체의 합으로 표현하기를 요구한다. 19세기에 칼 구스타프 제이콥 자코비와 협력자들은 이 문제에 대한 해결책의 표들을 정리했다.^[59] 대표할 수 있는 숫자들은 양의 자연 밀도를 가지고 있다고 추측된다.^[60][61] 이는 알려지지 않았지만 Trevor Wowley는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$에서 n ${\displaystyle n}$까지의 숫자 중$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}(n^{}}$ 0${\displaystyle {.917}^{}}$) ${\displaystyle \Oomega(n^{0.917}})}$이(가) 그러한 표현을 가지고$$ 있음을 보여주었다.^[62][63][64] 밀도는 최대$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle 4\mathrm{}}$/ 3${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaystyle \approx }$ 0${\displaystyle .119}$ $(\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\$ 약 0$.119}$이다$.$^[1]

모든 정수는 (정수의 정육면체 합이 아니라) 합리적인 숫자의 정육면체의 합으로 나타낼 수 있다.^[65][66]

참조

외부 링크

• n = x³ + y³ + z의³ 솔루션 0 ≤ n ≤ 99, 히사노리 미시마
• 대니얼 J. 번스타인
• 3 큐브 합, 수학 페이지