슈퍼스트롱 근사치

슈퍼스트롱 근사치는 스펙트럼 갭 결과를 제공하기 위해 대수 그룹 G에서 강한 근사치를 일반화한 것이다.해당 스펙트럼은 이산형 그룹 Ⅱ의 인용구 계열과 연관된 라플라시안 행렬의 스펙트럼이며, 간격은 첫 번째와 두 번째 고유값 사이의 값(첫 번째 고유값이 고유 벡터로서 상수 함수에 해당하도록 표준화)이다.여기서 γ은 G의 합리적 점의 부분군이지만 격자일 필요는 없다. 즉, 이른바 얇은 그룹일 수도 있다.문제의 "갭"은 그러한 고유값의 차이에 대한 하한(절대 상수)이다.

A결과 이 속성의 동등한, 잠재적으로 특별한 선형 군의 정수에 자리 스키 울창한 여러 종파 Γ,과 대수 그룹 G의 더 일반적 등급에 참고, 케일리 그래프의 감축에 대해 순서가 정해진 S가 살고 있는 대칭이 지고 발전 Γ에서 설명하는 존경심을 갖고 나머지 소수 pΓp 있다.셋트는 더 확장된 가족이다.^[1]

이 맥락에서 "강력한 근사치"는 감소했을 때 S가 p 원소가 있는 주요 영역 위에 G의 전체 점 그룹을 생성한다는 진술이다. p가 충분히 클 때.이는 Cayley 그래프가 연결된 것과 동등하며(p가 충분히 큰 경우), 또는 이 그래프에서 국소 상수 함수가 일정하여 첫 번째 고유값에 대한 Eigenspace가 1차원인 것과 같다.따라서 초강력 근사치는 이러한 진술에 대한 구체적인 양적 개선이다.

배경

속성(Property)은 카즈단 재산(T)의 이산 그룹 이론에 나오는 아날로그로, 알렉산더 루보츠키가 소개했다.^[2]γ에서 유한 지수의 주어진 정상 부분군 N 계열의 경우, 하나의 등가 공식은 발전기 S의 고정 대칭 집합에 관해서 모두 γ/N 그룹의 Cayley 그래프가 확장자 계열을 형성한다는 것이다.^[3]따라서 초강근 근사치는 속성(τ)의 공식이며, 여기서 부분군 N은 충분한 primes p를 충분히 큰 환원모듈로의 커널이다.

루보츠키–Weiss 추측에 따르면 이러한 종류의 확장 결과가 S의 선택과 무관하게 유지된다고 한다.적용의 경우 계수가 프라임으로 제한되지 않는 결과를 가지는 것도 관련된다.^[4]

초강력 근사 증명

근사치 결과는 근사치 부분군 및 유한 단순군에서의 성장률을 이용하여 발견되었다.^[5]

메모들

참조

• Breuillard, Emmanuel; Oh, Hee, eds. (2014), Thin Groups and Superstrong Approximation, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-03685-7
• Matthews, C. R.; Vaserstein, L. N.; Weisfeiler, B. (1984), "Congruence properties of Zariski-dense subgroups. I.", Proc. London Math. Soc., Series 3, 48 (3): 514–532, doi:10.1112/plms/s3-48.3.514, MR 0735226