다나카 방정식

수학에서 다나카 방정식은 약한 해법은 인정하지만 강한 해법은 없는 확률적 미분 방정식의 예다. 일본의 수학자 다나카 히로시(타나카 히로시)의 이름을 따서 지은 것이다.

다나카 방정식은 1차원 확률적 미분 방정식이다.

${\daystyle \mathrm {d}X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d}B_{t}}}}$

표준 브라운 운동 B에 의해 구동되며, 초기 조건₀ X = 0으로, sgn은 부호 함수를 나타낸다.

${\displaystyle \sgn}(x)={\display{case}+1,&x\geq 0;\-1,&x<0.\end{case}}}$

(sgn(0)에 대한 파격적인 값을 참고하십시오.) 시그널 함수는 강력한 해결책의 존재와 고유성을 보장하는 일반적인 이론에 필요한 립스치츠 연속성 조건을 만족시키지 못한다. 다나카 방정식에는 강력한 해법이 없다. 즉, 브라운 운동 버전 B가 미리 주어지고 솔루션 X가 B에 의해 생성되는 여과와 초기 조건에 적응하는 해법이 있다. 그러나, 다나카 방정식은 약한 해답을 가지고 있는데, 그 해법은 브라운의 움직임의 프로세스 X와 버전이 모두 선험적으로 주어지는 것이 아니라 해결책의 일부로 명시되어 있다. $이{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 경우 브라운 모션 $B{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ {$B}$이(가) 되도록 X를 선택하고 B$$ ~${\$ {$B}$을(를) 정의하십시오$$.

${\displaystyle {\tilde {B}}_{t}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}{\hat {B}}_{s}{\big )}\,\mathrm {d} {\hat {B}}_{s}=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} {\big (}X_{s}{\big )}\,\mathrm {d} X_{s},}$

즉

${\daystyle \mathrm {d} {\tilde {B}_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d}X_{t}.}$

그러므로,

${\daystyle \mathrm {d}X_{t}=\operatorname {sgn}(X_{t})\,\mathrm {d} {\tilde{B}_{t}}}}$

그래서 X는 다나카 방정식의 약한 해법이다. 더욱이, 이 해결책은 약하게 독특하다. 즉, 다른 어떤 약한 해결책도 동일한 법칙을 가져야 한다.

참조

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (예: 5.3.2)