덴넨바움 정리

1959년 정리를 제시한 스탠리 텐넨바움(Stanley Tennenbaum)의 이름을 딴 텐넨바움의 정리는 1차 순서 페아노 산술(PA)의 계산 가능한 비표준 모델은 재귀할 수 없다는 수학적 논리의 결과(Kaye 1991:153ff)이다.

PA용 재귀 구조

만약 재귀적 기능 ⊕{\oplus\displaystyle}과⊗{\displaystyle \otimes}N에서×N{\displaystyle \mathbb{N}\times N{\displaystyle \mathbb{N}에{N}}},는 귀납적인two-place 관계<>MN의{\d은 1939년의 언어의 구조 M{M\displaystyle}재귀적으로 적용됩니다.ispl$aystyle \mathbb {N}$ $\}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$과 같은$$ 고유 ${\displaystyle {상수\mathrm{}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$0, ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$},$n_{1}.$

${\displaystyle(\mathb {N} ,\oplus ,\otimes ,<_{M},n_{0},n_{1})\cong M,}$

$여기$서 $\cong {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cong }$은(는) 이형성을 나타내고$$ N ${\$\mathb{$N}은($표준$$) 자연수의 집합이다.이소모르퍼시즘은 반드시 편향적이어야 하기 때문에 모든 재귀적 모델은 셀 수 있다.PA에는 많은 비이성형 계수형 비표준 모델이 있다.

정리명세서

Tennenbaum의 정리에는 PA의 어떤 계산 가능한 비표준 모델도 재귀적이지 않다고 명시되어 있다.더욱이 그러한 모델의 덧셈이나 곱셈은 재귀적일 수 없다.

교정 스케치

이 스케치는 케이(1991)가 제시한 주장을 그대로 따른다.입증의 첫 번째 단계는 M이 계산 가능한 PA의 비표준 모델이라면 M의 표준 시스템(아래 정의)이 적어도 하나의 비반복 집합 S를 포함하고 있음을 보여주는 것이다.두 번째 단계는 M에 대한 덧셈 또는 곱셈 연산 중 하나가 재귀적이라면, 이 집합 S가 재귀적이 된다는 것을 보여주는 것이다. 이것은 모순이다.

순서 튜플을 코드화하는 데 사용되는 방법을 통해 각 $원소{\displaystyle }$ x${\displaystyle m}$ M ${\displaystyle x\in$ M$}$을(를) M 원소의 $세트$ S ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에 대한 코드로 볼 수 있다$$.In particular, if we let ${\displaystyle p_{i}}$ be the ith prime in M, then ${\displaystyle z\in S_{x}\leftrightarrow M\vDash p_{z} x}$. Each set ${\displaystyle S_{x}}$ will be bounded in M, but if x is nonstandard then the set ${\displaystyle S_{x}}$ may contain i완전히 많은 표준 자연수The standard system of the model is the collection ${\displaystyle \{S_{x}\cap \mathbb {N} :x\in M\}}$. It can be shown that the standard system of any nonstandard model of PA contains a nonrecursive set, either by appealing to the incompleteness theorem or by directly considering a pair of recursively inseparable예: 세트(Kaye 1991:154)These are disjoint r.e. sets ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {N} }$ so that there is no recursive set ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {N} }$ with ${\displaystyle A\subseteq C}$ and ${\displaystyle B\cap C=\emptyset }$.

후자 구조에서는 반복적으로 분리할 수 없는 한 쌍의 r, 즉 집합 A와 B로 시작한다.자연 동안 x, 형{\displaystyle i\in}∈ y과 같이 모든 나는 <, x, iy{\displaystyle p_{나는}는 y}과 만약 내 B{\displaystyle i\in B}∈ iy{\displaystyle p_{나는}\nmid는 y}∤ p.p은 오버 스필 속성까지, 이게 그곳에는 M에 아닌 x은이 하나다. 것을 의미하죠 (반드시 비표준) M의 y를 입력하여 < M < ${\displaystyle m<_{M}x}$이(가) 있는 $모든{\displaystyle }$ m ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m\in$ M$}$에 대해 다음을 수행하십시오

${\displaystyle M\vDash(m\in A\to p_{m}y)\land(m\in B\to p_{m}\nmid y)}$

Let $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$ S$=\mathb {N} \cap S_{y}}$ \cap S_{y}}는 M의 표준 시스템에서 설정된 것과 같다$$.A와 B가 r이기 때문에 $A{\displaystyle \mathrm{and}}$ S ${\displaystyle A\subseteq S}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle S}$= ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle B=\cap$ S$=\empt }}$을(를) 나타낼 수 있다$.$ 따라서 S는 A와 B의 분리 집합이며, A와 B의 선택에 의해 S가 불가항력을 의미한다.

이제 테넨바움의 정리를 증명하기 위해, S =${\displaystyle N\mathbb{}}$m S$$ {\$displaystyle$ S$=\mathb{N} \cap S_{a$} \cap S_{a$}$가 반복되지 않도록$$ 비표준 계수형 모델 M과 요소 a ${\displaystyle {in}_{}}$ M으로 시작한다.증명방법은 표준 시스템이 정의되는 방식 때문에, 오라클로서 M의$$ 덧셈 함수${\displaystyle }${ ${\displaystyle \oplus }$을(를) 사용하여 세트 S의 특성 기능을 계산할 수 있음을 보여준다.In particular, if ${\displaystyle n_{0}}$ is the element of M corresponding to 0, and ${\displaystyle n_{1}}$ is the element of M corresponding to 1, then for each ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ we can compute ${\displaystyle n_{i}=n_{1}\oplus \cdots \oplus n_{1}}$$$ (i times).숫자 n이 S에 있는지 확인하려면 먼저 p를 계산하십시오. $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 n번째 prime$.$ 그런 다음 M의 요소 y를 검색하여

${\displaystyle a=\underbrace {y\oplus y\oplus \cdots \oplus y} _{p{\text}}}\oplus n_{i}}}}$

어떤 $[\displaystyle i[p$를 위해서.유클리드 알고리즘이 PA의 어떤 모델에나 적용될 수 있기 때문에 이 검색은 중단될 것이다.마지막으로 검색에서 찾은 값이 0인 경우에만$$ n${\displaystyle n}$ S ${\displaystyle n\in S}$이(가) 있다.S는 재귀적이지 않기 때문에 M에 대한 추가작전이 비재귀적이라는 뜻이다.

유사한 논거로 M의 곱셈을 오라클로서 사용하여 S의 특성함수를 계산할 수 있다는 것을 알 수 있으므로 M의 곱셈 연산도 비반복적이다(Kaye 1991:154).

참조