횡단성 정리

미분위상에서는 프랑스 수학자 르네 톰의 이름을 따서 톰 트랜스퍼리티 정리라고도 하는 횡단성 정리는 평탄한 지도 계열의 횡단 교차로 특성을 설명하는 주요 결과물이다.횡단성은 일반적인 속성이라고 한다: 어떤 $평활$도 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ $[\displaystyle f\colon X\wrightarrow$ Y$\}$는 임의의 소량으로 임의의 소량으로 주어진 $서브매니폴드{\displaystyle }$ Z ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z\subseteq Y}$에 가로로 변형될 수 있다. 폰트리아긴과 함께톰 건설, 그것은 거미줄 이론의 기술적 핵심이며, 수술 이론의 출발점이다.횡단성 정리의 유한차원 버전은 한정된 수의 실제 매개변수에 의존하고 비선형 방정식 시스템을 사용하여 표현 가능한 특성의 생성성을 확립하는 데 매우 유용한 도구이기도 하다.이것은 전이성 정리의 무한 차원 버전을 사용하여 무한 차원 파라메트리제이션으로 확장될 수 있다.

유한차원 버전

이전 정의

Let ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ be a smooth map between smooth manifolds, and let ${\displaystyle Z}$ be a submanifold of ${\displaystyle Y}$. We say that ${\displaystyle f}$ is transverse to ${\displaystyle Z}$, denoted as ${\displaystyle f\pitchfork Z}$, if and only if for e${\displaystyle {}^{}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle Z}$ )${\$)}이$($가) 있음$$

${\\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+$$T_{f\왼쪽(x\오른쪽)Z=$$T_{f\왼쪽(x\오른쪽)}$$Y}$ $.$

횡단성에 대한 중요한 결과는 $평활$도 f ${\displaystyle f}$이$($가) $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$에 가로로 되어$$ 있는 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$f - ${\displaystyle 1^{}(Z}$ )$${\$displaystyle$f^{-$1}\좌측(Z\right$$)}$이(가) X {\displaystysty $X}$의 일반 하위 manifold라는 것이다$.$

If ${\displaystyle X}$ is a manifold with boundary, then we can define the restriction of the map ${\displaystyle f}$ to the boundary, as ${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$. The map ${\displaystyle \partial f}$ is smooth, and it allows us to state an extension of the previous resUlt: f ${\displaystyle f}$Z ${\displaystyle$ $f\pitchfork$ Z$} 및$${\displaystyle \mathrm{}}$and$$ f ${\displaystyle f}$Z ${\displaystyle \partial f\pitchfork Z$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$1 ( ${\displaystyle Z}$) ${\$$($$Z\right)$은 경계와 함께$$ $X$의 일반 하위 관리인 경우$$

${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( Z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle {}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}Z}$) = ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$ ( Z ) ${\displaystyle \mathrm{\cap }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \partial$ f$^{-1}\좌측(Z\$오른쪽$)=f^{-1}\좌측(Z\오른쪽)\cap \partial$ X$}$.

파라메트릭 횡단성 정리

지도 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S}$→ Y $[\displaystyle F\colon X\times$ S$\\wrightarrow$ Y$}$를 고려하여 f (${\displaystyle {}_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x}$, s ) $displaystyle f_{s$}\$왼쪽(x\right)=$를 정의하십시오.$F\left(x,s\right$${\displaystyle \mathrm{이렇게}}$ 하면 매핑 f ${\displaystyle s_{}}$ :${\displaystyle {}_{}X}$→ Y ${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$가 생성된다$.$ 우리는 $S{\displaystyle }$ ${\displaysty S}$이(가) (매끄러운) 다지관이고$$F {\$displaysty F}$이($가{\displaystyle }$) 매끄러운 것으로$$ 가정하여 패밀리가 부드럽게 변화할 것을 요구한다.

파라메트릭 횡단성 정리의 문구는 다음과 같다.

$F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$$$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S}$→ Y ${\displaystyle F\colon X\times$ S$\\wrightarrow Y}$이(가) $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $X$$}$만 경계가$$ 있는 다지관의 매끄러운 지도라고$$ 가정하고, $Z{\displaystyle }$$${\$displaysty$ J$}$을 경계 $없이$$$Y}의 하위 관리자로$$ 두도록 한다.If both ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle \partial F}$ are transverse to ${\displaystyle Z}$, then for almost every ${\displaystyle s\in S}$, both ${\displaystyle f_{s}}$ and ${\displaystyle \partial f_{s}}$ are transverse to ${\displaystyle Z}$.

보다 일반적인 횡단성 이론

위의 파라메트릭 횡단성 정리는 많은 초등 응용에 충분하다(길레민과 폴락의 책 참조).

파라메트릭 트랜스퍼리티 정리를 암시하는 보다 강력한 진술(총칭적으로 트랜스퍼리티 이론으로 알려져 있음)이 있으며, 보다 진보된 애플리케이션에 필요하다.

비공식적으로, "트랜스버시티 정리"는 주어진 서브매니폴드에 가로지르는 매핑 집합은 밀도 있는 개방(또는 경우에 따라서는, 밀도 있는 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\}\}\}\})$이라고 기술하고 있다.이러한 문구를 정밀하게 만들기 위해서는 고려 중인 매핑의 공간, 그리고 그 안에 있는 위상이 무엇인지를 정의할 필요가 있다.몇 가지 가능성이 있다; 허쉬의 책을 보라.

톰의 횡단성 정리로 보통 이해되는 것은 제트 횡단성에 관한 보다 강력한 진술이다.허쉬의 책과 골루비츠키와 길레민의 책을 보라.원래의 참조는 Thom, Bol. Soc. Mat. Mat. Mexicana(2) 1 (1956), 페이지 59–71이다.

존 매더는 1970년대에 멀티제트 전이성 정리라고 불리는 훨씬 더 일반적인 결과를 증명했다.Golubitsky와 Guillemin의 책을 보라.

무한 차원 버전

횡단성 정리의 무한 차원 버전은 다지관이 바나흐 공간에서 모델링될 수 있다는 점을 고려한다.^{[citation needed]}

형식명세서

$F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\times S\$$to$ $Y}$이$($가) $C{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$k ${\$$displaystyle C$$^{\infult }}$의 C ${\displaystyle k^{}}$ {\$displaystyle$ C^{\banach 다지관 지도라고$$ 가정합시다.가정:

($i{\displaystyle }$) X${\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,S}$ $및$ Y ${\displaystyle Y}$은(는) 비어 있지 않고 메트리징 가능한 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ C$^{\inflt$} 필드 $위$에 차트 공간이 있는 Banach$$ 다지관이다${\displaystyle .}${\$displaystyty \mathb$ {K$}$

(ii$)$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle$ $c$$^{k}$ ${\displaystyle \mathrm{-map<img\; alt="C^\{k\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/167fdb0cfb5644c4623b5842e1a9141acd83b534"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.887ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="155">}}$ F${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S}$→ Y ${\displaystyle F:X\times S\to Y},$ k ≥ 1 {\$displaysty$ k$\geq 1}$은 $y{\displaystyle }$ ${\displaystysty y}$을 정규값으로$$ 한다.

(iii) For each parameter ${\displaystyle s\in S}$, the map ${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$ is a Fredholm map, where ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$ for every ${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).$$}$

(iv) The convergence ${\displaystyle s_{n}\to s}$ on ${\displaystyle S}$ as ${\displaystyle n\to \infty }$ and ${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$ for all ${\displaystyle n}$ implies the existence of a convergent subsequence ${\displaystyle x_{n}\to x}$$x{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$x ${\displaystyle x}$가 있는$$ n${\displaystyle }$→$displaystyle n\to \inflt }($으)로 표시됨${\displaystyle .}$【\$displaystyle$ x$\in X.}$

(i)-(iv)가 유지되는 경우, 열려 있고 밀도가 높은 서브셋 S ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{0}\subset S}$이(가) 존재하므로 $y{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle y}$은(는) 각 매개 변수 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystystyle f_{s}$의 정규 값이다$$.

Now, fix an element ${\displaystyle s\in S_{0}.}$ If there exists a number ${\displaystyle n\geq 0}$ with ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$ for all solutions ${\displaystyle x\in X}$ of ${\displaystyle f_{s}(x)=y}$, then the solution${\displaystyle \mathrm{set}}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}_{}^{}}$- 1${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle }${ y ${\displaystyle \}}$) ${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})$는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -dension$$ c ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ -Banach$$ 매니폴드로 구성되거나$$ 솔루션 세트가 비어 있음

Note that if ${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$ for all the solutions of ${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$ then there exists an open dense subset ${\displaystyle S_{0}}$ of ${\displaystyle S}$ such that there are at most finitely many solutions for each fixed$매개{\displaystyle }$ 변수 s ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$. ${\displaystyle$ s$\in$S_{$0}.$ 게다가$$ 이 모든 솔루션은 규칙적이다.

참조

• Arnold, Vladimir I. (1988). Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Springer. ISBN 0-387-96649-8.
• Golubitsky, Martin; Guillemin, Victor (1974). Stable Mappings and Their Singularities. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90073-X.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Differential Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris W. (1976). Differential Topology. Springer. ISBN 0-387-90148-5.
• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Commentarii Mathematici Helvetici. 28 (1): 17–86. doi:10.1007/BF02566923.
• Thom, René (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Nonlinear Functional Analysis and Its Applications: Part 4: Applications to Mathematical Physics. Springer. ISBN 0-387-96499-1.