프레드홀름 연산자

수학에서 프레드홀름 연산자는 적분 방정식의 프레드홀름 이론에서 발생하는 특정한 연산자다.그것들은 에릭 이바르 프레드홀름을 기리기 위해 이름 지어졌다.By definition, a Fredholm operator is a bounded linear operator T : X → Y between two Banach spaces with finite-dimensional kernel ${\displaystyle \ker T}$ and finite-dimensional (algebraic) cokernel ${\displaystyle \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {ran} \,T}$, and with closed range ${\displaystyle \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}T}$${\displaystyle \mathrm {ran} \,T$ 마지막 조건은 사실 중복이다.^[1]

프레드홀름 연산자의 색인은 정수다.

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} \,T}$

아니면 다른 말로 하자면

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T.}$

특성.

직관적으로 프레드홀름 연산자는 "한정차원의 효과가 무시되는 경우"라는 불가역적인 연산자다.정식으로 올바른 진술이 뒤따른다.Banach 공간 X와 Y 사이의 경계 연산자 T : X → Y는 변환 불가능한 모듈로 소형 연산자, 즉 경계 선형 연산자가 존재하는 경우에만 프레드홀름이다.

${\디스플레이 스타일 S:Y\to X}$

그런

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}\qad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

각각 X와 Y의 콤팩트 연산자.

프레드홀름 운영자가 약간 수정되면 프레드홀름에 머무르며 그 지수는 그대로 유지된다.공식:X에서 Y까지의 프레드홀름 연산자 집합은 바운드 선형 연산자의 Banach 공간 L(X, Y)에 개방되어 연산자 규범을 갖추고 있으며, 지수는 국소적으로 일정하다.보다 정확히 말하면, T가₀ X에서 Y까지 프레드홀름이라면, T₀ - T < ε이 있는 L(X, Y)의 모든 T가 프레드홀름일 정도로 ε > 0이 존재하며, T와₀ 동일한 지수를 가진다.

T가 X에서 Y로 프레드홀름, Y에서 Z로 U 프레드홀름일 때, $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U\circul$ T$}$는 X에서 Z로 프레드홀름이고

${\displaystyle \mathrm {ind}(U\circule T)=\mathrm {ind}(U)+\mathrm {ind}(T).}$

T가 프레드홀름일 때 전치(또는 조정) 연산자 T ′은 Y ′에서 X ′까지 프레드홀름이고, ind(T) = -ind(T)이다.X와 Y가 힐베르트 공간일 때, 은둔자 부선^∗ T에 대해 동일한 결론이 내려진다.

T가 프레드홀름이고 K가 콤팩트 연산자일 때 T + K가 프레드홀름이다.그러한 T의 콤팩트한 동요하에서도 T의 지수는 변동이 없다.이는 T + s K의 지수 i(s)가 [0, 1]의 모든 s에 대해 정의된 정수라는 사실과 i(s)가 국소적으로 일정하므로 i(1) = i(0)가 된다.

동요에 의한 불변성은 소형 연산자의 클래스보다 큰 클래스에 적용된다.예를 들어 U가 프레드홀름이고 T가 엄격히 단수 연산자일 때 T + U가 같은 지수의 프레드홀름이다.^[2]엄밀히 말하면 단수 연산자의 클래스를 적절히 포함하고 있는 본질적이지 않은 연산자의 클래스는 프레드홀름 연산자의 "Perturvation class"이다.즉, 모든 Fredholm ${\displaystyle \mathrm{운영자}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$,${\displaystyle Y}$) {\$displaystyle$U\in B$}$에 대해 T+U가 Fredholm인 경우에만 $운영자{\displaystyle }$ T$$ B${\displaystyle }$($X$, $Y$${\displaystyle )}$$${\$displaystyle U\in B(X,$Y)}이(Y$)$가 필수적이지$$ 않음을 의미한다$.$

예

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 음이 아닌 정수로 인덱싱된$$ 정형근거${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \{e_{n}\}}}$을(를) 가진 힐버트 공간이 되도록$$ 한다.H의 (우측) 시프트 연산자 S는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle S(e_{n}=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

이 연산자 S는 주입식(실제로 등축)이고 코드 1의 폐쇄 범위를 가지므로, S는 ${\displaystyle \mathrm{in}}$ d${\displaystyle }$( ${\displaystyle S}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {ind}(S)=-1}$의 프레드홀름이다$.$파워스 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ S$^{k$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle k\geq$ 0$}$은$($는) Fredholm이고$,{\displaystyle }$ 인덱스 - ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle -k}$이(가) 있다$.$ 조정자 S*는 왼쪽 시프트다.

${\displaystyle S^{*}{0}=0,\\\ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

왼쪽 시프트 S*는 지수 1을 가진 프레드홀름이다.

H가 복잡한 평면의 단위 원 T에 있는$$ 고전적인 Hardy $공간{\displaystyle {}^{}}$ H${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle T\mathbf{}}$ )$${\$displaystyle H^{2}(\mathbf {T}$ )인 경우, 복잡한 지수들의 직교 기준과 관련된 시프트 연산자

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {i}t} ^{\mathbf {T} \rightarrow \mathram {e}^{\mathrmatrm {i}nt}\quad n\geq 0,\,\,}$

그 곱셈 연산자 Mφ은 함수와 함께 φ)e1{\displaystyle\varphi =e_{1}}. 더 일반적으로, T에 T{\displaystyle \mathbf{T}에}, Tφ 상징 φ과 테플리츠 연산자, φ에 의해 증식된 직교 projecti으로 동등한 의미 알려 주세요 사라지지 않는다 φ 복잡한 연속 함수죠.에${\디스플레이 스타일$$L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$:

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\rightarrow P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrmatrm {T} )\,}$

Then T_φ is a Fredholm operator on ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$, with index related to the winding number around 0 of the closed path ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$: the index of T_φ, as defined in this article, is the opposite of this winding number.

적용들

모든 타원 연산자는 프레드홀름 연산자로 확장할 수 있다.부분 미분 방정식에서 프레드홀름 연산자를 사용하는 것은 파라메트릭스 방법의 추상적인 형태다.

아티야-싱어 지수 정리는 다지관의 특정 연산자 지수에 대한 위상학적 특성을 제공한다.

아티야-제니치 정리는 X에서 프레드홀름 연산자 H→H의 공간에 이르는 연속 지도의 호모토피 클래스 집합으로 콤팩트 위상학적 공간 X의 K-이론적 K(X)를 식별한다. 여기서 H는 분리 가능한 힐버트 공간이며 이들 연산자의 집합은 연산자 규범을 운반한다.

일반화

B-프레드홀름 연산자

For each integer ${\displaystyle n}$, define ${\displaystyle T_{n}}$ to be the restriction of ${\displaystyle T}$ to ${\displaystyle R(T^{n})}$ viewed as a map from ${\displaystyle R(T^{n})}$ into ${\displaystyle R(T^{n})}$ ( in particular ${\displaystyle T_0}$${\displaystyle =}$ T ${\displaystyle T_{0}=T}$ $$.일부 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우 공간 $R{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle R(T^{n}})$이 $닫히고$ T ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle T_{n}$이 프레드홀름 연산자라면 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyty T}$은 B-Fredholm 연산자라고 불린다.B-프레드홀름 연산자 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 지수는 $프레드홀름{\displaystyle {}_{}}$ 연산자 T ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 지수로 정의된다$.$ 이 지수는 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn$ n$}$과(와) 독립되어 있음을 보여준다$.$ M에 의해 B-프레드홀름 연산자가 도입되었다.1999년 프레드홀름 운영자의 일반화로서 베르카니.^[3]

세미프레드홀름 연산자

경계 선형 연산자 T는 범위가 닫히고 ker${\displaystyle \ker }$ T ${\displaystyle \ker$ T$\},$ $co{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ e ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathrmethrm$ {coker} \,$T}$ 중 적어도 하나가 유한 차원일$$ 경우 반프레드홀름이라고 한다.반프레드홀름 연산자의 경우 인덱스는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \mathrm {coker} \,T,&\dim \ker T+\dim \mathrm {coker} \,T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \mathrm {coker} \,T=\infty .\end{cases}}}$

언바운드 연산자

또한 무한 프레드홀름 연산자를 정의할 수도 있다.X와 Y를 두 개의 바나흐 공간이 되게 하라.

1. 닫힌 선형 $연산자{\displaystyle }$T :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ T$:\,X\to$ Y$}$는 그 $도메인{\displaystyle \mathfrak{}}$ D${\displaystyle }$($){\displaystyle {\d}(T)$가 X ${\displaystyle X}$에 밀도가$$있고$$ 범위가 닫혔으며 T의 커널과 코커넬 모두 유한 차원일 경우 프레드홀름이라고 불린다$$.
2. ${\displaystyle T}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ 도메인 $D{\displaystyle \mathfrak{}}$($){\displaystyle {\mathfak{D}(T)}$이$($가) X ${\displaysty X}$에 밀도가 있고$$ 범위가 닫혔으며 T(또는 둘 다)의 커널 또는 코커넬이 유한한 경우 세미프레드홀름이라고 한다$$.

위에서 언급한 바와 같이, 코커넬이 유한한 치수(에드문드와 에반스, 정리 I.3.2)인 한 폐쇄 연산자의 범위는 폐쇄된다.

메모들

위키북 기능 분석에는 프레드홀름 이론이라는 주제에 관한 페이지가 있다.

참조

• D.E. Edmunds와 W.D.에반스(1987), 스펙트럼 이론과 미분 운영자 옥스퍼드 대학 출판부. ISBN0-19-853542-2.
• A. G. 램, "프레드홀름 대안의 간단한 증명과 프레드홀름 연산자의 특성화", 미국 수학 월간지, 108(2001) 페이지 855 (NB: 이 논문에서 "프레드홀름 연산자"라는 단어는 "지수 0의 프레드홀름 연산자"를 가리킨다.
• Weisstein, Eric W. "Fredholm's Theorem". MathWorld.
• B.V. Khvedelidze (2001) [1994], "Fredholm theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 브루스 K.드라이버, "Compact and Fredholm Operators and the Spectrum Organization", 애플리케이션 분석 도구, 35장, 페이지 579–600.
• 로버트 C.맥오웬 "완전한 리만 다지관에 대한 부분 미분방정식의 프레드홀름 이론", 태평양 J.수학 87, 1번(1980), 169–185.
• Tomasz Mrowka, 선형 분석에 대한 간략한 소개: 프레드홀름 오퍼레이터, 다지관의 기하학, 2004년 가을(매사추세츠 공과대학교: MIT 오픈커즈웨어)