토너먼트(그래프 이론)

토너먼트
토너먼트
	4개의 꼭지점에서의 토너먼트
꼭지점
가장자리
	그래프 및 매개 변수 표

토너먼트는 무방향 완전 그래프에서 각 에지에 대한 방향을 할당하여 얻은 방향 그래프(디그래프)입니다.즉, 완전한 그래프 또는 동일한 방향 그래프로 구분되는 모든 정점 쌍이 두 가지 가능한 방향 중 하나와 방향 가장자리(종종 호라고 함)로 연결된 방향 그래프입니다.

토너먼트의 많은 중요한 특성들은 닭 떼의 지배 관계를 모델링하기 위해 란다우의 H. G. Landau에 의해 처음 조사되었다.현재 토너먼트의 응용 분야에는 투표 이론과 사회적 선택 이론 연구가 포함된다.

이름 토너먼트는 이러한 그래프가 모든 플레이어가 상대 선수를 정확히 한 번 마주치고 무승부가 발생하지 않는 라운드 로빈 토너먼트의 결과로 해석한 것에서 유래한다.토너먼트 디그래프에서 꼭지점은 플레이어와 일치합니다.각 선수 쌍 사이의 가장자리는 승자부터 패자까지이다. $만일$ $A$ 선수가 $a$ $b$ B $선수를 이긴다면$ $,$ A 선수가B $a$ $선수$ 를 $이긴다고$ 하며, 모든 선수가 같은 수의 다른 선수를 이긴다면(아마도 = 아웃도)

경로와 사이클

정리 - 한정된 $수의$ 정점 n ${displaystyle$ n $}$ 에 $토너먼트$ 는 해밀턴 경로, 즉 모든 n{ $displaystyle$ n $}$ 개의 $n$ $n$ 정점에 대한 방향 경로를 포함합니다(Rédei 1934).

a

는

v

와₃ v

사이

에₂ 삽입됩니다.

이는 n $\displaystyle$ n $n$ $n$ 이 n $\displaystyle$ n에 $n$ 되고 n $(\displaystyle$ n+1 $)$ 정점의 $n+1$ $n+1$ T $(\displaystyle$ T $)$ 를 $T$ 고려한다고 가정하면 쉽게 알 수 있습니다. $v_{0}$ ${\$ $v_{0}$ T $}$ 의 $v_{0}$ $T$ $정점v$ 0 $(\$ $v_{0$ $})$ 을 선택하고 T $T\setminus \{v_{0}\}$ { $T\setminus \{v_{0}\}$ 0 $}$ {\ $displaystyle$ T\ $setminus \{0$ 의 방향 $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ , $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ $v_{2},\ldots, v_{n}$ 을 $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ 검토합니다. $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $i\in \{0,\ldots ,n\}$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ v $i\in \{0,\ldots ,n\}$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $i\in \{0,\ldots ,n\}$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ ) $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ + $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $)$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ = $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ ) { $displaystyle$ ( $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ i → 0 \ v $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ _ { $i$ $(i=0\vee v_{i}\rightarrow v_{0})\wedge (v_{0}\rightarrow v_{i+1}\vee i=n)$ } \ $i\in \{0,\ldots ,n\}$ $rightrow$ v $_ 0$ \ $0$ } ( i $=$ 0 \ v _ { i $}$ \ $displaystyle$ ( i → 0 \ $v$ _ { i } \ v _ { i } \ $right$ } )mal은 $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ j $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ $j\leq i,v_{j}\rightarrow v_{0}$ { $displaystyle$ j $\leq$ i, $\forall j>i,v_{0}\rightarrow v_{j}$ ${j}\rightarrow v_{0$ 에 대해 $\forall j>i,v_{0}\rightarrow v_{j}$ , v $\forall j>i,v_{0}\rightarrow v_{j}$ $\forall j>i,v_{0}\rightarrow v_{j}$ $\forall j>i,v_{0}\rightarrow v_{j}$ j $\forall j>i,v_{0}\rightarrow v_{j}$ { $displaystyle \forall$ j $>i, v_0}\rightarrow v_{j$ 이 되도록 $i$ $합니다$ .

\displaystyle v_{1},\ldots,v_{i},v_{0},v_{i+1},\ldots,v_{n}

는 필요에 따라 다이렉트 패스입니다.이 인수는 해밀턴 경로를 찾기 위한 알고리즘도 제공합니다.보다 효율적인 알고리즘은 엣지 $O(n\log n)$ 중 $O(n\log n)$ ( $O(n\log n)$ $O(n\log n)$ n )(\ $displaystyle O(n\$ log n)만 $O(n\log n)$ 검사해야 합니다.해밀턴 경로는 ^[1]토너먼트의 최소 피드백 아크 세트와 일대일로 대응합니다.

토너먼트의 또 다른 기본적인 결과는 강하게 연결된 모든 토너먼트가 해밀턴 사이클(Camion 1959)을 가지고 있다는 것이다.더 강하게, 모든 강력하게 연결되어 토너먼트 향점 pancyclic:각 꼭지점 v{\displaystyle v}, 그리고 세명 vertices의 토너먼트에서 수까지의 범위에서 각 k{k\displaystyle}에는 길이 k{k\displaystyle}한 대회 T{\displa .[2]v{\displaystyle v}이 함께 모인 주기가 있다.ys $Tyle$ T는 $T$ k $(\displaystyle$ k $)$ - T $(\displaystyle$ T $T$ 의 $(\displaystyle k-1)$ 정점의 $k-1$ $k-1$ $(\displaystyle$ U $)$ 에 $U$ 대해 T $T-U$ - U $(\displaystyle T-U)$ 가 $T-U$ 강하게 연결되어 있는 경우 $k$ (\displaystyle k)입니다 $k$ .토너먼트가 4강으로 연결되어 있는 경우, 각 정점 쌍을 해밀턴 경로로 연결할 수 있다(Thomassen 1980).k $(\displaystyle$ k $)$ - 견고하게 $k$ $k$ 된 $T$ (\ $displaystyle$ T)의 $k-1$ $세트$ B(\ $displaystyle$ k-1 $)$ 에 $B$ $k-1$ 대해 $T-B$ T - $T-B$ $(\$ $displaystyle T-B)$ 의 $T-B$ 해밀턴 사이클이 있습니다.이 결과는 확장되었습니다.

이동성

8개의 꼭지점에서의 전이 토너먼트.

$((a\rightarrow b)$ $((a\rightarrow b)$ ) $((a\rightarrow b)$ { $displaystyle$ (( $a\오른쪽 화살표$ b $)}$ $(b\rightarrow c))$ 및 $((a\rightarrow b)$ ( $(b\rightarrow c))$ $(a\rightarrow c)$ $(b\rightarrow c))$ $(a\rightarrow c)$ { $displaystyle ($ $(a\rightarrow c)$ $\오른쪽$ $화살표$ $(b\rightarrow c))$ c)} $(b\rightarrow c))$ ${{displaystyle$ ( $a\오른쪽$ 화살표 $(a\rightarrow c)$ c)}} {{displaystyle ( $(a\rightarrow c)$ $\$ displaystyle (a\ $right$ 화살표 c $\Rightarrow$ $(a\rightarrow c)$ {\displaystyle c}}가 $(a\rightarrow c)$ 포함된 토너먼트를 과도적이라 합니다.즉, 전이 토너먼트에서 정점은 엣지 관계에 의해 (엄밀하게) 완전히 정렬되어도 되며, 엣지 관계는 도달 가능성과 동일하다.

동등한 조건

다음 문장은n개의 \ $displaystyle$ n개의 정점에 $있는$ $토너먼트$ T{ $displaystyle$ T $}$ 에 $T$ $n$ 해당합니다.

$T는 transitionive$ style $T$ T.
$\displaystyle$ T는 $T$ 엄격한 토탈 오더입니다.
$T($ 디스플레이 스타일 T $)$ 는 $T$ 비순환형입니다.
$T$ {\ $displaystyle$ T $}$ 에는 $T$ 길이 3의 사이클이 없습니다.
$T의$ 스코어 시퀀스( $outdisplaystyle$ T)는 {0, 1, 2, …, $\{0,1,2,\ldots ,n-1\}$ - $}({$ \{ $0,$ 1, $2$ , \ $ldots, n-1$ 입니다.
$\displaystyle$ T에는 정확히 $T$ 해밀턴 경로가 하나 있습니다.

램지 이론

전이 토너먼트는 램지 이론에서 무방향 그래프의 클리프와 유사한 역할을 합니다.특히 n개의\ $displaystyle$ n개의 $n$ 정점에 $있는$ 모든 토너먼트에는 1 $1+\lfloor \log _{2}n\rfloor$ + $1+\lfloor \log _{2}n\rfloor$ $1+\lfloor \log _{2}n\rfloor$ 2 $1+\lfloor \log _{2}n\rfloor$ n ${\$ { $displaystyle$ 1 + \ $lfloor$ \ $log$ _ ${ 2 n$ \ $rfloor }$ 개의 $1+\lfloor \log _{2}n\rfloor$ ^[5]정점에 $1+\lfloor \log _{2}n\rfloor$ 서브유머넌트가 포함됩니다.증명은 간단합니다.이 서브터넌트의 일부인 $정점$ v $\$ $displaystyle$ v $\$ displaystyle v $\$ displaystyle v\의 $v$ $v$ 착신 네이버 세트 또는v\ $displaystyle$ v $v$ 의 $발신$ 네이버 세트 중 하나에서 나머지 서브터넌트를 재귀적으로 형성합니다.예를 들어, 7개의 정점의 모든 토너먼트에는 3개의 버텍스 전이 서브 토너먼트가 포함되어 있습니다.7개의 정점의 팔레 토너먼트는 이것이 보증 가능한 최대임을 나타냅니다(Erdős & Moser 1964).그러나, Reid & Parker(1970)는 n $\displaystyle$ n의 $일부$ 큰 값에 대해 이 경계가 엄격하지 않음을 보여주었다.

Erdős &, 모(1964년)은 n{n\displaystyle}vertices에 대회 2사이즈의 그들의 증거는 세고 주장:k{k\displaystyle}-element해서 토너먼트가 occu 수 있는 방법의 수를 사용하는 추이 subtournament+2⌊ 로그 2⁡ n⌋{\displaystyle 2+2\lfloor \log_{2}n\rfloor}없이를 증명했다.r로 $n\displaystyle$ n 레이블이 $n$ 붙은 정점에 $있는$ 더 큰 토너먼트의 미묘한 의미는

(\displaystyle\binom{n}{k!2^{\binom {n}{2}}-{\binom {k}{2}},}

$(\$ $displaystyle$ k $)$ 가 $k$ 로그 $2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor$ + 2 $2^{\binom {n}{2}}$ $logn$ $2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor$ ⌋n $⌋n$ ⌋ $n$ {\ $n$ {\n $2+2\lfloor \log _{2}n\rfloor$ n {\ n{\display is is is is is is is is is is is2 ( $2^{\binom {n}{2}}$ ) $n$ 의 $2^{\binom {n}{2}}$ 다른 토너먼트(\ $displaystyle 2^{\binom {n2$ } n $})$ $내$ 에서 전이 토너먼트를 발생시키기에는 이 $숫자$ 가 너무 작습니다. $ystyle$ n $}$ 개의 $n$ 레이블이 지정된 정점.

패러독스 토너먼트

모든 경기를 이긴 선수는 당연히 토너먼트의 우승자가 될 것이다.하지만, 비과도적 토너먼트의 존재가 보여주듯이, 그런 선수는 없을지도 모른다.모든 선수들이 최소한 한 게임 이상 지는 토너먼트를 1-기생 대회라고 부른다. $V\setminus S$ 일반적으로 $T=(V,E)$ T $T=(V,E)$ ( $T=(V,E)$ , $E$ ) { $displaystyle$ T = ( $V$ , E ) $T=(V,E)$ } ∖ ∖ $V\setminus S$ $V\setminus S$ \ $displaystyle$ V $v_{0}$ }의 $V$ $v_{0}$ k \ $displaystyle$ kelement $k$ every $k$ $S$ $every$ s s∖ s ∖ s ∖ ∖ ∖ $v_{0}$ ∖ ∖ 0 $∖$ ∖ ∖ ∖ a more $more$ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ ∖ more more ∖ more ∖ more ∖ s s s s s s s s s s s s $more$ more s s s s s s s s s $v_{0}\rightarrow v$ $S$ 에 대해 $v_{0}\rightarrow v$ 0 $v_{0}\rightarrow v$ v {\ $displaystyle$ $v_{0$ $rightarrow v.$ 확률론적 방법을 통해 Paul Erd $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ 는 $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ + $|V|\geq k^{2}2^{k}\ln(2+o(1))$ \ $style v^{q$ $k$ 의 $v_{0}\rightarrow v$ $고정값$ 에 대해 다음과 같이 밝혔다.V{\ $displaystyle$ V $}$ 의 $V$ $k$ 는 k{\ $displaystyle$ k $}$ - 패러독스입니다 $k$ .^[6]한편, 간단한 논거는 $모든$ k $(디스플레이 스타일$ k $)$ 패러독스 $k$ 토너먼트에 $2^{k+1}-1$ $2^{k+1}-1$ + $2^{k+1}-1$ - $(스타일 2^{$ $k+$ $1$ }-1 $2^{k+1}-1$ $)$ 의 플레이어가 있어야 한다는 것입니다.이는 에스더와 조지 리스케(1965)^[7]에 의해 ( $(k+2)2^{k-1}-1$ + $2)$ $1$ 로 $(k+2)2^{k-1}-1$ 개선되었습니다.There is an explicit construction of $k$ -paradoxical tournaments with $k^{2}4^{k-1}(1+o(1))$ players by Graham and Spencer (1971) namely the Paley tournament.

응축

모든 토너먼트의 응축은 그 자체로 과도적 토너먼트이다.따라서, 전이성이 없는 토너먼트라도, 토너먼트의 강하게 연결된 구성요소는 완전히 ^[8]정렬될 수 있다.

스코어 시퀀스 및 스코어 세트

토너먼트의 점수 순서는 토너먼트의 꼭지점에서 탈락하는 연속이다.토너먼트의 점수 세트는 해당 토너먼트의 정점보다 작은 정수 집합입니다.

란다우의 정리(1953) 비감소 $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ 정수열( $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ , $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ s $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ , $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ n $)({displaystyle (s_{1}, s_{2},\ldots, s_{n})$ 은 $(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})$ 다음과 같은 경우에만 점수열이다.

$\displaystyle 0\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots \leq s_{n}$
$\displaystyle s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{i}\geq {i\choose2},{\text{ for }i=1,2,\ldots,n-1}$
$s_{1}+s_{2}+\cdots +s_{n}={n \choose 2)$

$s(n)$ ( $s(n)$ ) $s(n)$ { $displaystyle$ s ( $n$ )는 $s(n)$ 크기n { $displaystyle$ n $}$ 의 다른 점수 시퀀스의 수입니다. $s(n)$ s ( $s(n)$ $){$ $displaystyle$ s( $n)($ OEIS의 시퀀스 A000571)는 다음과 같이 시작합니다.

1, 1, 1, 2, 4, 9, 22, 59, 167, 490, 1486, 4639, 14805, 48107, ...

윈스턴과 클리트만은 충분히 큰 n에 대해 다음과 같이 증명했다.

\displaystyle s(n)> c_{1}4^{n}n^{-5/2}}

$c_{1}=0.049.$ 서 c 1 $c_{1}=0.049.$ $c_{1}=0.049.$ 입니다. $c_{1}=0.049.$ ({ $displaystyle c_{1}=0.049.}$ Takacs는 $c_{1}=0.049.$ 합리적이지만 입증되지 않은 몇 가지 가정을 사용하여 나중에 다음과 같은 것을 보여주었다 $.$

s(n)<c_{2}4^{n}n^{-5/2}

$c_{2}<4.858.$ 서 c 2 $c_{2}<4.858.$ < $c_{2}<4.858.$ 입니다. ${\displaystyle c_{2} <4.858.$ $}$

이 두 가지를 조합하면 다음과 같은 증거를 얻을 수 있습니다.

\Theta(4^{n}n^{-5/2})에서 s(n)\displaystyle을 클릭합니다.}

여기서 $\Theta$ { $displaystyle$ \ $Theta }$ 는 $\Theta$ 점근적으로 엄격한 경계를 나타냅니다.

야오밍은 음이 아닌 정수들의 모든 세트가 어떤 토너먼트에서 설정된 점수라는 것을 보여주었다.

다수 관계

사회적 선택 이론에서 토너먼트는 선호 ^[9]프로파일의 다수 관계로서 자연스럽게 발생한다.A $(\displaystyle$ $A)$ 를 $A$ 유한한 대안 집합으로 하고 $P=(\succ _{1},\dots ,\succ _{n})$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 보다 선형 순서 $P=(\succ _{1},\dots ,\succ _{n})$ P $=$ $display$ $,\$ $n$ $})$ $P=(\succ _{1},\dots ,\succ _{n})$ 을 $P=(\succ _{1},\dots ,\succ _{n})$ $유권자$ 선호도로 $A$ 합니다. 각 $\succ _{i}$ 를 해석합니다 $.$ $i$ 그 후 $,$ 다수의 유권자가 THA $style$ b $a$ $display$ $style$ $b$ 보다 $a\succ _{\text{maj}}b$ $\$ $display style$ $P$ 의 $P$ $A$ $\succ _{\text{maj}}$ $majc_{\text{maj}b$ $b$ 의 $a\succ _{\text{maj}}b$ ( $a\succ _{\text{maj}}b$ 한) 다수 관계를 정의합니다 $a\succ _{\text{maj}}b$ t는 $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ { $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ [ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ : $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ { $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ [ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ : $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ { $displaystyle$ \ ${$ i \ $in$ [ $n$ ] : $a$ \ $succ$ _ { $i$ } $b \$ } > \ { $i$ \ $in$ [ $n$ ] : b \ $succ$ _ ${ i }a$ $n$ \ $|\{i\in [n]:a\succ _{i}b\}|>|\{i\in [n]:b\succ _{i}a\}|$ 。 $n$ \ $displaystylearity$ 가 다수의 유권자 관계를 형성하고 있는 경우 $,$

McGarvey의 $보조$ 에 따르면 $,$ $m개의$ 에서의 모든 $m(m-1)$ 는 최대 $m개의 (m$ - 1) $명의$ ^[9]^[10]유권자들의 과반수 관계로서 얻을 수 있다.Stearns와 Erd's & Moser의 결과에 따라 이후 $m개의$ ^[11]정점에 $모든$ 토너먼트를 유도하기 위해 $\Theta (m/\log m)$ ( $\Theta (m/\log m)$ / $\Theta (m/\log m)$ m $\Theta (m/\log m)$ ) \ $displaystyle$ \ $Theta$ ( m / \ $log$ m) 투표자가 $\Theta (m/\log m)$ $m$ 필요하다는 것이 확인되었습니다.

라슬리어(1997)는 정점 집합을 토너먼트의 "승자" 집합이라고 부르는 방법을 연구한다.이것은 정치학에서 민주주의 ^[12]과정의 결과가 될 수 있는 것을 연구하는 데 유용한 것으로 드러났다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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[11] Stearns, Richard (1959). "The Voting Problem". The American Mathematical Monthly. 66 (9): 761–763. doi:10.2307/2310461. JSTOR 2310461.

[12] Austen-Smith, D. and J. Banks, 긍정정치이론, 1999, 미시간 대학 출판부.

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