추적 연산자

수학에서 추적 연산자는 함수의 제한 개념을 그 영역의 경계까지 확대하여 소볼레프 공간에서 "일반화" 함수를 말한다.이것은 특히, 약한 해법이 고전적 기능의 경계 조건을 만족시킬 만큼 규칙적이지 않을 수 있는, 규정된 경계 조건(경계 값 문제)을 가진 부분 미분 방정식의 연구에 중요하다.

동기

경계되고 매끄러운 도메인 ${}^{}$ $\subset$ R n ${\$에서 포아송 방정식을 비균종 디리클레 경계 조건과 함께 푸는 문제를 고려한다$.$

${\displaystyle {\begin{aignatedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in}}}\Oomega,\u&=g&{\text}}}}\partial \Oomega \end{aignedat}}}}}}$

아래 애플리케이션 섹션에서 설명하는 규칙성을 가진$$ 주어진 함수 $f$ ${\textstyle f}$ 및 $g$ ${\textstyle g}$과(와) 함께.이 방정식의 약한$$ 솔루션 $u$ $\in$ ${H\mathrm{}}^{}$ ${}^{}$($\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle u\in H^{1}(\Oomega )}$을(를) 만족해야 한다.

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$ for all ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$.

$H{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$($\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle$ H$^{1}(\Oomega )}$ - $u$ ${\textstyle u}$의 정규성은$$ 이 적분 방정식의 잘 정의된 것으로 충분하다$$.It is not apparent, however, in which sense ${\textstyle u}$ can satisfy the boundary condition ${\textstyle u=g}$ on ${\textstyle \partial \Omega }$: by definition, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ is an equivalence class of functions which can have arbin-차원 Lebesgue 측정에 대한 null 집합이므로 since$$$\mathrm{}\mathrm{\Omega }$ ${\textstyle \partial \Oomega}$의 trary 값.

If ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ there holds ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C^{0}({\bar {\Omega }})}$ by Sobolev's embedding theorem, such that ${\textstyle u}$ can satisfy the boundary condition in the classical sense, i.e. the restriction of $u$${\textstyle u}$ ~$\mathrm{}\mathrm{\Omega }$ ${\textstyle \partial \Oomega}$은(는) 함수 $g$ ${\$$textstyle$ $g$$}$에 동의한다$$$$($$더 정확히: 이 속성과 함께$$ $C(\Omega \stackrel{}{\mathrm{}}$ $¯)$ ${\textstyle$ C$({\bar {\\Oomega}}}).$n을과Ω⊂ Rn{\textstyle \Omega \subset \mathbb{R}^{n}}; 들어 1 그러한던 1가지 이슈 때문이었습니다 존재하지 않으며 추적 사업자 T{T\textstyle}여기서 제공한 당신∂ Ω{\textstyle u_{\partial \Omega}에}의미를 부여하기 때문이다. 그렇게 ∈ H1(Ω){\textstyleu\in H^{1}u 사용해야 한다{\textstyle n> 1}.(\Ome$\mathrm{ga}$ $)}$ T$u$= g {\$textstyle Tu=g}$을(를) 가진$$ 것을 위의 적분 방정식이 충족되면 경계값 문제에 대한 약한 해법이라고 한다$$.추적 연산자의 정의가 타당하려면 $충분한$ $\mathrm{정규}$u ${}_{\mathrm{}}$$textstyle$ $Tu=u$$_$${\partial \Oomega }}$을(를$)$ 보유해야 한다$.$

트레이스 정리

추적 연산자는 $1{}^{}$ <∞{\$textstyle$ W$^{$$1,p}(\Oomega )}$과$($) 1≤ p <\$textstyle$1\leq $p<\inft })$의 소볼레프 공간 기능에 대해 정의할 수 있다 다른 공간에 대한 추적을 확장할 수 있는 방법은 아래 절을 참조하십시오.$\Omega \mathrm{}$ $\subset$ ${\mathbb{}}^{}$ ${}^{}$ ${\$ $n$ $\in$ $N\mathbb{}$ ${\$에 대해 Lipschitz 경계로 경계 도메인을 두십시오$$.그러면^[1] 경계 선형 추적 연산자가 존재한다.

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Oomega )\to L^{p}(\partial \Oomega )}$

$T$ ${\textstyle T}$이(가) 고전적 추적을 확장하는$$ 것, 즉

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}${\$displaystyle Tu=u$_{\$partial \Oomega }$ 모든$$ $u$ $\in$ ${1\mathrm{}}^{}$,$p^{}$ ($\stackrel{}{}\Omega \stackrel{}{\mathrm{}}$)$c$C $(\textstyle u\in$ W$^1$,p$}(\Oomega$)\$cap$ C$({\bar$ {\\bar ${\Oomega$

$T$ ${\textstyle T}$의 연속성은 다음을 함축한다$$.

${\displaystyle \ Tu\ _{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\ u\ _{W^{1,p}(\Omega )}}$ for all ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

with constant only depending on ${\textstyle p}$ and ${\textstyle \Omega }$. The function ${\textstyle Tu}$ is called trace of ${\textstyle u}$ and is often simply denoted by ${\textstyle u _{\partial \Omega }}$. Other common symbols for ${\textstyle T}$ include ${\textstyle tr}$$$ $및$ $【\textstyle \cHB$

건설

이 단락은 보다 자세한 내용을 찾을 수 있는 Evans를 따르며, ^[2]$\Omega \mathrm{}$ ${\textstyle \Oomega}}$에 $C{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$ ${\$ C$^{1}$-boundary가$$ 있다고$$ 가정한다.립스치츠 영역에 대한 추적 정리의 증거(강력한 버전의)는 가글리아도에서 찾을 수 있다.^[1]$C{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$ ${\$-도메인에서$$ 추적 연산자는 연산자의 연속 선형 확장으로 정의할 수 있다.

$[\displaystyle T:C^{\party }({\bar {\Oomega }})\to L^{p}(\partial \Oomega )}$

to the space ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$. By density of ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ in ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ such an extension is possible if ${\textstyle T}$ is continuous with respect to the ${\textstyle W^{1,p$$}}(\Oomega )}$ - 보통$$.이에 대한 증거, 즉 > 0 ${\textstyle C>0$}($\Omega \mathrm{}$ ${\textstyle \Oomega}$ 및$$ $p$ ${\textstyle p$에 따라 다음과 같은 C > {\textstyle C>0$}$이(가) 존재한다는 증거

${\displaystyle \ Tu\ _{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\ u\ _{W^{1,p}(\Omega )}}$ for all ${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).$$}$

추적 연산자의 구성의 중심 성분이다.$C{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$($\Omega \stackrel{}{\mathrm{}}$ $''){\textstyle$ C$^{1}({\bar {\Oomega }})$ - 기능에$$ 대한 이 추정치의 국부적 변형은 발산 정리를 사용하여 국부적으로 평평한 경계에 대해 먼저 입증된다.변환에 의해 일반 $C{}^{}$ ${\$- 경계는$$ 이 경우로 축소하기 위해 국소적으로 직립할 수 있다. 여기서 $변환$의 C ${1\mathrm{}}^{}$ $textstyle$ $C^{1$$}{\$textStyle $C^{1}}{bar {\Oomega}}$ ${-functions}^{}$에 대한 국소 추정치가 $유지$되어야 한다.

With this continuity of the trace operator in ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ an extension to ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ exists by abstract arguments and ${\textstyle Tu}$ for ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ can be characterized as follows. ${}^{}$ ${}_{}$ C $\infty$ (Ω$¯){\textstyle u_{k}\in$ C$^{\inflt }({\bar{\Oomega$}})을 밀도 단위로$$ $u{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$,$p^{}$ ($){\textstyle u\in{1,p}(\Oomega )$에 근접한 시퀀스가 되도록$$ 한다.By the proven continuity of ${\textstyle T}$ in ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ the sequence ${\textstyle u_{k} _{\partial \Omega }}$ is a Cauchy sequence in ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ and ${\tex$$tstyle Tu=\lim _{k\to \pupty }u_{k} _{\partial \Oomega }},$ $L^{}$ p($\mathrm{}$∂ $){\textyle L$^{p$$$}(\partial \Oomega$ $)\}.$

The extension property ${\textstyle Tu=u _{\partial \Omega }}$ holds for ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ by construction, but for any ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ there exists a sequence $u_k$${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ which converges uniformly on ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ to ${\textstyle u}$, verifying the extension property on the larger set ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$.

사례 p = ∞

If ${\textstyle \Omega }$ is bounded and has a ${\textstyle C^{1}}$-boundary then by Morrey's inequality there exists a continuous embedding ${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$, where ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$ denotes th립스키츠 연속 기능의 e 공간.특히 ${}^{}$ $\in$ W ${1\mathrm{}}^{}$,${\mathrm{\infty }}^{}$ ${}^{}\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle u\in$W^,\$in$ W$^1,\$inflt $}(\$$\mathrm{Oomega}$ $)}$은$($는) 고전적 $추적{}_{}u$ ∂ ${\mathrm{\Omega }}_{}$ C$(∂$ ) {\textstyle u$_{\partial \Oomega \}$을(\$partial \Oomega)$로 유지함수)하고$$ 있다.

${\displaystyle \ \partial \Oomega}\{C(\partial \Oomega )}\leq \ \{C^{0,1}(\Oomega )\leq C\ _{W^{1,\fty }(\Oomega )}.}$

추적 0이 있는 함수

그 Sobolev W 01, p({\textstyle W_{0}(\Omega)}1≤<>∞{1\leq p<,\infty\textstyle}에 spaces C∞(Ω){\textstyle C_{c}(\Omega)}의 1과 관련하여, p(Ω){\textstyle W^{1,p}과 c(\Omega 간결하게 지원되는 시험 기능의 집합의 폐쇄로 정의된다.)}-norm. 다음과 같은 대체 특성화는 다음을 유지한다.

${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Oomega )=\{{u\in W^1,p}(\Oomega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p})(\partial \Oomega)},},}}}},}$

여기서 $\ker$ $$( T$$) ${\textstyle \ker(T)}$은(는) $T$ ${\textstyle T}$의 커널이다$.$$W_{}^{}$ ${0\mathrm{}}_{}^{}$ $1_{}^{}$, p (${}_{}^{}\mathrm{\Omega }$ $)${\$textstyle W_{0}^{1$,p$}(\Oomega)}$은 추적 0이 ${\mathrm{있는}}^{}$ $W{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$,${}^{}$p ($){\textstyle$ W$^{1,p}(\Oomega )$의 함수 하위 공간이다$$.

추적 연산자 이미지

p > 1의 경우

만약 p입니다. 경로 운영자 Lp({\textstyle L^{p}(\Omega\partial)}에 W1에 있는 함수, p({\textstyle W^{1,p}(\Omega)}Lp에서 1{\textstyle p> 1}. 즉, 모든 함수({\textstyle L^{p}(\Omega\partial)}은 추적. 이미지를 C. 아래 엄격하 위로의. 아니다onsists는 Hölder 연속성의 $L{}^{}$ $p^{}$ ${\$버전을$$ 만족하는 함수의 s.

추상적 특성화

$T$ ${\textstyle T}$ 이미지의 추상적 특성화는 다음과 같이 도출할 수 있다$$.이형동체 이론에 의해

${\displaystyle T(W^{1,p}(\Oomega )\cong W^{1,p}(\Oomega )/\ker(T\colon W^{1,p})(\partial \Oomega )=W^{1,p}(\Oomega )/W_{0}^{1,p}(\Oomega )}$

where ${\textstyle X/N}$ denotes the quotient space of the Banach space ${\textstyle X}$ by the subspace ${\textstyle N\subset X}$ and the last identity follows from the characterization of ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ from above.다음과 같이 정의한 지수 표준과 지수 공간 등분포

${\displaystyle \ u\ _{W^{1,p}(\Oomega )/{0}^{1,p}}=\inf _{u_{0}\inf _{0}^{1,p}(\Oomega )}\{W^{0}}}}}}}}.$

추적 연산자 $T$ ${\textstyle T}$은(는) 굴절성 경계 선형 연산자가 된다$$.

$T$: ${\displaystyle {}^{}}$ : W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle p^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$→ W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$/$$W ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}^{}}$ ,${\displaystyle p_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ $displaystyle T\colon W^{1,p}(\Oomega )\to$ W$^{1,p}(\Oomega )/{0}^{1,p$$Oomega )}.$

Sobolev-Slobodekij 공간을 이용한 특성화

Hölder 연속함수의 개념을 $L{}^{}$ $p^{}$ ${\$에 일반화하는 Sobolev-Slobodeckij 공간을 사용하여 $T$ ${\textstyle T}$의 이미지를 보다 구체적으로 표현할 수 있다$$.$\partial \mathrm{}$ $\mathrm{\Omega }$ ${\textstyle \partial \Oomega}$은(는) ${}^{}$ ${\$에 내장된 (n-1)차원 립슈츠 다지관이기 때문에 이러한 공간의 명시적$$ 특성화가 기술적으로 관련되어 있다.단순성을 위해 먼저 평면 도메인 $\Omega {\mathrm{}}^{}$ Ω $\prime$ ${\mathrm{n}}^{}$R -$$1 {\$textstyle \Oomega$ '\$subset \mathb${R$}^{n-1}$을 고려하십시오$.$ $v$ $p$($text$ ) {\$textstyle$ v$^{p$}(\Oomega $')}}$는 (무한) 규범을 정의한다$$.

${\displaystyle \ v\ _{W^{1-1/p,p}(\Omega ')}=\left(\ v\ _{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac { v(x)-v(y) ^{p}}{ x-y ^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^{1/p}}$

$\mathrm{Hölder}$ 조건 $v$( x$$)$$- $v$( y$$) $\le$ $C$ -${}^{\mathrm{}}$- $1^{}$/ p ${\$C$x-y ^{1-1/p}.$그러면

${\displaystyle W^{1-1/p,p}(\Oomega ')=\left\{v\in L^{p}(\Oomega ')\;\mid \;\v\_{W^{1-1/p,p(\Oomega ')}}<potty \right\}}}}}}}}}}}}$

이전 규범이 탑재된 바나흐 공간(s > ${\textstyle$ s > $0${\textstyle$$ s>${0\}}^{}$에 대한 Banach 공간($W{}^{}$ s , p${}^{}$(${\mathrm{}}^{}$ $)$ ) ${\textstyle W^{s,p}(\Oomega ')}$의 일반적인 정의는 Sobolev-Slobodeckij 공간에 대한 기사에서 찾을 수 있다.For the (n-1)-dimensional Lipschitz manifold ${\textstyle \partial \Omega }$ define ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ by locally straightening ${\textstyle \partial \Omega }$ and proceeding as in the definition of ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\Omega$$')}$.

그러면 $공간{}^{}$ ${W\mathrm{}1}^{}$ -$1^{}$ /${}^{}$p , $p^{}$ $\mathrm{(\partial }$ $\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle$ W$^{1-1/p,p$,p$}(\partial \Oomega )}$을(를) 추적 연산자의 이미지로 식별할 수 있으며$$, 여기에 다음이^[1] 유지된다.

${\displaystyle T\colon W^{1,p}(\Oomega )\to W^{1-1/p,p}(\partial \Oomega )}$

굴절적이고 경계가 있는 선형 연산자다.

p = 1의 경우

$p$= $1$ ${\textstyle p=1}$의 경우 추적 연산자의 이미지는$$ L ${1\mathrm{}}^{}$ ($\mathrm{}$∂ $\mathrm{\Omega }$)$${\$textstyle L^{1}(\partial \Oomega$)이며$$, 여기에는 다음이 있음^[1]

${\displaystyle T\colon W^{1,1}(\Oomega )\to L^{1}(\partial \Oomega )}$

굴절적이고 경계가 있는 선형 연산자다.

우회전: 추적 확장 연산자

${추적\mathrm{}}^{}$ 연산자는 W 1,$p^{}$($\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle W^{1,p}(\Oomega )}$의 여러 함수가 동일한 트레이스(또는 $동등$하게 ${\mathrm{}}_{0\mathrm{}}^{}$ 1, $p_{}^{}$($\mathrm{\Omega }$ )$0$ 0$${\$textstyle W_{0}^{1,p}(\Oomega )\neq$ 0$}$을 가질 수 있으므로$$ 주입되지 않는다.그러나 추적 연산자는 경계에서 정의한 함수를 전체 영역으로 확장하는 잘 동작하는 오른쪽 교차로를 가지고 있다.특히, < ${\textstyle 1>$에 대해서는 경계된 선형 추적 확장 연산자가^[3] 존재한다$.$

${\displaystyle E}$: W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$/ p${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$ , p (${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$→ W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle p^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle E\colon W$^{$1-1/p,p$,p$}(\partial \Oomega )\to W^{1,p}(\Oomega )},$ , , $,,$

이전 섹션에서 추적 연산자 이미지의 Sobollev-Slobodeckij 특성화 사용:

${\displaystyle }$$T^{}$${\displaystyle (E}$ ${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$= 모든 $v$ $\in$ W ${1\mathrm{}}^{}$- 1${}^{}$/ $p^{}$, p (${}^{}\mathrm{\partial }$ $\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p}(\partial \Oomega )}$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ v ${\displaystytle T(Ev)=v}$

연속성에 의해 C> ${\textstyle C>0}$이(가) 존재하며

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {}_{}}$ W ${\displaystyle {{1\mathrm{}}^{}}_{}}$,${\displaystyle {{}^{}}_{}}$p ${\displaystyle {{}^{}\mathrm{\Omega }}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Vert }$ v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}^{}}_{}}$- ${\displaystyle {1^{}}_{}}$/ ${\displaystyle {p^{}}_{}}$ ,${\displaystyle {p^{}}_{}}$(${\displaystyle {{}^{}}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{}\mathrm{\Omega }}_{}}$ $displaystyle \Ev\{W^{1,p}(\Oomega )}\leq C\ _{W^{1-1/p,p$

눈에 띄는 것은 단순한 존재가 아니라 오른쪽 역의 선형성과 연속성이다.이 추적 확장 연산자는 소볼레브 공간 이론의 기본적 역할을 하는 전체 공간 확장 연산자 W1, p(Ω)→ W1, p(Rn){\textstyle W^{1,p}(\Oomega)\to W^ᆭ(\mathb{R}^{n})와 혼동해서는안 된다.

다른 공간으로 확장

상위파생상품

도메인이 충분히 정규적인 경우$$ 이전 결과의 ${많은}^{}$ 부분을 W $m{}^{}$, $p^{}$ (${}^{}\mathrm{\Omega }$ $)${\$textstyle$ W$^{m,p}(\Oomega$)로 확장할 수 있으며$$, 차별성이 높은 $m$= $2$,$3$,$$… ${\textstyle m=2,3,\ldots }.$Let ${\textstyle N}$ denote the exterior unit normal field on ${\textstyle \partial \Omega }$. Since ${\textstyle u _{\partial \Omega }}$ can encode differentiability properties in tangential direction only the normal derivative ${\textstyle \partial _{N}u _{\partial \Omega }}$ is$m$= $2$ ${\textstyle m=2}$에 대한 추적 이론에 대한 추가 관심$.$ > ${\textstyle m >2}$에 대한 고차 파생 모델에도 유사한 주장이 적용된다

$∞{\textstyle 1}$ 및 $\Omega \mathrm{}$ $\subset$ ${\mathbb{}}^{}$ ${}^{}$ ${\$은(는) $C{}^{}$ ${m,}^{}$ $1^{}$ ${\$ C$^{m,1}$-boundary의$$ 경계 도메인이 되도록$$ 한다.그 다음^[3], 한계 선형 고차 추적 연산자가 존재한다.

${\displaystyle T_{m}\colon W^{m,p}(\Oomega )\to \prod _{l=0}^{m-1/p,p^(\partial \Oomega )}$

으로 Sobolev-Slobodeckij snon-integer 을, 0{\textstyle s>0}∂ Ω{\textstyle\partial \Omega}에는 평면 경우 W에 변환,Ω ′에 대한 p({\textstyle W^{s,p}(\Omega의)}⊂ Rn1{\textstyl −를 통하여 정의되 Ws, p({\textstyle W^{s,p}(\Omega\partial)}spaces.e\Ome$ga '\subset \mathb{R}$^{$n-1},$ 소볼레프-슬로보데키즈 공간에 대한 기사에서 정의가 자세히 설명되어 있다$.$연산자 ${Tm}_{}$ ${\$은(는) 다음과 같은 의미에서 고전적인 정상 트레이스를 확장한다$$.

${\displaystyle T_{m}u=\left(u _{\partial \Omega },\partial _{N}u _{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u _{\partial \Omega }\right)}$ for all ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^$${m-1}({\bar {\Oomega }}).$$}$

또한, 고차 추적 확장 연산자^[3]$$T $m_{}$ ${\$의 경계선, 선형 우측 교차점이 존재한다.

${\displaystyle E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )}$.

Finally, the spaces ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$, the completion of ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ in the ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$-norm, can be characterized as the kernel of ${\textstyle T_{m}}$,^[3] i.e.

${\displaystyle W_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle p_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$= {${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle W^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$, p ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle \mid }$ T ${\displaystyle m_{}{}_{}}$ = ${\displaystyle 0}$} ${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Oomega )=\{u\in{m,p}(\Oomega )\mid T_{m}u=0$

더 적은 정규 공간

L에^p 흔적 없음

에는 나는 p흔적({\textstyle L^{p}(\Omega)}의 개념의 1≤<>에 대한 합리적인 확장;∞{1\leq p<,\infty\textstyle}은 고전 추적 시험 기능의 공간의 Cc∞(Ω){\textstyle C_{c}(\Omega)}가 없어야 한다 확장되는 i. 어떤 한정적 선형 연산자, 이후만드드${nse}^{}$ p ($){\textstyle L^{p}(\Oomega )}}$의 부분 집합으로, 이러한 연산자는 어디서나 0이 될 것임을 암시한다$.$

일반화 정상 추적

$\mathrm{div}$ $$ $v$ ${\textstyle \operatorname${$div$$}$ v$}$이(가) 벡터 필드 $v$ ${\textstyle v}$의 분포적 차이를 나타냅시다$$$.$ <{{\$textstyle$ 1$<p<$p<\p<$p>}$ 및 경계가 있는 Lipschitz 도메인 $\Omega \mathrm{}$ $\subset$ ${}^{}$ ${\$\mathB}{R}{R$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{$mathb}}}}}}을$$ 정의한다.

${\displaystyle E_{p}(\Oomega )=\{v\in(L^{p})(\Oomega )^{n}\mid \operatorname {div} v\in L^{p}(\Oomega )\}}$

바나흐 공간은 표준이 있는 공간이다.

${\displaystyle \ v\ _{E_{p}(\Omega )}=\left(\ v\ _{L^{p}(\Omega )}^{p}+\ \operatorname {div} v\ _{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}}$.

$Let$ N ${\textstyle N}$이(가) $\partial \mathrm{}$ {\$textstyle \partial \Oomega}$의 외부 단위 정규 필드를 나타냄$$$.$ 그러면^[4] 경계 선형 연산자가 있음

${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$: E ${\displaystyle p_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$( W ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ /${\displaystyle q^{}}$ ,${\displaystyle q^{}}$ (${\displaystyle }$∂ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ) )${\displaystyle {}^{\prime }}${\$displaystyle T_{N}\colon E_{p}(\Oomega )\to (W^{1-1-1/q,q}(\partial \Oomega )}}},$ , $,,$ ,, ,, , , , , , , ,,

where ${\textstyle q=p/(p-1)}$ is the conjugate exponent to ${\textstyle p}$ and ${\textstyle X'}$ denotes the continuous dual space to a Banach space ${\textstyle X}$, such that ${\textstyle T_{N}}$ extends the normal trace ${\textstyle (v\cdot N) _{\par$$tial$ $\Oomega$ ${}^C$ ${\infty \mathrm{}}^{}$ ('Ω${}^{}$) $n\stackrel{}{\mathrm{}}$ ${\$$^{n}}$라는 의미에서

${\displaystyle T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}}$.

The value of the normal trace operator ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ for ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ is defined by application of the divergence theorem to the vector field ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ where ${\textstyle E}$위로부터의 추적 확장 연산자.

신청하다.Any weak solution ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ to ${\textstyle -\Delta u=f\in L^{2}(\Omega )}$ in a bounded Lipschitz domain ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ has a normal derivative in the sense of $T_N\mathrm{\nabla }u\in (W^{1/2,2}(\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }){)}^{\ast }$${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$. This follows as ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ since ${\textstyle \nabla u\in L^{2}(\Omega )}$ and ${\textstyle \operatorname {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2}(\Omega )$$\}\}.$ $일반$ u${}^{}$ ${H\mathrm{}}^{}$ 2${}^{}$($\mathrm{\Omega }$ $)$ ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Oomega$ $)\}$의 Lipschitz 도메인에서 $\nabla \mathrm{}$ $u$ ${\textstyle \nabla u}$이(가) 추적 연산자 $T$ ${\textstyle T}$의 도메인에 있지 않을$$ 수 있으므로 이 결과가 주목할 만하다$.$

적용

위에 제시된 이론들을 통해 경계값 문제를 보다 면밀하게 조사할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aignatedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in}}}\Oomega,\u&=g&{\text}}}}\partial \Oomega \end{aignedat}}}}}}$

Lipschitz 도메인 $\Omega \mathrm{}$ $\subset$ ${\mathbb{}}^{}$ ${}^{}$ ${\$ 동기에서$$.여기서는 힐베르트 우주 $사례$ p$$= $2$ ${\textstyle$ p$=2}$만 조사하므로$$, W ${1\mathrm{}}^{}$,$2^{}$ (${}^{}$$\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle H^{1}(\Oomega )}$ 표기법을 $사용$하여 $W{}^{}$ 1, 2 ( $\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle$ W$^{1,2}(\Oomega )}$ 등을$$ 가리킨다$$.동기에 명시된 바와 같이 이 방정식에 대한 약한$$ 솔루션 ${}^{}$∈ H 1 ${}^{}\mathrm{\Omega }$ )${\textstyle u\in$ H$^{1}(\Oomega$ )}은$$ T$$$u$= $g$ ${\textstyle Tu=g}$을(를) 충족해야 한다.

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x}$ for all ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$,

where the right-hand side must be interpreted for ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^{1}(\Omega ))'}$ as a duality product with the value ${\textstyle f(\varphi )}$.

취약한 해결책의 존재와 고유성

$T$ ${\textstyle T}$ 범위의 특성화는 $T$ $u$= g ${\textstyle$ ${Tu\mathrm{}}^{}$$=g}$이(가) $규칙성$ g $\in$ H ${1\mathrm{}}^{}$/ 2${}^{}\mathrm{(\partial }$ $\mathrm{\Omega }$ )${\textstyle g\in$ H$^{1/2}(\partial \Oomega$)을 보유하는 것이$$ 필요하다는$$ 것을 의미한다$$.이 규칙성은 또한 다음과 같이 볼 수 있는 약한 해결책의 존재에도 충분하다.By the trace extension theorem there exists ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ such that ${\textstyle T(Eg)=g}$. Defining ${\textstyle u_{0}}$ by ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ we have that ${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$ and thus${u\mathrm{}}_{}$ 0 ${}_{}$ ${}_{}^{}$ ${0\mathrm{}}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ (${}_{}^{}\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Oomega$ $)}$을(를) 추적 0의 공간으로$$ H ${0\mathrm{}}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ (${}_{}^{}\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle H_{0}^{$1}^{$1}(\Oomega$ $)}}.$그러면$$ $u$ $\in$ ${}_{}^{}$ ${0\mathrm{}}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ (${}_{}^{}\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle u\in H_{0}^{1}(\Oomega )}$ 함수는 적분 방정식을 만족한다.

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varp$$hi \,\mathrm {d} x}$ 모든$$ $\phi$H ${0\mathrm{}}_{}^{}$ ${\mathrm{}}_{}^{}$ ${}_{}^{}\mathrm{\Omega }$) ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Oomega$ $)\}\}$ .

따라서 $u$ ${\textstyle u}$에 대한 이질적인 경계 값의 문제는 모든 선형 미분 방정식에 적용할 수 있는 기법인$$$u{}_{}$ ${0\mathrm{}}_{}$ ${\$에 대한 균일한 경계 값의 문제로 축소될 수 있다$$.리에즈 표현 정리에는 이 문제에 대한$$ 고유한 솔루션 $u{}_{}$ ${\$이 존재한다.분해 $u$ =${u\mathrm{}}_{}$ 0${}_{}$+ $E$ $g$ ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$의 고유성으로$,$ 이는 비균형 경계 값 문제에 대한$$ 고유한 약한 솔루션 $u$ ${\textstyle u}$의 존재와 동등하다.

데이터에 대한 지속적인 의존성

그것은{g\textstyle}입수 u{\textstyle u}의 f{f\textstyle}에 대한 의존도를을 조사하기 위해서 c1c2,…>0{\textstyle c_{1},c_{2},\ldots하십시오. 여전히 0}일 경우denote 상수 독립의 f{f\textstyle}과 g{g\textstyle}그런데 지속적인 의존의 u0{\textstyle u_{.0}}그것의 정수 방정식의 오른쪽에, 고정된 것이 있다.

${\displaystyle \ \ u_{0}\{H_{0}^{1}(\Oomega )}\leq c_{1}\ref\\\\\{H^{-1}(\Oomega )}+\Eg\{H^{1}(\Oomega )}\right}}$

and thus, using that ${\textstyle \ u_{0}\ _{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\ u_{0}\ _{H^{1}(\Omega )}}$ and ${\textstyle \ Eg\ _{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\ g\ _{H^{1/2}(\Omega )}}$ by continuity of t그는 확장 교환원을 추적했다. 그것은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ u\ _{H^{1}(\Omega )}&\leq \ u_{0}\ _{H^{1}(\Omega )}+\ Eg\ _{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\ f\ _{H^{-1}(\Omega )}+(1+c_{1}c_{2})\ Eg\ _{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\ f\ _{H^{-1}(\Omega )}+\ g\ _{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}}$

솔루션 맵

${\displaystyle H^{-1}(\Oomega )\time H^{1/2}(\partial \Oomega )\ni(f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Oomega )}$

따라서 연속적이다.

참조

• 레오니, 조반니(2017).Sobolev 공간의 첫 번째 코스: 세컨드 에디션.수학 대학원. 181.미국 수학 협회 734 페이지ISBN 978-1-4704-2921-8