트리(설명 집합 이론)

기술 집합 이론에서 집합 $X$ $X$ 에 있는 트리는 집합 내 시퀀스의 모든 접두사가 집합에 $X$ X{\ $displaystyle$ X $}$ 원소의 유한 시퀀스 모음입니다 $X$ .

정의들

나무들

집합 X{X\displaystyle}의 요소들의 모든 유한 시퀀스의 수집은 표시된 X<>ω{\displaystyle X^{<>\omega}}. 이 표기법과 함께 나무는 비공의 부분 집합 X의 T{T\displaystyle};ω{\displaystyle X^{<>\omega}}, 만약⟨ x0x1,…,)n− 1⟩{\dis.playstyle \l각도 x_{0},x_{1},\ldots}, 0≤ m<>n{\displaystyle 0\leq m<, n}, 그 다음이 단축됨에 따라 시퀀스 ⟨=0x1,…,)m− 1⟩{\displaystyle\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{m-1}\rangle}또한 T{\d에 속하T{T\displaystyle}길이 n{n\displaystyle}의 시퀀스 ,x_{n-1}\rangle.isplay $스타일 T$ 특히 $m=0$ = $m=0$ $m=0$ 을 선택하면 빈 시퀀스가 모든 트리에 속함을 알 $m=0$ 수 있다.

가지와 몸통

트리 $T$ {\ $displaystyle T}$ 을(를) 통과하는 분기는 $X$ ${\displaystyle$ $T$ $}$ 의 원소들의 무한 시퀀스로서 $T$ $X$ 각각의 한정된 $T$ 가 T ${\displaystyle$ $T$ $}$ 에 속하며 $T$ $T$ ${\$ $displaystyle [T]$ 를 통과하는 모든 분기의 집합은 $T$ [ $]$ {\ $displaystytyleane$ ]로 표시되며 $[T]$ , $T$ 의 본체라고 불린다. $T}$ $T$

가지가 없는 나무는 근거 없는 나무를 근거 없는 나무라고 하고, 적어도 한 개의 가지가 있는 나무는 근거 없는 나무라고 한다.Kőnig의 보조정리기에 의해, 무한히 많은 시퀀스를 가진 유한한 집합의 나무는 반드시 근거 없는 것이어야 한다.

터미널 노드

A finite sequence that belongs to a tree $T$ is called a terminal node if it is not a prefix of a longer sequence in $T$ . Equivalently, $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1}\rangle \in T$ is terminal if there is no element ${\disp$ $X$ $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ $X$ 의 $x$ $X$ $레이스타일 x}$ 을(를) 제거하여 $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ x 0 $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ , $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ - $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ , $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ $\$ T $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ {\ $displaystyle$ \ $langle x_{0$ }, $x_{$ 1}, $ldots ,x_{n-1},x\rangele \in$ T $\langle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n-1},x\rangle \in T$ 단자 노드가 없는 트리를 제거라고 한다.

다른 종류의 나무와의 관계

그래프 이론에서, 뿌리 트리는 특별한 뿌리 정점을 제외한 모든 정점에 정확히 하나의 나가는 가장자리가 있고, 이 가장자리를 따라 형성된 경로가 결국 뿌리 정점으로 이어지는 방향 그래프다. $T$ $T$ 이(가) 기술 집합 이론적 의미에서 트리인 $T$ 경우 $T$ T $T$ 의 각 시퀀스에 대해 하나의 꼭지점이 있는 그래프와 $마지막$ 요소를 제거하여 형성된 더 짧은 시퀀스에 연결하는 각 비 빈 시퀀스의 송신 에지에 해당한다.이 그래프는 그래프-이론적 의미에서의 나무다.나무의 뿌리는 빈 수열이다.

순서론에서는 나무의 다른 개념이 사용된다. 순서론 트리는 각 원소가 잘 정돈된 선열들을 가지고 있는 하나의 최소 원소를 가진 부분적인 순서 집합이다.기술적 집합론의 모든 나무는 또한order-theoretic 나무 두 시퀀스 T{T\displaystyle}및 U{U\displaystyle}T<>에 의해 명령을 부분적인 순서, U{\displaystyle T< 사용하고.U}U{U\displaystyle}의 만일 T{T\displaystyle}은 적절한 접두사입니다. 그 빈 시퀀스 university.ique 최소 원소, 그리고 각 원소에는 유한하고 잘 정리된 선행 요소 집합(모든 접두사 집합)이 있다.순서이론 트리는 각각의 원소가 유한한 높이(즉, 유한한 선행 트리의 집합)를 갖는 경우에만 시퀀스의 이항형 트리로 나타낼 수 있다.

위상

$X$ $X$ 에 $X^{\omega }$ 무한 $X^{\omega }$ 집합 $($ Ω {\ $displaystyle$ X $^{\omega }}$ 로 표시됨 $X^{\omega }$ 을 제품 토폴로지로 지정하여 X를 이산 공간으로 취급할 수 있다.In this topology, every closed subset $C$ of $X^{\omega }$ is of the form $[T]$ for some pruned tree $T$ . Namely, let $T$ consist of the set of finite prefixes of the infinite sequences in $C$ . C반대로 모든 트리 $T$ $T$ 의 $[T]$ 본문 $[T]$ [ $T]$ {\displaystyle [ $T]}$ 이 $T$ (가) 이 위상에서 닫힌 집합을 형성한다.

카트리지 제품 $X\times Y$ $X\times Y$ Y ${\displaystyle$ X $\time$ Y $}$ 의 트리가 자주 고려된다 $X\times Y$ .이 경우 관습에 의해, 우리는 그 구성원들조차 X{X\displaystyle}에서 이상한 요소 Y{Y\displaystyle}에서(예를 들어 온 유일한 시퀀스를 포함하고 있다., ⟨ x0,1y, 생산 공간의 하위 집합 T{T\displaystyle},(X×Y)<>ω{\displaystyle(X\times Y)^{<>\omega}}라고 생각한다.x $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ , $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ 3 $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ … , $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ , $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ + $\langle x_{0},y_{1},x_{2},y_{3}\ldots ,x_{2m},y_{2m+1}\rangle$ + $displaystyle \langle x_{0},y_{1},x_{2$ }, $y_{3}\ldots,x_{2m+1$ }, $y_{2m+1},rangele }$ . $X^{<\omega }\times Y^{<\omega }$ 하위공간의 원소는 $X^{<\omega }\times Y^{<\omega }$ X < $X^{<\omega }\times Y^{<\omega }$ × $X^{<\omega }\times Y^{<\omega }$ < $X^{<\omega }\times Y^{<\omega }$ > Ω ${\$ X $^{<\omega }\time Y^{\omega }}}}}}($ 첫 번째 시퀀스의 길이가 두 번째 시퀀스의 길이와 같거나 1 이상인 부분집합)의 곱의 부분집합으로 자연적인 방법으로 식별된다.이러한 방법으로 제품 공간 전체에 대해 $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ [ $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ < $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ [ Y $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ < $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ ${\displaystyle [X^{\omega }}]\times [Y^{{\mega$ $[T]$ 와 $[X^{<\omega }]\times [Y^{<\omega }]$ $[T]$ $[T]$ [ $^{\displaystyle [T]$ 를 식별할 수 있다.그런 다음 $[T]$ [ $[T]$ ] $[T]$ 의 투영을 형성할 수 있다 $[T]$